1. Матрицы и определители

1.1. Матрицы. Типы матриц

Матрицей размера тп называется множество элементов ,i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., п, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит т строк и п столбцов. Эта таблица ограничивается знаками ( ), [ ] или || || и обозначается заглавными латинскими буквами, например: .

Элементами матрицы могут быть числа, функции или объекты другой природы, например:

(1.1)

или

(1.2)

Матрицу сокращенно записывают так: ,или, гдеi – номер строки, j – номер столбца. Заметим, что матрица есть только таблица и ее нельзя «сосчитать».

Нулевой называется матрица, у которой все элементы равны нулю,

она сокращенно обозначается буквой О.

При получаем матрицу-строку, т. е. матрицу вида

(1.3)

а при – матрицу-столбец:

(1.4)

Если , то матрица называетсяквадратной. Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой отличными от нуля могут быть лишь элементы, стоящие вдоль главной диагонали, т. е. матрица вида:

(1.5)

Единичной называется диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен 1, она обозначается буквой :

(1.6)

Квадратная матрица вида

(1.7)

называется верхней треугольной, а матрица

(1.8)

нижней треугольной.

Матрица произвольных размеров называется трапециевидной, если она имеет вид:

(1.9)

Поменяв в матрице , т. е. в матрице вида

(1.10)

строки и столбцы местами, получим так называемую транспонированную

матрицу :

(1.11)

Равными называются матрицы, у которых одинаковы размеры и равны те элементы матриц, которые стоят в них на одинаковых местах.

1.2. Определители, способы их вычисления

Понятие определителя, или детерминанта, вводится только для квадратной матрицы A, он обозначается через или

Пусть рассматривается матрица, состоящая из одного элемента, т. е.

(1.12)

тогда или =.

Для квадратной матрицы второго порядка, т. е. для матрицы

(1.13)

определитель

(1.14)

равен разности произведений элементов, стоящих на левой (главной) и на правой (побочной) диагоналях.

Для квадратной матрицы третьего порядка определитель вычисляется по формуле:

(1.15)

Слагаемые для вычисления указанного определителя составляются по схеме, представленной на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Схема вычисления определителя 3-го порядка

В схеме, представленной на рис. 1.1, плюс означает, что произведения указанных элементов берутся со своими знаками, а минус – с противоположными. Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников.

Пример 1. Дана матрица. Вычислить ее определитель.

Решение.

Применим правило треугольников:1++

+= 9.

Прежде чем сформулировать правило вычисления определителя квадратной матрицы n-го порядка, введем понятие минора и алгебраического до-полнения.

Минором элемента квадратной матрицыА (или ), где1, 2, …,n, называется такой определитель, который получен из данной матрицы А (или ) вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы (или )называется минор этого элемента, взятый со знаком, т. е.

(1.16)

Для квадратной матрицы n-го порядка ее определитель равен сумме произведений элементов любой его i-й строки (j-го столбца ) на их алгебраические дополнения, т.е.

, i, j = 1, 2,…, n.

В сжатом виде эта формула принимает вид:

(1.17)

или

(1.18)

Формулы (1.17) и (1.18) являются соответственно разложением определителя n-го порядка по элементам i-й строки и j-го столбца.

Пример 2. Вычислить определитель

Решение.

Разложим данный определитель четвертого порядка по элементам, например, первой строки:

Обозначим полученные определители третьего порядка через ,i= 1, 2, 3, 4. Вычисляя их по правилу треугольников, получим:Подставляя найденныев выражение дляимеем:

Следует отметить, что определители можно было вычислить также с помощью разложения по элементам какой-либо строки или столбца.