Управленческие решения / mat_Gelrud / ТЕМА13

Тема 13

Задачи календарного планирования

Календарное планирование (или теория расписаний) – область исследования операций, в которой разрабатываются теория и методы решения оптимального в определенном смысле упорядочения во времени конечного множества работ, выполняемых на заданном производственном оборудовании.

В данной теме частично использована классификация задач календарного планирования и методов их решения, предложенная В.И.Воропаевым[14].

Календарный план работы предприятия (цеха, производственного или строительного участка) определяется совокупностью элементов t_ij – моментов начала i–й работы на j–ом оборудовании (в частности, в строительном производстве под оборудованием может пониматься как собственно строительные машины и механизмы, так и бригады или звенья исполнителей). Наличие календарного плана позволяет более точно определять запасы производственных ресурсов и промежуточных продуктов, необходимые сроки и объемы их пополнения, емкости складов, сроки профилактического и капитального ремонта оборудования и т.п., прогнозировать динамику производства, что уменьшает вероятность различного рода сбоев.

Вследствие огромного разнообразия производственных условий и возможностей производственных подразделений универсальная постановка задачи календарного планирования отсутствует.

Наиболее часто рассматривается модель календарного планирования работы участка единичного и мелкосерийного производства, позволяющая оптимизировать последовательность обработки m изделий на n станках (различные варианты задачи Джонсона). Более точно следует рассматривать участок, в котором работы на станках меняются в соответствии с очередными нарядами-заданиями, а изделия или их партии в полном составе передаются со станка на станок в соответствии с фиксированными последовательностями операций. Тот факт, что участок работает по нарядам, не определяет реальных организационно-производственных условий, такой участок может встретиться и в условиях массового производства, тогда как и в условиях единичного производства можно встретить станки, закруженные всегда одинаковой работой. Модель производства для подобного участка подразумевает следующее:

• для каждого изделия задан технологический маршрут, т.е. последовательность станков, на которых оно обрабатывается;

• известны трудоемкости соответствующих операций;

• одновременно на станке выполняется не более одной операции (без перерывов);

• времена переналадки станков и транспортировки изделий (внутри участка) включаются в длительность обработки и не зависят от последовательности изделий на данном станке;

• допустимы межоперационные запасы, т.е. имеются емкости для незавершенного производства.

Введем следующие обозначения:

t_ij – время обработки i–го изделия на j–м станке (i=1,…,n, j=1,…,m);

Х^j – искомый вектор последовательности запуска изделий на j–м станке (Х^j=(х^j₁,х^j₂,…,х^j_n), где х^j_k - номер изделия, выполняющегося k–м по очереди на j-м станке);

Т_ij(Х^j) – срок начала обработки i–го изделия на j–м станке;

Т^н_i(Х^j) = Т_i1(Х¹) – срок начала работы над i–м изделием;

Т^о_i(Х^j) = Т_im(Х^m) – срок окончания работы над i–м изделием (здесь для упрощения обозначений принято, что все изделия начинают обработку с первого станка, а заканчивают на m-м);

D_i= Т^о_i(Х^j) – Т^н_i(Х^j) – длительность обработки i–го изделия;

О_ij(Х^j) – ожидание i–м изделием j–го станка (пролеживание изделия);

Р_ij(Х^j) – простой j–го станка перед обработкой i–го изделия;

Очевидно, что D_i= _j(О_ij(Х^j)+ t_ij).

Критерии оптимальности календарного плана можно разделить на два типа в зависимости от того, заданы директивные сроки обработки каждого изделия или нет.

К первому типу относятся критерии, являющиеся функцией заданных сроков готовности i–го изделия – L_i :

• минимизация суммарного, либо максимального, либо среднего отставания от заданных сроков –

а n есть количество членов в (1) : [х_i]>0;

где

_iT^о_i(Х^j) – L_imin, max _iT^о_i(Х^j) – L_imin, _iT^о_i(Х^j) – L_i/nmin, (13.1)

• минимизация издержек, связанных с невыполнением работы в срок (штрафы за несвоевременную поставку готовых изделий, потери при простоях станков или сборки при запаздывании заготовок или деталей, материальный ущерб из-за ухудшения репутации фирмы, чрезвычайные транспортные расходы при срочной доставке запаздывающих изделий и т.п.) –

_i_iT^о_i(Х^j) – L_imin, (13.2)

где _i – штраф за задержку на 1 день;

• минимизация числа отстающих работ (nmin) и т.д.

Критерии второго типа зависят от общей продолжительности обработки изделий:

• минимизация продолжительности календарного графика –

_i D_i min; (13.3)

• минимизация простоев станков или пролеживания деталей –

_ij Р_ij(Х^j) min, _ijО_ij(Х^j) min; (13.4)

• сокращение среднего срока поставки изделия заказчику –

_i D_i /nmin; (13.5)

• максимизация некоторого показателя использования оборудования –

_ij _jР_ij(Х^j) min, (13.6)

где _j – издержки, связанные с простоем оборудования;

• минимизация издержек на незавершенное производство –

_ij _iР_ij(Х^j) min, (13.7)

где _i – издержки, связанные с пролеживанием изделий;

• минимизация стоимости переналадок оборудования и т. д.

