ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ
Для определения скоростей звеньев механизма продифференцируем по времени систему уравнений (1.4) или (1.5)4
−AB sin (ϕ1 )ϕ1 +O1B sin (ϕ2 )ϕ2 |
= OA sin (ϕ)ϕ, |
|
AB cos(ϕ1 )ϕ1 −O1B cos(ϕ2 )ϕ2 |
= −OA cos(ϕ)ϕ, |
|
−O1C sin (ϕ2 )ϕ2 −CD sin (ϕ3 )ϕ3 |
= 0, |
(1.10) |
|
||
O1C cos(ϕ2 )ϕ2 +CD cos(ϕ3 )ϕ3 |
= yD. |
|
Учитывая, что ϕ1 =ω1 , ϕ2 =ω2 , ϕ3 =ω3 , yD = vD |
и, перенося слагае- |
|
мые с неизвестными скоростями в одну сторону, получим |
||
−AB sin (ϕ1 )ω1 +O1B sin (ϕ2 )ω2 |
|
= OA sin (ϕ)ω0 , |
AB cos (ϕ1 )ω1 −O1B cos(ϕ2 )ω2 |
|
= −OA cos(ϕ)ω0 , |
−O1C sin (ϕ2 )ω2 −CD sin (ϕ3 )ω3 |
= 0, |
|
O1C cos(ϕ2 )ω2 +CD cos(ϕ3 )ω3 − vD = 0.
Данная система уравнений является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных скоростей звеньев. Представим эту систему уравнений в матричной форме
где |
−AB sin (ϕ1 ) |
|
|
|
AB cos (ϕ ) |
|
A = |
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
A Xv = B
O1B sin (ϕ2 ) −O1B cos(ϕ2 ) −O1C sin (ϕ2 )
O1C cos(ϕ2 )
0
0
−CD sin (ϕ3 ) CD cos(ϕ3 )
(1.11)
0
0
0
−1
— матрица коэффициентов левых частей уравнений,
4 Скорости звеньев можно также найти дифференцированием соотношений (1.6) — (1.9) по времени, однако в силу его громоздкости в данной работе этот способ не применяется.
19
ω
X= ω2 — вектор неизвестных скоростей звеньев,
vω3vD1
|
OA sin (ϕ)ω |
|
|
|
|
−OA cos(ϕ)ω0 |
|
— вектор правых частей уравнений. |
|
B = |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнений (1.11) будет иметь вид |
|
|||
|
|
|
Xv = A−1 B |
(1.12) |
Для определения ускорений звеньев механизма продифференцируем
по времени систему уравнений (1.10)
−AB sin (ϕ1 )ϕ1 −AB cos(ϕ1 )ϕ12 +O1B sin (ϕ2 )ϕ2 + +O1B cos(ϕ2 )ϕ22
AB cos(ϕ1 )ϕ1 −AB sin (ϕ1 )ϕ12 −O1B cos(ϕ2 )ϕ2 + +O1B sin (ϕ2 )ϕ22 −O1C sin (ϕ2 )ϕ2 −O1C cos(ϕ2 )ϕ22 −CD sin (ϕ3 )ϕ3 − −CD cos(ϕ3 )ϕ32
O1C cos(ϕ2 )ϕ2 −O1C sin (ϕ2 )ϕ22 +CD cos(ϕ3 )ϕ3 − −CD sin (ϕ3 )ϕ32
Учитывая, что ϕ1 =ε1 , ϕ2 =ε2 , ϕ3 =ε3 , yD = aD и, с неизвестными скоростями в одну сторону, получим
=OA cos(ϕ)ϕ2 ,
=−OA sin (ϕ)ϕ2 ,
=0,
=yD.
