Управленческие решения / mat_Gelrud / ТЕМА16

Тема 16

Задачи износа и замены оборудования

Основными задачами теории замен являются прогноз затрат, связанных с обновлением оборудования, и выработка наиболее экономичной стратегии замен. В зависимости от характера оборудования процессы замен делятся на два класса. Первый связан с оборудованием, которое, устаревая в процессе эксплуатации, становится менее производительным физически вследствие износа или морально в результате появления новых, более совершенных машин (сюда относятся, например, металлорежущие станки, автомобили и т.д.). Эксплуатация устаревшего оборудования связана с ростом производственных затрат, удлинением времени простоя, увеличением числа отказов и длительности ремонта и т.д. Вместе с тем замена старого оборудования новым также сопряжена с расходами. Необходимо определить такой срок службы оборудования, при котором экономия за счет приобретенного нового оборудования начинает превышать компенсацию его первоначальной стоимости. При аренде оборудования необходимо учитывать подобные соображения: при увеличении срока аренды уменьшается арендная плата в единицу времени, зато возрастают эксплутационные расходы.

Второй класс задач связан с оборудованием со случайной длительностью срока службы (например, лампы освещения, элементы микросхем). При решении задач второго класса приходится определять, какие именно единицы оборудования следует заменить и как часто следует проводить замену с тем, чтобы минимизировать общие затраты. Если замену оборудования производить лишь после его выхода из строя, то при минимуме затрат на обновление возрастают расходы, связанные с простоями, тогда как замена деталей до их поломки приводит к высокой стоимости оборудования, но зато к малым затратам на некомплектность. Базой для решения этих задач является наличие закона распределения вероятностей повреждения (отказа) оборудования в зависимости от срока его службы, для чего должны быть задействованы методы математической статистики.

При моделировании задач замены оборудования мы будем применять уже известные нам модели, поэтому данная тема может изучаться только после тщательной проработки предыдущих тем.

Пусть с_i – затраты на приобретение (включаются в с₁) и эксплуатацию оборудования в период i. Здесь учитываются только эксплутационные затраты, которые изменяются с ростом срока службы. Тогда период n, после которого должна быть произведена замена, определяется из следующих соображений:

1. Если издержки в следующем периоде ниже средней величины прошлых затрат, то оборудование заменять не следует.

2. Если же издержки в следующем периоде превосходят величину средних затрат, то оборудование следует заменить.

Т.е. должны выполняться следующие неравенства

с_n <(с₁+ с₂ +…+с_n-1)/(n – 1), (16.1)

с_n+1 >(с₁ + с₂+…+с_n)/n. (16.2)

Пример 16.1. Пусть расходы, связанные с приобретением и заменой оборудования, представлены в табл. 16.1.

Таблица 16.1

Период	затраты	средние
1	50	50
2	10	30
3	20	26,7**
4	30	27,5
5	40	30
6	50	33,3

В третьей колонке вычисляем средние значения затрат и видим, что замена оборудования должна производиться в третий период, т.к.

с₃ =20 <(с₁+ с₂)/2=30, а с₄ =30 >(с₁ + с₂+с₃)/3=26,7.

Цена денег, ввиду наличия процентов на капитал, меняется со временем. Проведем расчеты с учетом коэффициента дисконтирования. Пусть r – учетный процент в течение каждого периода, тогда обозначим d=1/(1+r/100). В правой части неравенств (16.1) – (16.2) средние затраты заменяются на средневзвешенные затраты:

с_n <(с₁+ с₂ d +…+с_n-1 d ^n-2)/(1+ d+…+d ^n-2), (16.3)

с_n+1 >(с₁ + с₂ d +…+с_n d ^n-1)/(1+ d+…+ d ^n-1). (16.4)

Пример 16.2. Пусть расходы, связанные с приобретением и заменой оборудования, аналогичны предыдущему примеру и r=5%. В колонке 3 табл. 16.2 вычисляем средневзвешенные затраты (d=0,952):

Таблица 16.2

Период i	Затраты ci	Средне-взвешен.
1	50	50
2	10	30.49
3	20	27.16*
4	30	28.82
5	40	30.02
6	50	32.96

В данном случае замена оборудования должна производиться также в третий период, т.к. соотношения (16.3)-(16.4) выполняются для n=3. В обоих примерах мы предполагали, что затраты на эксплуатацию стареющего оборудования возрастали со временем.