На критерии (13.3) (критерии Джонсона) следует остановиться подробнее, так как он занимает главенствующее место во многих работах по календарному планированию и может создаться впечатление, что он является ключевым для всей проблемы, а целесообразность его применения не подлежит сомнению. На самом деле в большинстве случаев, в частности в машиностроении, критерий Джонсона не только не полезен, но может привести к потерям и дезорганизации производства.

В обоснование этого критерия выдвигается тот довод, что многие другие критерии являются его следствием, т.е. сокращая календарную длительность выполнения запланированных работ, "автоматически" получают оптимальные планы и по остальным критериям.

Для реальных производственных условий такого рода аргументация сомнительна. При правильном планировании простои, угрожающие снижением пропускной способности участка, могут предотвращаться за счет переходящих заделов – межоперационных остатков незавершенного производства, заблаговременно создаваемых и постоянно поддерживаемых. Если же на последующих операциях образуются излишки фонда полезного времени оборудования, то они заполняются работами по восстановлению межоперационного задела. Говоря же о снижении расходов незавершенного производства, следует иметь в виду, что изделия могут иметь неодинаковую стоимость. Поэтому, обрабатывая в первую очередь наиболее дорогие изделия, можно снизить средние остатки незавершенного производства в стоимостном выражении больше, чем при оптимальной последовательности по критерию Джонсона. Также надо добавить, что план, оптимальный по критерию Джонсона, может привести к чрезмерному росту незавершенного производства перед сборкой и к штурмовщине в конце каждого планового периода, т.к. при этом невозможно приступить к сборке до тех пор, пока не произведены все детали разных изделий, включенных в тот же план.

Еще серьезнее обстоит дело, если сроки выполнения заказов потребителей сокращаются в среднем, при этом сроки выполнения отдельно взятых заказов ни в коей мере не будут соответствовать срочности этих заказов с точки зрения потребителей. Таким образом, сокращение среднего срока выполнения заказа имеет здесь такие же преимущества, как соответствие средних размеров готового платья средним размерам потребителей при полном пренебрежении ростом и сложением каждого из них.

Критерий Джонсона пригоден в том случае, когда требуется форсировать выпуск какого-либо особо срочного изделия независимо от затрат. Что касается обычного хода производства, то формулировать условия его применимости (впрочем, как и любого другого критерия) надо с большой осторожностью в соответствии с конкретной обстановкой.

Наряду с перечисленными распространенными критериями применяются и такие, как средняя продолжительность производственного цикла (то есть промежуток времени между запуском изделия в производство и его выпуском в готовом виде), а также среднее число изделий в производстве, средняя длительность ожидания в очередях. Встречаются совсем специальные критерии, например, применительно к условиям свертывания производства минимизируется продолжительность ликвидационного промежутка, в течение которого завершается обработка всех деталей и рабочая сила полностью освобождается для иных применений.

В условиях массового и крупносерийного производства возникает задача определения оптимальной партии запуска изделий в производство. Критерием оптимальности служит сумма затрат, включающая затраты на переналадку, затраты на содержание запасов, потерь из-за дефицита, нормальной и сверхурочной заработной платы, причем рассматриваются дисконтированные затраты, т.е. приведенные на начало планового периода.

И, наконец, при календарном планировании сложных неповторяющихся работ используется сетевое моделирование.

Методы решения задач теории расписаний можно разделить на строгие (точные) и приближенные.

Из точных методов некоторое распространение получили методы линейного программирования (Темы 4,5,6) для решения частных задач календарного планирования:

• планирование перевозок различных грузов;

• размещение и загрузка оборудования;

• определение численно-квалификационного состава бригад:

• выбор технологической схемы производства работ;

• определение очередности выполнения заказов (строительства объектов) и др.

Метод Джонсона, получивший широкую известность (мы подробно рассмотрим его ниже) и послуживший толчком к многочисленным попыткам того же рода, к сожалению, пригоден только в отношении модели без ограничений по срокам готовности изделий и только в случае двух станков (операций).

Точное решение стоимостных задач календарного планирования на основе сетевых моделей описано в Теме 8, хотя его практическое использование сопряжено с трудностью получения фактических данных о зависимостях «время-стоимость».

При календарном планировании массового и крупносерийного производства широко используются методы теории управления запасами, рассмотренные в Теме 9.