перенося слагаемые
−AB sin (ϕ1 )ε1 +O1B sin (ϕ2 )ε2 =
= AB cos(ϕ2 )ω12 −O1B cos(ϕ2 )ω22 +OA cos(ϕ)ω02 , AB cos(ϕ1 )ε1 −O1B cos(ϕ2 )ε2 =
= AB sin (ϕ2 )ω12 −O1B sin (ϕ2 )ω22 −OA sin (ϕ)ω02 ,
20
−O1C sin (ϕ2 )ε2 −CD sin (ϕ3 )ε3 =
= O1C cos(ϕ2 )ω22 +CD cos(ϕ3 )ω32 , O1C cos(ϕ2 )ε2 +CD cos(ϕ3 )ε3 −aD =
= O1C sin (ϕ2 )ω22 +CD sin (ϕ3 )ω32 ,
или в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
A Xa |
=C |
|
(1.13) |
||
где |
|
AB cos(ϕ2 )ω12 −O1B cos(ϕ2 )ω2 |
2 +OA cos(ϕ)ω0 |
2 |
||||||||
|
|
AB sin (ϕ )ω 2 −O B sin (ϕ )ω 2 −OA sin (ϕ)ω |
2 |
|
||||||||
C = |
|
|
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
0 |
|
|||
|
|
O C cos(ϕ |
)ω 2 |
+CD cos |
(ϕ )ω |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
O C sin (ϕ |
)ω 2 |
+CD sin |
(ϕ )ω |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
— вектор правых частей уравнений; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ε1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
= |
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
— вектор неизвестных ускорений звеньев |
|
||||||||
|
a |
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aD |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение уравнений (1.13) будет иметь вид |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Xa |
= A−1 C |
|
(1.14) |
||
Таким образом, решения (1.12) позволяют определить скорости всех звеньев механизма, а решения (1.14) — ускорения всех звеньев.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ УЗЛОВЫХ ТОЧЕК
Узловыми и задаваемыми точками многозвенного шарнирного механизма являются, согласно исходным данным точки: A , B , C , D , M и K . Закон движения, скорость и ускорение точки D определен ранее:
yD |
=O1C sin (ϕ2 )+CD sin (ϕ3 )+ b, |
|
|
|
|
|
|
|||||
vD |
=O1C cos(ϕ2 )ω2 +CD cos(ϕ3 )ω3 , |
|
|
|
(1.15) |
|||||||
a |
D |
=O C cos(ϕ |
2 |
)ε |
2 |
+CD cos(ϕ )ε |
3 |
−O C sin (ϕ |
)ω 2 |
−CD sin (ϕ )ω 2. |
||
|
1 |
|
3 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
||||
Для остальных точек законы движения запишем в векторной форме:
21
точка A |
r |
A = |
OA |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||
точка B |
r |
B = |
r |
O |
+ ρO B = |
OO1 |
+ |
O1B |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точка C |
|
|
|
|
|
+ ρO C = |
|
|
+ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||
rC = |
r |
O |
OO1 |
O1C |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точка M |
|
M = |
|
|
A + ρAM = |
|
+ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||
r |
r |
OA |
AM |
. |
|
|||||||||||||||||||
точка K |
r |
K = |
r |
O |
+ ρO C + ρCK = |
OO1 |
+ |
O1C |
+ |
CK |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или в проекциях на оси декартовой системы координат |
|
|||||||||||||||||||||||
точка A |
Ox : |
|
|
|
xA = OA cos(ϕ), |
|
||||||||||||||||||
Oy : |
|
|
|
yA = OA sin (ϕ) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
точка B |
Ox : |
|
|
|
xB |
=a + O1B cos(ϕ2 ), |
|
|||||||||||||||||
Oy : |
|
|
|
yB |
= b + O1B sin (ϕ2 ) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
точка C |
Ox : |
|
|
|
xC |
=a +O1C cos(ϕ2 ), |
(1.16) |
|||||||||||||||||
Oy : |
|
|
|
yC = b +O1C sin (ϕ2 ) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
точка M |
Ox : |
|
|
|
xM =OA cos(ϕ)+ AM cos(ϕ1 ), |
|
||||||||||||||||||
Oy : |
|
|
|
yM = OA sin (ϕ)+ AM sin (ϕ1 ) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
точка K |
Ox : |
|
|
|
xK = a +O1C cos(ϕ2 )+CK cos(ϕ3 ), |
|
||||||||||||||||||
Oy : |
|
|
|
yK = b +O1C sin (ϕ2 )+CK sin (ϕ3 ) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Дифференцированием по времени (1.16) определяем проекции скоростей точек механизма на декартовые оси координат, а также модули и
направления векторов скоростей точек |
|
|
||||||||||||||||
точка A |
Ox : |
vAx |
= xA |
= −OA sin (ϕ)ω0 , |
|
|
||||||||||||
|
Oy : |
vAy = yA = |
OA cos(ϕ)ω0 |
|
|
|||||||||||||
|
v |
A |
= |
x |
2 |
+ y |
A |
2 |
|
= ω OA, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
vAy |
|
|
|
cos(vA , i )= |
Ax |
|
= −sin (ϕ), cos(vA , j )= |
= cos(ϕ) |
|||||||||||||
|
vA |
vA |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
точка B |
Ox : |
vBx |
= xB |
|
= −O1B sin (ϕ2 )ω2 , |
|
|
|||||||||||
|
Oy : |
vBx |
= yB |
= |
O1B cos(ϕ2 )ω2 |
|
|
|||||||||||
22
точка C
точка M
точка K
v |
B |
= x |
|
2 |
+ y |
B |
2 |
|
= ω O B, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vBy |
|
||
cos(vB , i ) |
= |
Bx |
|
|
= −sin (ϕ2 ), |
cos(vB , j )= |