Построим модель замены оборудования, используя язык сетевого моделирования. Предположим, что нам необходимо разработать план аренды оборудования на период n лет. Событием i будем считать начало i-го года (i  n). Пусть величина затрат c_ij включает арендную плату плюс ожидаемые расходы на ремонт и обслуживание оборудования, взятого в аренду в начале года i и замененного в начале года j. Тогда дугой (i,j) будем считать договор аренды оборудования с начала года i по начало года j. Получили ориентированную ациклическую сеть. План аренды должен быть составлен таким образом, чтобы минимизировать суммарные затраты, что на сетевом языке соответствует нахождению кратчайшего пути в сети от события 1 до n+1. Таким образом, для сведения задачи об аренде оборудования к сетевой модели нам необходимо уметь рассчитывать коэффициенты c_ij.

Пример 16.3. Допустим, что затраты на эксплуатацию и ремонт оборудования в течение одного, двух, трех, четырех и пяти лет составляют соответственно 1,3,6,10 и 15. Пусть арендная плата при этом составляет соответственно 5,9,13,16 и 19. Причем, каждый год арендные платежи увеличиваются на 1, т.е. если оборудование взято в аренду, например, в начале третьего года на один, два или три года, то арендная плата составит соответственно 7,11,15. Рассчитанные коэффициенты c_ij сведем в табл. 16.3.

Таблица 16.3.

	2	3	4	5	6
1	1+5=6	3+9=12	6+13=19	10+16=26	15+19=34
2		1+6=7	3+10=13	6+14=20	10+17=27
3			1+7=8	3+11=14	6+15=21
4				1+8=9	3+12=15
5					1+9=10

В данном примере мы составляем план аренды на 5 лет, поэтому ввели событие 6 как конец года 5. Проверку правильности расчета всех коэффициентов предоставляем слушателям. Применим теперь к полученной сети алгоритм нахождения кратчайшего пути (Тема 12, расчет ведем от последнего события 6 до начального 1):

у₆ =0,

у₅ =min{c₅₆ + у₆}=10+0=10,

у₄=min{c₄₅ + у₅,c₄₆ + у₆}=min{9+10,15}=15,

у₃=min{c₃₄ + у₄,c₃₅ + у₅,c₃₆ + у₆}=min{8+15,14+10,21}=21,

у₂=min{c₂₃+у₃,c₂₄+у₄,c₂₅+у₅,c₂₆ +у₆}=min{7+21,13+15,20+10,27}=27,

у₁=min{c₁₂+у₂,c₁₃+у₃,c₁₄+у₄,c₁₅+у₅,c₁₆+у₆}=min{6+27,12+21,19+15,26+10,34}=33.

Таких маршрутов оказалось два: (1 – 2 – 6) и (1 – 3 – 6). Значит, оптимальными стратегиями будут следующие планы аренды:

1. сначала заключить договор на один год, а затем (в начале второго года) на оставшиеся 4 года;

2. сначала заключить договор на два года, а затем (в начале третьего года) на оставшиеся 3 года.

Оба варианта имеют минимальные издержки 33.

Пример 16.4. Необходимо определить план замены станка на ближайшие семь лет (более он не понадобится), если известны:

а) p_t – стоимость новой модели в год t,

б) v_k– остаточная стоимость станка после k лет эксплуатации,

в) r_k – затраты на эксплуатацию станка в k год его эксплуатации.

Как и в предыдущем примере определим события как начала каждого года. Под дугой (i,j) будем понимать решение заменить станок в начале года j, купленный в начале года i, тогда он будет эксплуатироваться (j – i) лет и затраты, связанные с этим решением, можно вычислить по формуле:

c_ij = p_j– v_j-i+(r₁+ r₂+…+r_j-i). (16.5)

Пусть исходные данные находятся в табл. 16.4.

Таблица 16.4

	pt	rk	vk
1	100	30	50
2	105	40	25
3	110	50	10
4	115	50	5
5	120	60	2
6	125	70	1
7	130	100	0

Вычисляем c_ij по формуле (16.5) и результаты заносим в табл. 16.5.

Таблица 16.5

	2	3	4	5	6	7	8
1	105 - 50+30= 85	110 - 25+70= 155	115 - 10+120= 225	120 - 5+170= 285	125 - 2+230= 353	130 - 1+300= 429	0+400= 400
2		110 - 50+30= 90	115 - 25+70= 160	120 - 10+120= 230	125 - 5+170= 290	130 - 2+230= 358	-1+300= 299
3			115 - 50+30= 95	120 - 25+70= 165	125 - 10+120 = 235	130 - 5+170= 295	-2+230= 228
4				120 - 50+30= 100	125 - 25+70= 170	130 - 10+120 = 240	-5+170= 165
5					125 - 50+30= 105	130 - 25+70= 175	- 10+120 = 110
6						130 - 50+30= 110	- 25+70= 45
7							- 50+30= -20

При вычислении затрат в колонке 8 мы учитываем тот факт, что новый станок в начале года 8 больше не приобретается, необходимость в нем отпала по условиям нашего примера.

