Fizika_Laboratornye_raboty / 40
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
__________________________________________________________
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ФИЗИКЕ
для студентов специальностей 060811, 060815, 240400, 290300, 290600, 290700, 290800, 291000, 2911000, 550100.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 40
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА СТРУНЫ
Казань
2005
Составитель И. Н. Закиров
УДК 539.15
Методические указания к лабораторным работам по физике для студентов дневного и заочного отделений специальностей 060811, 060815, 240400, 290300, 290600, 290700, 290800, 291000, 2911000, 550100 / Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Составители: В. В. Алексеев, Л. Я. Ченборисова. Под редакцией Л. И. Маклакова.
Казань, 2005 г. с. 5
В работе рассмотрены волны, стоячие волны. Описана экспериментальная установка. Приведён порядок выполнения работы.
Илл. 3, табл. 1
Рецензент доцент кафедры молекулярной физики |
|
Казанского госуниверситета |
Пименов Г. Г. |
© Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 2005 г.
Цель работы. Ознакомление с теорией возникновения стоячих волн, определение частоты переменного тока методом резонанса струны.
Колебания. Волны.
Акустика, радиотехника, оптика и другие разделы науки и техники основывается на учении о колебаниях и волнах. Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени. Примерами являются колебания тока и напряжения в цепи, колебания струн музыкальных инструментов и т.д.
Простейшими являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника от положения равновесия) изменяется со временем по закону синуса или косинуса:
s =A cos(ωt + α) либо s =A sin(ωt + α). |
(1) |
Здесь s — мгновенное значение колеблющейся величины, A— амплитуда колебаний, т.е. максимальное значение колеблющейся величины, (ωt + α) — фаза колебаний, α — начальная фаза, ω — циклическая частота. Циклическая частота ω — связана с периодом колебаний Т соотношением
ω = |
2π |
= 2πν. |
(2) |
|
T |
||||
|
|
|
Периодом Т называется время одного колебания. Величина ν, обратная периоду, называется частотой. Она определяет число колебаний в единицу времени.
ν = |
1 |
. |
(3) |
|
|||
|
T |
|
|
В упругой среде частицы взаимодействуют друг с другом. Поэтому колебания, возбуждённые в какой-либо её области, будут распространяться в среде от частицы к частице со скоростью υ. Процесс распространения колебаний в про-
странстве называется волной. При этом частицы среды не распространяются с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Упругие волны бы-
вают продольными и поперечными. В продольной волне частицы колеблются вдоль направления её распространения, в поперечной волне - перпендикулярно направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут
3
возникнуть лишь в среде, обладающей упругостью при деформации сдвига, т.е. фактически только в твёрдых телах. Продольные волны возбуждаются в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т.е. твёрдых, жидких и газообразных телах.
Волновой процесс может быть описан уравнением, определяющим зависимость колеблющейся величины от координат и времени. Пусть источник, находящийся в начале координат (x = 0), возбуждает колебания, которые происходят по закону s(t) = A cos ωt. Волна, распространяющаяся от источника вдоль оси 0х, достигает произвольной точки с координатой х (рис. 1) спустя некоторое время τ.
S
λ
Х |
Х |
|
Рис. 1
Очевидно, что τ =υx , где υ — скорость распространения волны. С учётом того,
что колебания в точку x приходят с запаздыванием на время τ, уравнение колебаний для этой точки можно записать в виде:
s(x, t) = A cosω(t − τ) = A cosω(t − |
x |
) |
(4) |
|
|||
υ |
|
||
Это уравнение называется уравнением плоской монохроматической волны. |
|||
Расстояние λ, пройденное волной за один период колебаний, |
называется |
||
длиной волны. На рис. 1 это расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Очевидно, что λ = υТ. С учётом того, что
υω =υ2Tπ = 2λπ , уравнение волны можно записать ещё в следующих видах:
4
s(x,t) = A cos2π( |
t |
− |
x |
), |
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|||||
T |
|
λ |
2π |
|
|
|||
s(x, t) = A cos(ωt − kx) = A cos(ωt − |
x). |
(6) |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
||
Величина k = 2λπ называется волновым числом.
