Зависимости уровня работоспособности е от состояния системы z

z	Вариант системы (структурно-функционального взаимодействия элементов)
	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	0	0,5	0
2	1	0	0,5	1
3	1	1	1	1

ветствует варианту 1, то отказ наступает только при отказе обоих ее элементов. В общем случае, если функциональная связь элементов в системе такова, что отказ системы наступает только при отказе всех элементов, то такое соединение элементов называют параллельным соединением в смысле надежности.

Если же элементы в системе соединены и взаимодействуют так, как это соответствует варианту 2, то отказ системы наступает при отказе хотя бы одного из элементов. В общем случае, если связь элементов в системе такова, что отказ системы наступает при отказе хотя бы одного из них, то такое соединение называют последовательным соединением в смысле надежности. Важно заметить, что последовательное и параллельное соединения элементов по надежности – это не всегда то же самое, что и физическое соединение элементов в системе. Например, параллельное в электрическом смысле соединение конденсаторов в батарею образует систему с последовательным соединением элементов (конденсаторов) в смысле надежности по отношению к отказам в конденсаторах типа короткого замыкания.

Варианты 3 и 4 (см. табл. 4.1) нельзя отнести к системам с параллельным или последовательным соединением элементов. При этом вариант 3 еще поддается сведению к параллельному соединению элементов, если рассматривать в качестве отказа системы снижение уровня работоспособности ниже 0,5, или к последовательному соединению элементов, если отказом системы считать снижение работоспособности ниже 1. Вариант 4 вообще не сводится ни к параллельному, ни к последовательному соединению.

В общем случае состояние как элементов , так и системыz изменяется во времени – и. Если при этом нумерация состояний системы сделана так, что с повышением номера состоянияувеличивается (точнее, не уменьшается) степень ее работоспособности, то изменение номера состояния системы во времени в сторону снижения будет означать частичный отказ системы, а в сторону увеличения – восстановление.

Показателем безотказности системы в структурно-функцио-нальном плане (условием того, что система, находясь в состоянии , не откажет за времяt) будет

при , (4.13)

а показатели невосстанавливаемости (условием того, что система, находясь в состоянии , не будет восстановлена за времяt) –

при (4.14)

4.3.2.2. Метод на основе булевой алгебры. В этом методе используются функции алгебры логики (булевой алгебры). Он может применяться для систем, элементы которых находятся только в двух состояниях, а также для систем, структура которых в смысле надежности может быть представлена в виде сети.

Алгебра логики представляет собой раздел математической логики, занимающейся исчислением высказываний. Под высказыванием понимается любое предложение, относительно которого можно утверждать его истинность или ложность, без учета конкретного содержания. Например, высказывание "частота измеряется в герцах" – истинное, а высказывание "ток измеряется в вольтах" – ложное. Отдельные высказывания обозначаются буквой х. При этом высказывание можно рассматривать как величину, которая принимает два значения: "истина" и "ложь". Если х истинно, то х = 1; если х ложно, то х = 0.

Каждое конкретное высказывание имеет вполне определенное истинное значение. Но это значение может быть и переменным. Например, высказывание х – "элемент работоспособен" в одной ситуации может быть истинным (х = 1), а в другой – ложным (х = 0). Переменная величина, которая принимает лишь два значения (1 или 0), называется двоичной. Можно построить высказывания, истинность которых определяется значениями истинности других высказываний, т.е. первые являются функциями более простых высказываний – аргументов. Функции, принимающие лишь два значения (1 или 0) и определяемые различными наборами двоичных аргументов, называются двоичными функциями, или функциями алгебры логики (ФАЛ).

Если применить эту алгебру логики в рассматриваемой нами задаче, то функция состояния системы z(x) (4.11) в данном конкретном случае может быть записана как ФАЛ, у которой аргументами являются двоичные переменные состояния элементов .

