Управленческие решения / mat_Gelrud / Тема10

Тема 10

Задачи массового обслуживания

Задачи массового обслуживания возникают в том случае, когда заявки на обслуживание (или требования) не могут быть выполнены в силу занятости обслуживающего оборудования или сама обслуживающая система оказывается бездействующей в силу отсутствия заявок. При моделировании данных задач мы будем использовать фундаментальные понятия теории вероятности, т.к. случайными оказываются поток требований или длительность времени обслуживания, или и то и другое. При решении этих задач приходится определять либо оптимальное число обслуживающих приборов, либо оптимальную скорость потока (или находить моменты поступления заявок).

Класс моделей, пригодных для решения подобных задач, и рассматривается в настоящей главе, которую называют еще теорией очередей.

Другая группа задач теории массового обслуживания состоит в определении последовательности, в которой ряд станций обслуживания выполняет имеющиеся заказы. Задачи этой группы получили название задач последовательного обслуживания или календарного планирования (теория расписаний) и рассматриваются в Теме 13.

При построении функции распределения вероятностей для длины очереди необходимо учесть ряд особенностей, присущих процессу образования очередей:

1. Порядок, в соответствии с которым заказы (клиенты в магазине, автомашины на погрузку и т.п.) поступают в очередь.

2. Количество обслуживающих единиц (станций), исполняющих заказы, и стратегию обслуживания, т.е. ограничения, наложенные на возможности и потребности обслуживания.

3. Последовательность обслуживания – дисциплина очереди. Дисциплина может определяться разными правилами обслуживания:

– «первым пришел – первым обслуживаешься»,

– «последним пришел – первым обслуживаешься»,

• случайный отбор заявок,

• отбор по критерию приоритетности.

4. Характер обслуживания и его длительность. Это – выход системы (обслуженные клиенты, загруженные автомашины и т.п.).

При решении задач, связанных с очередями, возможны две ситуации:

а) число заказов слишком велико; имеет место большое время ожидания (недостаточный объем обслуживающего оборудования);

б) поступает недостаточное число заказов; имеет место простой оборудования (избыток оборудования).

Необходимо найти оптимальное соотношение между потерями, вызванными простоем оборудования, и потерями из-за ожидания.

Найдем сначала среднюю длину очереди и вероятность появления очереди заданной длины на единственной станции обслуживания. Предположим, что скорость поступления и обслуживания случайны и не зависят от неограниченной длины очереди.

Модель 10.1.

Обозначим Р_n(t) – вероятность образования очереди из n заказов (включая и находящийся в обслуживании) к моменту времени t,  – средняя скорость появления заказов,  – средняя скорость обслуживания. Рассмотрим простейший поток заказов, характеризующийся тем, что для t – элементарного (малого) отрезка времени вероятности поступления (или обслуживания) одного заказа пропорциональны длине этого отрезка, то есть равны соответственно t(или t), а вероятности появления или обслуживания более одного заказа предполагаются пренебрежимо малыми. Тогда вероятность того, что к моменту t + t в очереди будет находиться n заказов (n  0) можно представить в виде

Р_n(t + t) = Р(А) +Р(В) +Р(С)+ Р(Д),

где А,В,С,Д – независимы и событие А заключается в том, что в момент t было n заказов и в течение интервала t не поступил новый заказ и не выполнен старый –

Р(А) = Р_n(t)(1 –t)(1 – t);

событие В заключается в том, что в момент t было n+1 заказов и в течение интервала t не поступил новый заказ, но выполнен старый –

Р(В) = Р_n+1(t)(1 –t)( t);

событие С заключается в том, что в момент t было n–1 заказов и в течение интервала t поступил новый заказ и не выполнен старый –

Р(С) = Р_n-1(t)(t)(1 – t);

событие Д заключается в том, что в момент t было n заказов и в течение интервала t поступил новый заказ и выполнен один старый –

Р(Д) = Р_n(t)(t)( t).