Зачастую задачи календарного планирования сводят к задачам теории массового обслуживания (Тема 10). Входной поток деталей считают распределенным по закону Пуассона. Предполагается, что длительности обработки изделий на отдельных станках подчинены неизменному закону распределения (обычно – показательное распределение, реже – по отчетным данным предприятия). Технологические маршруты либо устанавливаются одинаковыми для всех изделий (так называемые системы поточного типа), либо определяются матрицей вероятностей переходов изделий со станка на станок.

Ряд задач удается решить точными комбинаторными методами, идеи которых мы рассмотрели в Теме 12.

Применение для решения общих задач календарного планирования методов динамического программирования (Тема 14) позволило получить эффективные алгоритмы только для простейших задач.

Среди приближенных методов центральное место занимает статистическое моделирование с применением процедуры Монте-Карло (Тема 15). Объем вычислительной работы при статистическом моделировании зависит от заданной точности искомых оценок и дисперсии входных распределений. При достаточно длительном статистическом испытании допустимых планов этот метод позволяет получить оптимальные решения с заданной доверительной вероятностью.

Эвристические методы (от латинского «эурискейн» – делать открытия) используют логику и здравый смысл, накопленный в результате личного опыта. Эти методы дают практически удовлетворительный результат за приемлемое время и стоимость его получения. Следует отметить, что для эвристических методов в основном отсутствуют обоснованные оценки уклонения получаемых решений от оптимальных. Качество таких планов зависит от применяемых правил определения приоритета работ. Приоритетные методы построения календарных планов основаны на упорядочении множества работ в соответствии с некоторыми признаками (показателями приоритета) и последовательном включении работ в календарный план в соответствии с произведенным упорядочением.

Отличие таких методов друг от друга заключается в способе определения (или назначения) приоритетов работ. Они могут быть заданы один раз на все время составления календарного плана, либо могут изменяться согласно некоторой процедуре в процессе решения. Не исключается комбинация правил приоритета, в частности и такая, при которой обрабатываются в первую очередь детали для предотвращения простоя на следующем станке, а если такой опасности нет, то вступает в силу другое правило приоритета.

Некоторые эвристические алгоритмы календарного планирования на базе сетевых моделей были рассмотрены нами в Теме 8 («калибровка» и «сглаживание»).

Идеи и методы имитационного моделирования (Тема 17) также применимы к задачам календарного планирования.

Отметим еще одно перспективное направление, которое получает развитие в последнее время: это «человеко-машинные» или «диалоговые» методы решения задач планирования. Применение диалоговых методов (при наличии соответствующих программных средств на ЭВМ) в сочетании с точными и эвристическими методами позволяет существенно повысить эффективность решения задач календарного планирования, так как здесь суммируются достоинства математических и логических методов (включая богатую интуицию и опыт человека). Процедура выработки решения организуется так, что обеспечивается активное взаимодействие человека и ЭВМ (формирование критерия качества плана происходит в процессе решения, а не фиксируется заранее; допускается возможность изменения исходных данных на любых этапах формирования плана, а также последовательности вычислительных процедур). С помощью такого последовательного приближения получают календарный план, который удовлетворяет всем технологическим, организационным и некоторым другим требованиям.

Алгоритм Джонсона для составления оптимального двухоперационного календарного плана.

Имеется n изделий, которые должны пройти обработку сначала на одном станке, а затем на втором. Пусть А_i – сумма подготовительно-заключительного и оперативного времени для i–го изделия на первом станке, а В_i – на втором (i=1,…,n). Необходимо найти оптимальный вариант плана запуска изделий в производство, имея в виду минимизировать суммарную календарную длительность их обработки на этих двух станках.

С.М.Джексон доказал, что оптимальная последовательность изделий должна совпадать на обоих станках и строиться по следующим правилам:

• просмотреть все продолжительности обработки и найти среди них наименьшую;

• если она относится к первому станку (то есть это А_i), расположить соответствующее изделие первым;

• если она относится ко второму станку (то есть это В_i), расположить соответствующее изделие последним;

• повторить эти шаги для оставшихся изделий. Таким образом, при составлении оптимальной последовательности изделий мы двигаемся от концов к середине;

• если попадаются равные числа, то для определенности изделие с меньшим индексом располагается первым.

Для иллюстрации метода приведем простой пример:

Пример 13.1. Продолжительности обработки приведены в табл.13.1.

Таблица 13.1

I	Аi	Вi
1	4	5
2	4	1
3	30	4
4	6	30
5	2	3

Правило Джонсона дает оптимальную последовательность (5,1,4,3,2). Общее время задержек для этой последовательности составляет 4 единицы времени, суммарные затраты календарного времени равны 47 единицам. Если изменить порядок изделий на обратный, общий промежуток календарного времени составит 78 единиц, что является наихудшим вариантом.

Для трех различных станков (или операций) задача уже не столь проста, однако, для некоторых случаев находится общее решение, аналогичное двухоперационной задаче.

Для четырех и более операций оптимальное планирование может потребовать изменения в последовательности обработки изделий на разных станках. Точных алгоритмов для этих случаев пока не разработано.

6