Для графа на рис. 4.3 при последовательном и параллельном соединении элементов можно записать

. (4.15)

Функция z здесь называется логической функцией работоспособности (ФР) системы. Если функциональная связь элементов в системе структурно в смысле надежности может быть представлена в виде некоторой схемы соединения элементов, образующих пути между входом и выходом, то для такой схемы имеются регулярные методы получения логической функции работоспособности. Например, для системы, показанной на рис. 4.4,а, если функциональное взаимодействие элементов структурно "в смысле надежности" можно представить в виде мостиковой схемы (рис. 4.4, б), логическая ФР системы относительно третьего узла имеет вид

2

2

а

б

1

1

3

3

4

4

Рис. 4.4.

(4.16)

Здесь переменная х с одним индексом обозначает состояние соответствующего узла, а с двумя – состояние связи между соответствующими узлами.

Анализ (4.16) показывает, что функция состоит из суммы (дизъюнкции) нескольких членов, каждый из которых представляет собой произведение (конъюнкцию) определенного наборах. Данный набор включает последовательно состояния всех элементов на одном из путей от входа (источника) к выходу (потребителю). В связи с этим вводится понятие кратчайшего пути успешного функционирования системы или кратчайшего пути, т.е. описываемого конъюнкцией ее элементов, ни один из элементов которого нельзя изъять, не нарушив функционирования системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде ФАЛ

(4.17)

где  множество номеров элементов, соответствующих данному пути l .

Иначе говоря, кратчайший путь успешного функционирования системы описывает один из возможных самостоятельных вариантов выполнения заданных функций системы с помощью минимального набора работоспособных элементов. Таким образом, в (4.16) представляет собой совокупность четырех возможных кратчайших путей в данной системе (см. рис. 4.4), которые обеспечивают работоспособность системы при работоспособности хотя бы одного из них.

Для электрических сетей структурная схема системы в смысле надежности часто представляет собой аналог схемы соединения ее реальных элементов. Например, структурная схема системы, показанная на рис. 4.4,б, является отражением функциональных взаимосвязей элементов электрической сети (см. рис. 4,4,а), где ветви структурной схемы моделируют линии связи, а узлы – выключатели (их отказы и работоспособные состояния) и шины коммутационных пунктов сети. Однако эта аналогия небезусловна. Если пропускная способность хотя бы одного элемента сети не позволяет передать всю необходимую мощность, то аналогия нарушается.

Функция работоспособности (4.16) записана относительно третьего узла системы рис. 4,4,а. Такие же ФР можно записать и для любого другого узла.

Часто в практических задачах пользуются не функцией z, а функцией неработоспособности, представляющей собой отрицание z, т.е. (ФНР). Например, для мостиковой схемы рис. 4.4,б, воспользовавшись так называемым законом инверсий, в соответствии с которым

(4.18)

из (4.16) можно определить функцию

(4.19)

которая после простых преобразований к так называемой дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), когда логическая функция – сумма элементарных произведений, примет вид

(4.20)

Анализ полученной функции показывает, что каждый член представляет собой произведение (конъюнкцию) определенного набора х, включающего те элементы, неработоспособное состояние которых приводит к разрыву связи между источником и нагрузкой, т.е. к неработоспособному состоянию системы.

В связи с этим вводится понятие минимального сечения отказа системы, или минимального сечения, представляющего собой такое логическое произведение (конъюнкцию) из отрицаний ее элементов, ни один из компонентов которого нельзя изъять, не нарушив условия работоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде функции

(4.21)

где  множество номеров, соответствующих данному сечению j.

Другими словами, минимальное сечение отказа системы описывает один из возможных способов нарушения работоспособности системы с помощью минимального набора отказавших элементов.

Уже отмечалось, что все величины x и z, т.е. состояния элементов и системы, могут изменяться во времени, т.е. и. Тогда показателями безотказности (условие отсутствия отказа на интервале времени доt) будут

при (4.22)

а восстанавливаемости (точнее – невосстанавливаемости: условие невосстановления объекта на интервале времени до t) 

при (4.23)

4.3.2.3. Метод дерева отказов. Построение дерева отказов начинается с формулировки конечного высказывания об отказе системы. При исследовании безотказности системы конечное высказывание относится к определению события, реализация которого приводит к нарушению функционирования в рассматриваемом интервале времени при заданных условиях. При исследовании готовности конечное высказывание относится к определению состояния, в котором функционирование системы в заданном объеме невозможно при заданных условиях в любой, произвольно выбранный момент рассматриваемого периода.