Складывая эти вероятности и упрощая, получаем

Р_n(t + t) = Р_n(t)(1 –t – t) + Р_n+1(t)t + Р_n-1(t)t + о(t), или

 Р_n(t + t) – Р_n(t)/ t =  Р_n-1(t) + Р_n+1(t) – ( + ) Р_n(t) + о(t),

где о(t) является величиной более высокого порядка по сравнению с t , и потому ею можно пренебречь.

Полагая t0, получаем дифференциальное уравнение

dР_n(t) / dt =  Р_n-1(t) + Р_n+1(t) – ( + ) Р_n(t) (n  0). (10.1)

Вероятность случая n = 0 выражается суммой вероятностей двух независимых событий:

Р(А) – вероятность того, что в момент t очереди нет и в течение интервала t новые заказы не поступают, т.е. Р(А) = Р₀(t)(1 –t);

Р(В) –вероятность того, что в момент t в очереди имеется один заказ и в течение интервала t завершается его обслуживание, а новые заказы не поступают, т.е. Р(В)=Р₁(t)(1–t) t. Складывая, находим

Р₀(t + t) = Р₀(t)(1 –t) + Р₁(t) t + о(t), или

dР₀(t) / dt = –  Р₀(t) + Р₁(t). (10.2)

Уравнения (10.1) – (10.2), выведенные выдающимся советским математиком Колмогоровым А.Н., дают возможность найти все вероятности состояний очереди как функции времени, что является исходным пунктом для решения многих задач теории очередей. Решение этих уравнений связано с вычислительными трудностями, однако, в частном случае, когда Р_n(t) не зависит от времени, задача решается легко. Этот случай называют предельным стационарным режимом, который существует при t  , когда   .

Предельная вероятность Р_n имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время наличия очереди длиной n. Например, если Р₀ = 1/2, то это означает, что в среднем половину времени очереди нет. Так как предельные вероятности постоянны, то их производные равны нулю, и потому для уравнений (10.1) –(10.2) имеем:

0 =  Р_n-1 + Р_n+1 – ( + ) Р_n (n  0), (10.3)

0 = – Р₀ + Р₁. (10.4)

Решение уравнений (10.3) – (10.4) может быть найдено методом последовательных подстановок с учетом того, что_n^₌₀ Р_n = 1.

Из уравнения (10.4) находим Р₁ = ( /) Р₀.

Полагая в уравнении (10.3) n = 1 и подставляя найденное Р₁, имеем Р₂ = ( /)² Р₀. И вообще Р_n = ( /)ⁿ Р₀. Суммируя все вероятности

1= _n^₌₀ Р_n = Р₀ _n^₌₀ ( /)ⁿ,

и так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с основанием  =  /  1, то _n^₌₀ ⁿ =1/(1 – ), откуда имеем

1 = Р₀ /(1 – ), Р₀ = (1 – ), и окончательно

Р_n = ⁿ(1 – ). (10.5)

Величина  =  / называется интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки станции. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Найдем n – среднюю длину очереди. По определению

n = _n^₌₀ nР_n. (10.6)

Подставляя в (10.6) значение Р_n из (10.5), находим

n = _n^₌₀ nⁿ(1 – ) = (1 – )_n^₌₀ nⁿ = (1 – )( _n^₌₀ ⁿ) =

=(1 – )(1/(1 – )) = /(1 – )=/( –  ). (10.7)

Найдем t_w – среднее время ожидания обслуживания. Если средняя скорость обслуживания равна , то среднее время обслуживания t_s=1/, и, при средней скорости поступления заказов , справедливо

n = ( t_w + 1/), откуда

t_w = n/ – 1/, и подставляя (10.7)

t_w = 1/( –  ) – 1/. (10.8)

Пример 10.1. Пусть автомобили прибывают на моечную станцию со средней интенсивностью  = 5 автомобилей в час. Продолжительность выполнения работ в среднем равна 10 мин., т.е.  =60/10=6 а/ч. Поскольку  =  / = 5/6  1, система может функционировать в стационарном режиме. Найдем среднее время ожидания обслуживания t_w = 1/( –)–1/ =1/(6–5)–1/6 =5/6 (50 мин), тогда среднее число автомобилей, ожидающих обслуживания, равно n_w=t_w =25/6=4.17 ≈ 4. Если подготовить стоянку для ожидающих автомобилей на 4 места, то потеряем клиента, прибывшего сверх среднего количества. Поэтому для «разумного» обеспечения местами прибывающих на мойку автомобилей зададимся целью обеспечить одновременно стоянку, например, 80% клиентов. Это эквивалентно выполнению условия