Для нахождения оптимального плана замен воспользуемся опять алгоритмом поиска кратчайшего пути.

y₈=0,

y₇=min{c₇₈+ y₈}=(-20+0)=-20,

y₆=min{c₆₇+ y₇,c₆₈+ y₈}=min{110-20,45+0}=45,

y₅=min{c₅₆+ y₆,c₅₇+ y₇,c₅₈+ y₈}=min{105+45,175-20,110+0}=110,

y₄=min{c₄₅+y₅,c₄₆+y₆,c₄₇+y₇,c₄₈+y₈}=min{100+110,170+45,240-20,165}= 165,

y₃=min{c₃₄+y₄,c₃₅+y₅,c₃₆+y₆,c₃₇+y₇,c₃₈+y₈}=min{95+165,165+110,235+45,295-20,228}=

=228,

y₂=min{c₂₃+y₃,c₂₄+y₄,c₂₅+y₅,c₂₆+y₆,c₂₇+y₇,c₂₈+y₈}=

=min{90+228,160+165,230+110,290+45,358-20,299}=299,

y₁=min{c₁₂+y₂,c₁₃+y₃,c₁₄+y₄,c₁₅+y₅,c₁₆+y₆,c₁₇+y₇,c₁₈+y₈}=

=min{85+299,155+228,225+165,285+110,353+45,429-20,400}=383.

Получили кратчайший путь (1 - 3 - 8), который соответствует следующей оптимальной стратегии:

Станок, купленный в начале первого года, необходимо заменить в начале третьего года и эксплуатировать его до конца рассматриваемого периода (оставшиеся 5 лет), при этом затраты будут минимальны и равны 383 (без учета стоимости станка, приобретенного в первый год).

Интересно проследить влияние различных составляющих затрат на оптимальное решение (понятие устойчивости).

Рассмотрим коэффициенты p_t:

При каких диапазонах изменения величин p_t стратегия, найденная в примере 16.4, останется оптимальной?

p₂ =105 используется при вычислении c₁₂ =85, которая в свою очередь анализируется при определении y₁ (первая альтернатива – 85+299=384). Отсюда получаем, что при p₂104 оптимальное решение сохраняется прежним.

p₃ =110 используется при вычислении c₁₃ =155, которая в свою очередь анализируется при определении y₁ (вторая альтернатива – 155+228=383). Отсюда получаем, что при p₃111 оптимальное решение сохраняется прежним.

p₄ =115 используется при вычислении c₁₄ =225, которая в свою очередь анализируется при определении y₁ (третья альтернатива – 225+165=390). Отсюда получаем, что при p₄108 оптимальное решение сохраняется прежним.

p₅ =120 используется при вычислении c₁₅ =285, которая в свою очередь анализируется при определении y₁ (четвертая альтернатива– 285+110=395). Отсюда получаем, что при p₅108 оптимальное решение сохраняется прежним.

p₆ =125 используется при вычислении c₁₆ =353, которая в свою очередь анализируется при определении y₁ (пятая альтернатива – 353+45=398). Отсюда получаем, что при p₆110 оптимальное решение сохраняется прежним.

p₇ =130 используется при вычислении c₁₇ =429, которая в свою очередь анализируется при определении y₁ (шестая альтернатива – 429–20=409). Отсюда получаем, что при p₇104 оптимальное решение сохраняется прежним.

Упражнение. Определите диапазоны изменения величин r_k(затрат на эксплуатацию станка в течение k-го года его использования), в которых стратегия, найденная в примере 16.4, остается оптимальной.

Можно смоделировать задачу замены оборудования как многошаговый процесс динамического программирования (см. тему 14).

Пусть как и прежде величина c_ij представляет собой сумму покупной цены и ожидаемых расходов на ремонт и обслуживание оборудования, приобретенного в начале года i, за вычетом остаточной стоимости этого оборудования на начало года j.

Примем следующее обозначение:

f_i – величина затрат, соответствующая стратегии замены, минимизирующей эти затраты в интервалах i, i+1,…, n, в предположении, что новое оборудование приобретается в год i.

Тогда для нахождения оптимальной стратегии нам необходимо вычислить f₁(минимальные затраты и соответствующую стратегию с первого шага), пользуясь следующим рекуррентным соотношением:

f_n+1 =0,

f_i =min_j>i{c_ij + f_j}, i=n, n-1, …, 1. (16.6)

Читателю предоставляется возможность самостоятельно убедиться в том, что нахождение оптимальной стратегии в многошаговом процессе с использованием соотношения (16.6) в мельчайших деталях совпадает с алгоритмом поиска кратчайшего пути в ациклической сети.

Задачу замены оборудования средствами динамического программирования можно смоделировать несколько иным образом.