Конечное высказывание определяется высказываниями второго уровня. Сначала выявляется возможность реализации события или состояния конечного уровня как дизъюнкции простых высказываний второго уровня. При дизъюнктивной связи высказываний конечного и второго уровней невозможно сочетание событий и состояний. При невозможности реализации событий или состояний конечного уровня как дизъюнкций простых высказываний второго уровня выявляются дизъюнкции сложных высказываний, определяющие реализацию конечного. Может оказаться, что простые и сложные высказывания не формируют конечное высказывание с помощью дизъюнкции, тогда определяются конъюнктивно связанные события и состояния. В таких случаях конечное высказывание может реализоваться в результате совпадения во времени двух и более событий, возникновения события или нескольких событий во время существования состояния, совпадения двух или более состояний.

После записи высказываний второго уровня о событиях, состояниях и отказах срабатывания решается, какие высказывания являются простыми, а какие – сложными. Для сложных высказываний второго уровня определяются высказывания третьего уровня и их логические связи ("или", "и") в том порядке, что и для высказываний второго и конечного уровней. Процесс записи высказываний и логических связей продолжается до тех пор, пока на всех уровнях не останутся одни простые высказывания, которые раскрывают содержание вышерасположенных высказываний, относящихся к событиям, состояниям и отказам срабатывания.

Логическое условие реализации события или состояния конечного уровня в форме функции неработоспособности (отказа) записывается с помощью знаков логического умножения и сложения, а также кодов первичных событий; формирование функции неработоспособности (отказа) начинается с самого нижнего уровня дерева отказов, где все высказывания простые.

Напомним, что при дизъюнкции простых высказываний а, в, с промежуточное сложное высказывание записывается как

А = а + b + с  а  b  с,

а при конъюнкции простых высказываний промежуточное сложное высказывание записывается в виде

В = аbс  а  b  с.

Здесь знак  означает эквивалентность.

На следующем, более высоком уровне записываются конъюнкции и дизъюнкции как простых, так и сложных высказываний: АВ, А + В, Аcd, A + c + d, Bc + d и т.д.

Подстановка выражений для сложных высказываний дает возможность комбинации простых высказываний на данном уровне дерева.

В каждой комбинации сокращаются по правилам алгебры логики одинаковые простые высказывания, кроме одного. Из суммы полученных комбинаций простых высказываний данного уровня дерева сокращаются (отбрасываются) одинаковые комбинации, кроме одной. Сокращаются также все комбинации, включающие в себя члены, которые содержатся в комбинациях меньшего объема.

Затем записываются дизъюнкции и конъюнкции сложных событий и состояний следующего, более высокого уровня и формируются комбинации простых высказываний на этом уровне. Сокращение простых комбинаций производится по тем же правилам. Продолжая операции формирования и сокращения комбинаций высказываний на всех уровнях вплоть до конечного, получаем сумму взаимозаключающих высказываний относительно способов реализации конечного события или состояния.

Каждая из комбинаций, входящих в функцию отказа, представляет собой k-е минимальное сечение отказа системы, сформулированное в конечном высказывании, и является конъюнкцией, порядок которой равен числу членов (простых высказываний). При определении практически возможных способов отказа следует отбросить конъюнкции более высокого порядка (точнее если их порядок превышает порядок остающихся более чем в 2 раза).

Например, запись функции отказа

ab + cd + ghk + mnsq + cdm

сокращается до

ab + cd + ghk.

Составим дерево отказов для случая нарушения электроснабжения потребителя в узле 3 схемы рис. 4.4, принимая во внимание, как и ранее, возможности отказа линий и узлов. Полученное дерево отказов представлено на рис. 4.5. Если по этому дереву отказов составить функцию отказа (неработоспособности) для потребителя в узле 3, то она окажется полностью идентичной выражению (4.20).