Р₀ + Р₁ + Р₂ + …+ Р_w ≥ 0.8,

где w – подлежащее определению число стоянок. Используя (10.5)

(1 – ) + (1 – ) +…+ ^w(1 – ) ≥ 0.8.

учитывая, что

(1 – ) + (1 – ) +…+ ^w(1 – ) =(1 – )(1 +  +…+ ^w) = 1 –^w+1,

получаем ^w+1 ≤ 0.2 и окончательно w ≥ ln(0.2)/ln(5/6) – 1 = 7.8 ≈ 8.

Таким образом, для одновременного размещения по крайней мере 80% прибывающих автомобилей минимальное число мест для стоянок должно быть в два раза больше среднего числа ожидающих обслуживания автомобилей.

Важной характеристикой является также доля времени, в течение которого станция простаивает. Вероятность такого события

Р₀ =1 –  ≈ 0.17.

Вероятности того, что на станции обслуживается ровно один автомобиль (или два – один обслуживается , второй ждет) равны соответственно:

Р₁ =(1 – ) ≈ 0.139,

Р₂ = ²(1 – ) ≈ 0.116.

Модель 10.2.

Рассмотрим случай ограниченной очереди, когда при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не принимается либо сам клиент отказывается присоединиться к очереди из-за отсутствия места в блоке ожидания. Формулы для параметров такой системы массового обслуживания выводятся аналогично предыдущим, при этом суммируется не бесконечная, а конечная геометрическая прогрессия от 0 до N.

Р_n = ⁿ(1 – )/(1 – ^N+1), n ≤ N (10.9)

Р_n = 0, n > N.

Следует отметить, что в этой модели параметр = / не обязательно должен быть меньше единицы, поскольку число допускаемых в систему требований ограничено, и для  = 1 Р_n =1/(N +1).

Выражение для среднего числа находящихся в системе заявок принимает следующий вид

n = (1 – (N+1)^N + N^N+1 )/(1 – )/(1 – ^N+1), для  ≠1, (10.10)

 N/2, для =1.

Поскольку вероятность того, что заказ не имеет возможности попасть в очередь, равняется Р_N , доля заказов, поступающих в систему, равняется 1 – Р_N. Отсюда характеристики системы имеют вид:

Для n_w – среднее число заказов, ожидающих обслуживания:

n_w = n – (1 – Р_N )/, (10.11)

для t_w – среднее время ожидания обслуживания:

t_w = n_w/ /(1 – Р_N ), (10.12)

Пример 10.2. Пусть в условиях примера 10.1 моечная станция располагает пятью местами для стоянки ожидающих автомобилей.

В данном примере N =5+1=6, =5/6, а

Р_N =(5/6)⁶(1 – 5/6)/(1 – (5/6) ⁷) = 0.0774, N = 6.

Отсюда следует, что частота случаев, когда автомобиль не попадает на моечную станцию равняется Р_N =5*0.0774=0.387 автомобиля в час, т.е. при 12-часовом режиме работы моечная станция теряет за день 4.6 автомобиля. Применяя (10.10) – (10.12), получаем

n = (5/6)(1 – 7(5/6)⁶ + 6(5/6)⁷)/(1 – 5/6)/(1 – (5/6)⁷)= 2.29,

n_w =2.29 – 5(1 – 0.0774)/6=1.52,

t_w =1.52/5 /(1 – 0.0774)=0.33 часа( 20 мин.).