=cos(ϕ2 ) |
||||||||||||||||||||
|
vB |
|
vB |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ox : |
vCx = xC = −O1C sin (ϕ2 )ω2 , |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Oy : |
vCy = yC = |
O1C cos(ϕ2 )ω2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
vC = |
xC |
2 + yC |
2 |
|
= ω2 |
O1C, |
|
|
|
|
|
|
(1.17) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vCy |
|
||
cos(vC , i ) |
= |
Cx |
|
= −sin (ϕ2 ), |
cos(vC , j )= |
= cos(ϕ2 ) |
|||||||||||||||||||||
|
vC |
vC |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ox : |
vMx |
= xM |
= −OA sin (ϕ)ω0 − AM sin (ϕ1 )ω1 , |
||||||||||||||||||||||||
Oy : |
vMy = yM = |
OA cos(ϕ)ω0 + AM cos(ϕ1 )ω1 |
|||||||||||||||||||||||||
vM = xM 2 + yM 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vMy |
|
|
|
||||
cos(vM , i )= |
Mx |
|
, |
cos(vM , j )= |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
vM |
|
vM |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ox : |
vKx = xK = −O1C sin (ϕ2 )ω2 −CK sin (ϕ3 )ω3 , |
||||||||||||||||||||||||||
Oy : |
vKy = yK = |
O1C cos(ϕ2 )ω2 +CK cos(ϕ3 )ω3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
vK = xK 2 + yK 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
vKy |
|
|
|
|
|
|||
|
cos(vK |
, i ) |
= |
Kx |
, |
cos(vK , j ) |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
vK |
vK |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дифференцируя по времени проекции скоростей точек (1.17), опре- |
|||||||||||||||||||||||||
деляем ускорения точек механизма: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
точка A |
Ox : |
aAx = vAx |
= − OA cos(ϕ)ω0 |
2 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Oy : |
aAy = vAy |
|
= − OA sin (ϕ)ω0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a = |
a |
2 |
+ a |
2 |
= ω 2 OA, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A |
|
|
Ax |
|
|
|
|
Ay |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aAy |
|
|
|
cos(aA , i )= |
Ax |
|
= −cos(ϕ), |
cos(aA , j )= |
= −sin (ϕ) |
|||||||||||||||||||
|
|
aA |
|
|
aA |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
точка B |
Ox : |
aBx = vBx |
= − O1B cos(ϕ2 )ω2 |
2 |
− O1B sin (ϕ2 )ε2 , |
||||||||||||||||||||
|
Oy : |
aBy |
= vBy |
= − O1B sin (ϕ2 )ω2 |
2 |
+ O1B cos(ϕ2 )ε2 |
|||||||||||||||||||
23
точка C
точка M
точка K
a = a |
2 |
+ a |
2 |
= O B ω 4 |
+ ε 2 |
, |
||||||
B |
Bx |
|
|
By |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
aBy |
|
cos(aB , i )= |
Bx |
, |
cos(aB , j )= |
|||||||||
aB |
aB |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ox : aCx = vCx = − O1C cos(ϕ2 )ω22 − O1C sin (ϕ2 )ε2 , Oy : aCy = vCy = − O1C sin (ϕ2 )ω22 + O1C cos(ϕ2 )ε2
aC = |
aCx |
2 |
+ aCy |
2 |
|
= O1C ω2 |
4 + ε2 |
2 , |
|
|
(1.18) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aCy |
|
|
|
|
|||||
cos(aC , i )= |
|
|
, |
cos(aC , j )= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Cx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||
Ox : |
aMx |
|
= vMx |
|
= − OA cos(ϕ)ω0 |
2 |
|
|
− AM cos(ϕ1 )ω12 |
− |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− AM sin (ϕ1 )ε1 , |
|
|
Oy : |
aMy |
= vMy |
|
= − OA sin (ϕ)ω0 |
2 |
|
|
+ AM sin (ϕ1 )ω12 |
− |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− AM cos(ϕ1 )ε1 |
|
||
a = |
a |
Mx |
2 |
+ a |
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M |
|
|
|
|
|
|
My |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos(aM , |
|
) |
= |
aMx |
, cos(aM , |
|
)= |
aMy |
|
|
|||||||||||||||||
i |
j |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
M |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ox : |
aKx |
|
= vKx |
= − O1C cos(ϕ2 )ω2 |
2 − O1C sin (ϕ2 )ε2 |
− |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− CK cos(ϕ3 )ω3 |
2 |
− CK sin (ϕ3 )ε3 , |
|
||||||||||
Oy : |
aKy |
|
= vKy |
= − O1C sin (ϕ2 )ω2 |
2 |
+ O1C cos(ϕ2 )ε2 |
− |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−CK cos(ϕ3 )ω3 |
2 |
− CK sin (ϕ3 )ε3 |
|
||||||||||
a = |
a |
2 |
+ a |
2 , |
|
|
|
|
||||
K |
|
Kx |
|
|
Ky |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
aKy |
cos(aK |
, i ) |
= |
Kx |
|
, cos(aK |
, j )= |
||||||
aK |
|
aK |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Соотношения (1.6) — (1.18) представляют математическую модель
кинематического поведения механизма, которая позволяет определить за-
коны движения всех звеньев механизма, координаты узловых точек, а также скорости и ускорения звеньев и узловых точек.
24