Предположим, что затраты, отвечающие некоторой стратегии замены, включают две составляющие:

р_ik – стоимость замены оборудования возраста k на интервале i за вычетом его остаточной стоимости;

r_ik – стоимость эксплуатации оборудования возраста k на интервале i.

Пусть f_i(k) – стратегия, минимизирующая затраты на интервалах i, i+1,…, n, при условии, что в начале интервала i возраст оборудования составляет k лет.

Если оптимальное решение состоит в сохранении оборудования в интервале i, то

f_i(k) =r_ik+1 +f_i+1(k+1),

но если оптимальное решение сводится к его замене, то

f_i(k) =р_ik +r_i1 +f_i+1(1).

Таким образом, имеем

f_i(k) =min{r_ik+1 +f_i+1(k+1), р_ik +r_i1 +f_i+1(1)}, i=1,2,…,n, (16.7)

где f_n+1(k)=0 для всех k. Пусть К – возможный срок службы оборудования.

Мы планируем на n лет, поэтому начало (n+1)-го периода соответствует концу нашего планового периода.

Нахождение оптимального решения заключается в вычислении f₁(k₀), где k₀ – возраст оборудования на начало планового периода. Если в это время рассматриваемая единица оборудования отсутствует, то нет смысла говорить о его сохранении при i=1, а решение о замене есть просто покупка нового оборудования.

Пример 16.5. Необходимо составить план замены оборудования на пять лет при условии отсутствия его в начале первого года, прогнозируемые затраты сведены в таблицы 16.6 и 16.7.

Таблица 16.6. Значения r_ik Таблица 16.7. Значения р_ik

	1	2	3	4	5				1	2	3	4
1	10							1	100
2	8	16						2	55
3	6	12	18					3	60	80
4	4	8	12	20				4	65	85	105
5	0	0	10	15	20			5	70	90	110	115

Пустые клетки в таблицах образовались из того факта, что в начале планового периода оборудования нет, оно только приобретается, поэтому нет нужды прогнозировать некоторые затраты, например, в год 3 не будет оборудования с возрастом 4, или на начало любого года не будет оборудования с пятилетним возрастом, поэтому колонка 5 в табл. 16.7 отсутствует.

Применим рекуррентное соотношение (16.7):

f₆(k) =0 для всех k.

i=5 (в начале года 5 возраст не может быть больше 4):

f₅(4) =min{r₅₅ +f₆(5), р₅₄ +r₅₁ +f₆(1)}=min{200+0,115+10+0}=125,

f₅(3) =min{r₅₄ +f₆(4), р₅₃ +r₅₁ +f₆(1)}=min{85+0,110+10+0}=85,

f₅(2) =min{r₅₃ +f₆(3), р₅₂ +r₅₁ +f₆(1)}=min{40+0,90+10+0}=40,

f₅(1) =min{r₅₂ +f₆(2), р₅₁ +r₅₁ +f₆(1)}=min{20+0,70+10+0}=20.

i=4 (в начале года 4 возраст не может быть больше 3):

f₄(3) =min{r₄₄ +f₅(4), р₄₃ +r₄₁ +f₅(1)}=min{120+125,105+14+20}=139,

f₄(2) =min{r₄₃ +f₅(3), р₄₂ +r₄₁ +f₅(1)}=min{52+85,85+14+20}=119,

f₄(1) =min{r₄₂ +f₅(2), р₄₁ +r₄₁ +f₅(1)}=min{28+40,65+14+20}=68.

i=3 (в начале года 3 возраст не может быть больше 2):

f₃(2) =min{r₃₃ +f₄(3), р₃₂ +r₃₁ +f₄(1)}=min{68+139,80+16+68}=164,

f₃(1) =min{r₃₂ +f₄(2), р₃₁ +r₃₁ +f₄(1)}=min{32+119,60+16+68}=144.

i=2 (в начале года 2 возраст не может быть больше 1):

f₂(1) =min{r₂₂ +f₃(2), р₂₁ +r₂₁ +f₃(1)}=min{36+164,55+18+144}=200.

Т.к. по условию примера в начале первого года мы приобретаем новое оборудование, то

f₁(0) = р₁₁ +r₁₁ +f₂(1)=100+20+200=320.

Таким образом, оптимальная стратегия заключается в следующем:

В начале третьего года заменяем оборудование, купленное в начале первого года, и эксплуатируем его до конца планового периода.

До сих пор мы рассматривали детерминированный вариант задачи о замене оборудования, где с индексом k была связана продолжительность нормально эксплуатируемого устройства. В стохастическом варианте задачи восстановления допускается, что устройство может выйти из строя еще до запланированного момента замены (тогда оно заменяется в следующий за поломкой момент времени).

Пусть нам известны p_j – вероятности того, что поломка оборудования произойдет в j–й момент его использования (j<k);