Таким образом, при введении ограничения на количество мест для стоянки (N =6), среднее время ожидания обслуживания сократилось на полчаса. Это было достигнуто за счет «потери» в среднем 4.6 автомобиля в день из-за недостаточности мест для стоянки. Вычислим вероятность того, что в системе обслуживаются 0,1 или 2 автомобиля:

Р₀ =(1 – 5/6)/(1 – (5/6) ⁷) = 0.231,

Р₁ =(5/6)(1 – 5/6)/(1 – (5/6) ⁷) = 0.193,

Р₂ =(5/6)²(1 – 5/6)/(1 – (5/6) ⁷) = 0.160.

Все вышеизложенное справедливо для случая, когда случайные величины – время поступления заказов t_a и время обслуживания t_s подчиняются экспоненциальному закону распределения, т.е.

p(t_a) = e^–ta, p(t_s) = e^–ts.

Модель 10.3.

Пусть теперь время обслуживания t_s подчиняется некоторому закону распределения со средним t_s и дисперсией ²_ts. Тогда справедливы формулы Поллачека – Хинчина:

n = t_s + (²( t_s² + ²_ts)/2/(1 –t_s). (10.13)

Для n_w – среднее число заказов, ожидающих обслуживания:

n_w = n – t_s, (10.14)

для t_w – среднее время ожидания обслуживания:

t_w = n_w/. (10.15)

В частном случае, когда продолжительность обслуживания является постоянной, имеем t_s=1/, ²_ts =0, и (10.13) преобразуется в

n = / + (/)²/2/(1 –/). (10.16)

Пример 10.3. Пусть в условиях примера 10.1 мойка осуществляется автоматически, так что продолжительность обслуживания постоянна

и равна 1/, тогда получаем:

n = 5/6 + (5/6)²/2/(1 –5/6) = 2.92,

n_w = 2.92 – 5/6 = 2.08,

t_w =2.08/5 = 0.42 (25.2 мин.).

Отметим, что, хотя интенсивности входного и выходного потоков в данном примере совпадают с соответствующими показателями в примере 10.1 (со случайной продолжительностью обслуживания), среднее время ожидания обслуживания оказалось в два раза меньше.

Полученный результат выглядит вполне логичным, т.к. при постоянной продолжительности обслуживания режим функционирования системы массового обслуживания характеризуется большей определенностью, что и приводит к уменьшению значений рассматриваемых характеристик.

Модель 10.4.

Рассмотрим теперь случай, когда скорость обслуживания _n зависит от неограниченной длины очереди (клиенты могут обслуживаться параллельно) и пусть _n = n, где  – скорость обслуживания одного клиента. Модели такого типа называют моделями самообслуживания. Тогда решение уравнений, аналогичных (10.1) – (10.2), при начальных условиях Р₀ (0)= 1, Р_n (0)= 0 (n > 0) имеет вид:

Р_n (t)= e^–ⁿ / n, n=0,1,2,…, (10.17)

где  = (/)(1 – е^–t). Начальные условия имеют простой смысл – в момент открытия станции обслуживания очереди нет.

В стационарном режиме (при t)

Р_n = e^–/(/)ⁿ / n. (10.18)

Таким образом, вероятность того, что на станции находятся n клиентов спустя достаточно длинный промежуток времени задается распределением Пуассона со средним значением /. Нетрудно также убедиться, что для этой модели

n = /, t_s =1/, n_w =0, t_w =0.

Пример 10.4. Пусть на рассматриваемой нами мойке клиенты сами моют машины, причем воды и тряпок хватает на всех. Пусть по-прежнему =5 – средняя скорость появления автомашин, среднее время помывки – 10 мин.(1/6 часа), т.е. =6 – средняя скорость обслуживания одной машины. Получаем тогда Р₀ = e^–5/6 = 0.43, (т.е. в этом примере 43% времени станция простаивает), Р₁ = e^–5/6(5/6) =0.36, (36% времени на мойке находится ровно одна машина), Р₂ =0.15, Р₃ =0.02 и т.д. В случае наплыва клиентов (пусть, например, =30) получим Р₀ = e^–30/6 =0.007 (станция практически все время загружена), а при =1, Р₀=e^–1/6=0.85.

Приведенный выше пример стал бы реалистичнее, если бы было установлено предельное число автомашин, которое моечная станция может обслужить.

