2. Системы линейных алгебраических уравнений

В качестве иллюстрации широты применения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) приведем несколько задач, приводящих к СЛАУ.

Начнем с примера задачи экономического содержания, которая, в конечном итоге, приводит к матричному уравнению. Математическая модель, позволяющая анализировать таблицы межотраслевого баланса в макроэкономике, разработана в 1936 г. В. Леонтьевым. Если рассматривать n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию, то часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для конечного личного или общественного потребления.

Введем следующие обозначения: – общий (валовой) объем продукции-й отрасли– объем продукции-й отрасли, потребляемой-й отраслью в процессе производства– объем конечного продукта-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемойотраслями, и конечного продукта, то

(2.1)

Введем коэффициенты прямых затрат показывающие затраты продукции-й отрасли на производство единицы продукции-й отрасли. В предположении, что в некотором промежутке времени коэффициентыбудут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства, это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т. е.Таким образом, соотношения баланса (2.1) примут вид:

(2.2)

Обозначим где– вектор валового выпуска;– вектор конечного продукта;– матрица прямых затрат.

Тогда систему (2.1) можно записать в матричном виде:

Рассмотрим теперь физические задачи, приводящие к СЛАУ.

Пусть мы имеем дело со схемой (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Схема электрической цепи

Слева направо течет общий известный ток , который разветвляется в первом верхнем узле наи(токам присваиваются номера резисторов). Затем токразветвляется во втором верхнем узле наи, а токразветвляется в третьем верхнем узле наи. В левом нижнем узле токиистекаются, и из узла вытекает ток. В правом нижнем узле токиистекаются, и из этого узла вытекает ток. В четвертом верхнем узле токиистекаются, и оттуда вытекает ток.Нужно найти все токи, кроме. Применение правил Кирхгофа к пяти узлам и трем контурам приводит к системе восьми линейных алгебраических уравнений для восьми токов:

(2.3)

Полученную систему уравнений (2.3) можно записать в матричном виде и решать, например, по формулам Крамера, которые рассматриваются ниже.

К СЛАУ приводит также задача определения начального положения , начальной скоростии ускорениячастицы при равнопеременном движении. Записываем соответствующие формулы для трех известных моментов времени – ,и:

(2.4)

Полученную систему уравнений (2.4) также можно решить по формулам Крамера.

В заключение рассмотрим одну из задач линейного программирования: для изготовления двух видов продукции – и–используют четыре вида ресурсов – иЗапасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице.

Данные к задаче

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
	18	1	3
	16	2	1
	5	–	1
	21	3	–

Прибыль, получаемая от единицы продукции и– 2 и 3 р. соответственно.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Если обозначить через ичисло единиц продукцииисоот-ветственно, то экономико-математическую модель задачи можно записать в виде:

(2.5)

При решении рассматриваемой задачи, например, симплексным методом в каждое из уравнений системы (2.5) вводят по одной из дополнительных неотрицательных переменных в результате получают СЛАУ вида:

(2.6)

Дальнейшая процедура решения задачи состоит в преобразовании специальным образом составленной симплексной таблицы (использующиеся здесь формулы элементарных преобразований аналогичны элементарным преобразованиям расширенной матрицы СЛАУ, применяемым в методе Гаусса решения СЛАУ, который будет описан ниже).