Уравнение плоской монохроматической волны отражает периодичность колебаний во времени и пространстве. В каждой точке среды (фиксированное значение x) совершается гармоническое колебание с периодом T. Для каждого момента времени (фиксированное t) получается распределение s вдоль x по гармоническому закону («мгновенная фотография» волны) с периодом λ (рис. 1).
Стоячие волны.
Стоячая волна возникает при наложении двух встречных (бегущей и отражённой) волн, имеющих одинаковую амплитуду. Такая волна устанавливается при возбуждении колебаний определённых частот в гибкой однородной струне, натянутой между двумя точками. В струне отражение волны происходит от точек её закрепления. Поскольку в нашем случае отражение имеет место от среды более плотной, то это приводит к тому, что фаза колебаний в точке отражения скачком меняется на противоположную фазу, т.е. на π. Поэтому уравнения бегущей и отражённой волн, распространяющихся, соответственно, в направлениях x и (–x), можно записать в виде:
|
|
s |
= A cos(ωt − |
2π |
x), |
|
|
(7) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
2π |
|
λ |
2π |
|
|
|
s |
|
= A cos(ωt − |
x + π) = −A cos(ωt − |
x ), |
(8) |
|||||
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
λ |
|
|
λ |
|
|||
гдеs1 иs2 — смещениеотположенияравновесиявбегущейиотражённойволне. Результирующее смещение точки найдём как алгебраическую сумму
s = s + s |
2 |
= 2A sin |
2π |
x sin ωt. |
(9) |
|
|||||
1 |
|
λ |
|
||
|
|
|
|
||
Это и есть уравнение стоячей волны. Из формулы (9) видно, что все точки струны совершают гармонические колебания с той же циклической частотой ω, а амплитуда Аст зависит от координаты точки струны х и равна
A = |
2Asin 2π |
x |
|
. |
(10) |
|
|||||
ст |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Из уравнения (10) видно, что точки, координаты которых удовлетворяют усло-
вию 2Asin 2πλx , колеблются с максимальной амплитудой, равной 2А. Они на-
зываются пучностями (рис. 2, точки М, N, K). Амплитуда точек, для которых
5
выполняется условие sin 2π |
x |
|
= 0, |
равна нулю, т.е. в этих точках колебания не |
|||||||||
λ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
происходят. Эти точки называются узлами (рис. 2, точки O, B, C, D ). Следова- |
|||||||||||||
тельно, координаты узлов можно определить из выражения |
|
||||||||||||
2π |
x |
= mπ |
|
или |
x = m λ , где т = 0, 1, 2, 3… |
(11) |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
λ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Из (11) найдём расстояние |
х |
между |
соседними |
узлами |
(т и т + 1) |
||||||||
|
|
x = xm+1 − xm =(m +1) λ − m |
λ = λ. |
(12) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
Поэтому на длине струны l |
|
между точками закрепления О и В, являющимися |
|||||||||||
узлами, укладывается целое число |
λ, т.е. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
λ n = l |
2 |
|
2l |
|
|
|
||||
|
|
|
или |
λ = |
, |
|
(13) |
||||||
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где n = 1, 2, 3…
Учитывая связь частоты колебаний ν со скоростью распространения импульса деформации вдоль струны υ (скоростью волны) и длиной волны λ ( ν =υλ ) и ис-
пользуя (13), получаем:
ν = |
n |
υ. |
(14) |
|
2l |
||||
|
|
|
Таким образом, струна может колебаться не с одной частотой, а с целым спектром (набором) частот.