Модель 10.5.

Пусть параллельно могут обслуживаться не более s клиентов. Такие модели называются многоканальными (s – число каналов обслуживания). Здесь _n = (n0), _n = n при n s , _n = s при n  s.

Для данной модели расчетные формулы (Эрланга) имеют вид:

Р_n = Р₀(/)ⁿ / n (n  s), (10.19)

Р_n = Р₀(/)ⁿ / s/s^n-s (n  s), (10.20)

Р₀ = 1/(^s-1(/)ⁿ/n + (/)^s/s/(1 –/s)). (10.21)

ⁿ⁼⁰

Для n_w – среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:

n_w = Р₀(/)^s+1/(s–1)/(s–/)², (10.22)

для общего числа клиентов, находящихся в системе, имеем

n = n_w +/, (10.22/1)

для t_w – среднее время ожидания обслуживания:

t_w = n_w/. (10.23)

Вероятность обязательного пребывания в очереди равна вероятности занятости всех каналов обслуживания. Обозначим ее через W. Тогда

W= Р₀(/)^s/(s–1)/(s–/). (10.24)

Известный интерес представляет вероятность того, что суммарное время обслуживания и его ожидания превзойдет заданную величину t. Обозначим эту вероятность через Р(>t).

Р(>t) = e^–t(1 + (W/s)(1 – e^{–st(1–/s–1/s)})/(1–/s–1/s)). (10.25)

Вычисления в соответствии с данной моделью могут оказаться весьма громоздкими, тогда используют приближенные методы. Например, при / « 1 можно принять Р₀1 – /, n_w (/)^s+1/s²,

тогда как для значений / , близких к 1,

Р₀  (s – /)(s – 1)! /s^s и n_w  (/)/(s – /).

Пример 10.5. Пусть на нашей любимой моечной станции только 3 площадки для мойки, а мест для ожидания неограниченное число. Пусть как и прежде  = 5 и  =6. Имеем / =0.833, s =3 и

Р₀ = 1/(0.833⁰/0+0.833¹/1+0.833²/2!+ 0.833³ /(3!(1 –0.833/3))) = 0.432,

n_w =0.432*0.833⁴/2/(3–0.833)² = 0.022,

t_w =0.022/5 = 0.0044 часа.(16 сек.)

Таким образом, при данных условиях 43.2% времени станция простаивает, среднее время ожидания обслуживания составляет 16 сек. С точки зрения клиента отлично, но простой оборудования влетает в копеечку. Кроме того, имеем:

Р₁ =0.40, Р₂ =0.15, Р₃ =0.04.

Вычислим параметры системы при 2 моечных площадках.

Р₀ = 1/(0.833⁰/0+0.833¹/1+ 0.833² /(2!(1 –0.833/2))) = 0.412,

n_w = 0.412*0.833³/1/(2–0.833)² = 0.17,

t_w = 0.17/5 = 0.034 часа.(2 мин.)

Простой составляет 41.2% времени, среднее время ожидания 2 мин.

Сравним с результатами примера 10.1, где при наличии только одной моечной площадки простой составлял 17%, а среднее время ожидания 50 мин. В силу малого времени ожидания параметры W и Р(>t) в данном примере интереса не представляют. Р₁ =0.34, Р₂ =0.14, Р₃ =0.06.

Модель 10.6.

Рассмотрим теперь модель, которая отличается от предыдущей только тем, что число мест для ожидания обслуживания ограничено величиной k. Здесь _n = при 0≤n < k+s и _n =0 при n  k+s; _n = n при n  s , _n = s при s ≤ n ≤ s+k.

Формулы для характеристик модели имеют вид:

Р_n = Р₀(/)ⁿ / n (n  s), (10.26)

Р_n = Р₀(/)ⁿ / s/s^n-s (s ≤ n ≤ s+k ), (10.27)

Р₀=1/(^s-1(/)ⁿ/n + (/)^s(1–(/s)^k+1)/s!/ (1–/s)), /≠s, (10.28)

ⁿ⁼⁰

Р₀=1/(^s-1(/)ⁿ/n + (/)^s(k+1)/s!), /=s, (10.29)

ⁿ⁼⁰

Для n_w – среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:

n_w=Р₀(/)^s+1(1–(/s)^k–k(/s)^k(1–/s))/(s–1)/(s–/)², /≠s, (10.30)

n_w=Р₀(/)^sk(k+1)/(2s), /=s, (10.31)

для t_w – среднее время ожидания обслуживания:

t_w =n_w//(1– Р_k+s). (10.32)

Пример 10.6. Пусть в дополнение к последнему примеру наша моечная станция располагает двумя местами для ожидания обслуживания (k=2 и s=2). Тогда получим:

Р₀=1/(0.833⁰/0+0.833/1!+0.833²(1–(0.833/2)²⁺¹)/2!/(1–0.833/2)) = 0.423,

n_w=0.423*0.833³(1–(0.833/2)²–2(0.833/2)²(1–0.833/2))/1/(2–0.833)²=0.25,

и t_w =0.25/5/(1– Р₂₊₂)= 0.25/5/(1 – 0.423*0.833⁴ /2/2²)=0.05 час.

Для двух каналов обслуживания входной поток заказов очень слабый, изменим его, пусть =12, тогда /=2= s и мы имеем

Р₀=1/(2⁰/0 +2/1!+2²(2+1)/2!)= 0.111,

n_w=0.111*2²*2*3/(2*2)=0.67, t_w=0.67/12/(1–Р₂₊₂)=0.67/12/(1–0.111*2⁴/2/2²)=0.07 ч.

При таком входном потоке простой оборудования составляет 11.1%, а среднее время ожидания обслуживания 0.07*60= 4.3 мин.

Рассмотрим более крупный пример, на котором нагляднее иллюстрируются формулы моделей 10.5 и 10.6.

Пример 10.7.

Вариант 1. Имеем моечную станцию с 4 рабочими площадками для мойки и с неограниченным количеством мест для ожидания. Пусть =20 автомобилей в час, время обслуживания одного автомобиля 11.5 мин. (=60/11.5=5.217), тогда /=20/5.217=3.83 и s=4. Используем 10.21:

Р₀ = 1/(3.83⁰/0!+3.83/1!+3.83²/2+3.83³/3+3.83⁴/4/(1–3.83/4))=0.0042.

Из (10.22)–(10.23) получаем среднее время ожидания :

t_w =0.0042*3.83⁵/3!/(4–3.83)²/20= 1 час.

Вероятность обязательного пребывания в очереди (10.24):

W= 0.0042*3.83⁴/3/(4–3.83)=0.886.

Найдем вероятность того, что суммарное время обслуживания и ожидания превзойдет величину t=0.5 (30 мин.). Применим (10.25):

Р(>0.5) =e^–5.217/2(1+0.886/4)(1–e^{–5.217*4/2(1–3.83/4–1/4)})/(1–3.83/4–1/4))=0.7.

Таким образом,88.6% клиентов обязательно проходят через очередь, причем 70% находятся в ней более получаса (правда, включая время обслуживания).

Вариант 2. Добавим к варианту 1 ограничение на количество мест для ожидания. Пусть k=16, тогда из (10.28) находим сначала

Р₀=1/(1+3.83+3.83²/2!+3.83³/3+3.83⁴(1–(3.83/4)¹⁷)/4!/(1–3.83/4))=0.00759

и, следовательно, из (10.30) получаем

n_w=0.00759*3.83⁵(1–(3.83/4)¹⁶–16(3.83/4)¹⁶(1–3.83/4))/3/(4–3.83)²=5.82.

Поскольку Р₂₀=3.83²⁰*0.00759/4!/4¹⁶=0.03397, используя (10.32), имеем для среднего времени ожидания обслуживания:

t_w =5.82/20/(1–0.03397) =0.301 часа.(18 мин.)

Сравнивая варианты 1 и 2, видим, что при ограничении мест для ожидания, продолжительность ожидания сокращается более чем в три раза, причем это достигается ценой потери около 3.4% потенциальных клиентов (Р₂₀=0.03397).