Опыт показывает, что скорость распространения импульса деформации вдоль струны определяется величиной силы натяжения T струны и линейной плотностью δ материала следующим образом:
υ = |
T . |
(15) |
|
δ |
|
Тогда для частоты колебаний струны запишем, что
νсоб = |
n |
T . |
(16) |
|
2l |
δ |
|
Это частота наиболее простых, так называемых собственных или нормальных колебаний струны.
6
Рис. 2. Распределение амплитуд колебаний вдоль струны для различных значений п.
Если по струне пропустить переменный ток с частотой νти поместить её между полюсами постоянного магнита (рис. 3), то на струну будет действовать внешняя периодическая сила. Возникновение этой силы определяется законом Ампера:
F = BIl sin α, |
(17) |
где B — индукция магнитного поля; I — сила тока в проводнике; l — длина проводника; α — угол между направлением тока и поля, который в данном
случае (рис. 3) равен 90°. Направление силы F определяется по правилу левой руки. Направление переменного тока периодически меняется. Это приводит к
изменению направления силы F , что и заставляет струну совершать вынужденные колебания с частотой переменного тока. Вместе с тем, собственная частота колебаний струны определяется силой натяжения Т и её длиной l (16).
При приближении частоты собственных колебаний струны к частоте выну-
ждающей силы (νсоб → νт амплитуда вынужденных колебаний резко возрас-
тает, т.е. будет наблюдаться явление резонанса. Подсчитав частоту собственных колебаний в случае резонанса по формуле (16), определяем частоту переменного тока.
7
F I
B
S N
Рис. 3
Описание установки.
Основной частью прибора является струна, натяжение Т которой создаётся силой тяжести чашки и гири. Таким образом,
T = FT1 + FT2 =(m1 + m2 )g, |
(18) |
где т1 и т2 — масса чашки и гири, g — ускорение свободного падения. Длина колеблющейся части струны l определяется положением опорной стойки на шкале. Перемещение точки приложения вынуждающей силы достигается передвижением магнита вдоль струны.
Порядок выполнения работы.
Включив переменный ток и меняя положение опорной стойки, подбирают такую длину струны, при которой на ней возникают устойчивые колебания. Для достижения максимума амплитуды колебаний магнит следует помещать в пучность стоячей волны, а резонанса с одной пучностью (n = 1) следует добиваться при массах гири т2, равных 50 г, 150 г, 250 г. Силу натяжения опреде-
8
ляют по формуле (18). Измерив по шкале длину колеблющейся части l струны (от точки закрепления до опорной стойки), по формуле (16) находят частоту переменного тока. После этого при массах гири 50 г и 100 г подбирают l так, чтобы на струне получились две пучности (n = 2). Снова вычисляют ν. Все значения сводят в таблицу и подсчитывают погрешности измерения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
т2, |
Т, |
п |
l, |
νi, |
νср, |
|
|
ν |
cp |
−ν |
i |
|
|
Δνср, |
E = |
νcp |
100% |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
опыта |
кг |
Н |
|
м |
Гц |
Гц |
|
|
|
|
|
|
Гц |
|
νcp |
|||
|
|
|
Гц |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее значение частоты νср и среднюю абсолютную погрешность Δνср нахо-
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
∑νi |
|
∑ |
νср |
−νi |
|
|
дят по формулам: νср = |
i =1 |
и νср = |
i =1 |
|
|
|
. Линейная плотность струны |
N |
|
N |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
δ = . Масса чашки т1 = Все вычисления необходимо провести в системе СИ, выразив Т в ньютонах
l в метрах.
Контрольные вопросы.
1.Что такое колебания? Какие колебания называются гармоническими? Запишите уравнение гармонического колебания.
2.Что называется амплитудой, периодом и частотой колебаний?
3.Что называется волной? Напишите уравнение плоской монохроматической волны
4.Что такое стоячая волна? Напишите её уравнение.
5.Что такое узел и пучность?
6.Какие колебания в данном случае являются вынужденными, какие собственными?
7.Напишите и сформулируйте закон Ампера.
8.От чего зависит частота собственных колебаний струны?
9