Активный участок полета
Начальные значения параметров для активного участка являются соответствующие параметры в конце участка движения по направляющим, т.е. выполняется передача значений зависимых параметров: массы, скорости, координат, угла тангажа.
Для расчетов используется системы дифференциальных уравнений (1-5). Расход топлива будем считать неизменным. После дожигания топлива математическая модель должна быть скорректирована и из расчетной системы дифференциальных уравнений устраняется уравнение для переменной массы.
Таким образом, момент завершения работы двигателя должен точно фиксироваться, т.к. изменяется математическая модель расчетов. Контроль процесса горения потребует введения дополнительного параметра – масса топлива.
Рабочий процесс достаточно быстрый с резким набором скорости движения и выбранный шаг интегрирования должен обеспечивать необходимую точность расчетов.
Пассивный участок полета
Начальные значения параметров для пассивного участка являются соответствующие параметры в конце активного участка, т.е. выполняется передача значений зависимых параметров: массы, скорости, координат, угла тангажа.
Для расчетов используется системы дифференциальных уравнений (1-4). Правая часть уравнения (5) обнуляется. Расчет процесса движения на пассивном участке прекращается по достижению заданных координат. В рассматриваемом случае – это условие поверхности Земли, т.е. h=0.
Рабочий процесс может быть достаточно длительным и выбирается шаг интегрирования из условия обеспечения необходимой точности расчетов.
4.2. Структура таблиц расчетов
Для работы с исходными параметрами и данными в книге Excelсоздается рабочий лист - «Исходные данные», вид которого представлены в табл.1.
Таблица содержит отдельные блоки данных:
Параметры двигателя и ЛА:
Начальные параметры:
Параметры расчета;
Дополнительные данные.
Для каждого параметра указываются кроме значения и размерности, комментарии в виде описания и обозначение параметра.
Обозначение введено для дальнейшего используется в качестве имени ячейки.
Таблица 1
|
|
Обозначение
|
Значение
|
Размер-ность |
Описание
|
|
двигатель |
m_конс |
250 |
кг |
масса конструкции |
|
m_топл |
250 |
кг |
масса топлива | |
|
Iуд |
2300 |
м/с |
удельный импульс | |
|
Gт |
25 |
кг/с |
расход топлива | |
|
Lнапр |
3 |
м |
длина направляющих | |
|
Fмид |
|
м2 |
Площадь Милеля ЛА | |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
Условие старта |
Y_нач |
0 |
м |
начальная высота |
|
V_нач |
0 |
м/с |
начальная скорость | |
|
X_нач |
0 |
м |
координата старта | |
|
θ_нач_град |
50 |
град |
угол установки направляющих | |
|
θ_нач_рад |
|
рад |
угол установки направляющих | |
|
параметры расчета |
Δτ_напр |
0,01 |
с |
шаг расчета по времени (по направляющими) |
|
Δτ_актив |
0,1 |
с |
шаг расчета по времени (на активном участке) | |
|
Δτ_пассив |
5 |
с |
шаг расчета по времени (пассивный участок) | |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
g |
9,8 |
м/с2 |
ускорение свободного падения |
После формирования таблицы 1 следует выполнить присвоение имен параметрам, переведенным в основные единицы системы СИ. Для этого выполняется команда «Вставка» > «Имя» > «Присвоить имя».Данные действия с присвоением имен выполняется, для того чтобы в дальнейшем формулы для расчетов можно было представить в виде достаточно простых и понятных выражений, форма записи которых близка математической.. По команде«Вставка»>«Имя»> «Вставка»>«Вставить имя»выбираем необходимое имя из списка уже существующих для вставки в расчетное выражение.
После этого приступаем к формированию отдельных таблиц для расчета при движении по направляющим, активном и пассивном участкам траектории. Для каждой таблицы создается чего создается собственный лист ( «Направляющие», «Активный», «Пассивный»).
Если для каждой таблица использовать полный набор зависимых параметров, а для неиспользуемых параметров ввести нулевую правую часть, то значения неиспользуемых параметров будет фиксировано, а все таблицы расчетов будут иметь одинаковую структуру.
При выполнении расчетов для каждого участка траектории используются собственные контрольные параметры, если создать группу данных с полным набором контрольных параметров, то увеличение размеров таблицы незначительно, а введение таблиц с общей структурой позволит в дальнейшем упростить манипуляции по передачи данных между таблицами, копировании расчетных соотношений, формированию итоговых данных и т. д..
Создаем общую таблице расчетов ( табл.2) и копируем ее на все три листа расчетов.
Таблица 2 предназначена для расчетов без учета сил лобового сопротивления. Для учета последнего в таблицу должны быть дополнительно введены: параметры атмосферы, коэффициент лобового сопротивления, число Маха, скоростной напор. Структура таких таблиц будет представлена ниже.
Таблица 2
|
|
параметры |
дополнительные параметры | ||||||
|
t |
m |
V |
X |
Y |
θ |
Gт |
X_лоб |
P |
|
0 |
500 |
0 |
0 |
0 |
0,876 |
25 |
0 |
55000 |
Продолжение таблицы 2
|
правые части |
контрольные параметры | ||||||
|
fm |
fv |
fx |
fy |
fθ |
Lнапр |
m_т |
Y_конеч |
|
-25 |
102,4928 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
Столбцы в таблице имеют следующее назначение
Таблица 3
|
№ столбца |
Обозначение |
Назначение |
|
1 |
t |
Текущее время процесса после старта, с |
|
2 |
m |
Масса ЛА , кг |
|
3 |
V |
Скорость движения центра масс ЛА, м/с |
|
4 |
X |
Горизонтальная координаты центра масс ЛА, м |
|
5 |
Y |
Вертикальная координаты центра масс ЛА, высота, |
|
6 |
θ |
Угол тангажа, радианы |
|
7 |
Gт |
Текущее значение расхода топлива, кг/с |
|
8 |
X_лоб |
Лобовое сопротивление, Н |
|
9 |
P |
Тяга, Н |
|
10 |
fm |
Правая часть д/уравнения для массы, кг/с |
|
11 |
fv
|
Правая часть д/уравнения для скорости (ускорение движения центра масс), м/с2 |
|
12 |
fx
|
Правая часть д/уравнения горизонтальной координаты ЛА (горизонтальная проекция скорости), м/с |
|
13 |
fy
|
Правая часть д/уравнения вертикальной координаты ЛА (вертикальная проекция скорости), м/с |
|
14 |
fθ
|
Правая часть д/уравнения по углу тангажа ЛА (угловая скорость вращения ЛА относительно центра масс), радиан/с |
|
15 |
Lнапр
|
Пройденный по направляющим путь (контрольный параметр процесса движения по направляющим), м |
|
16 |
m_т
|
Текущее значение массы топлива (контрольный параметр активного участка движения), кг |
|
17 |
Y_конеч
|
Текущее координата ЛА по высоте (контрольный параметр пассивного участка движения), м |
Зависимые параметры используются в расчетах правых частей уравнений и для них следует присвоить имена. Расчеты будем выполнять с выбором 100 шагов (101 точка) для каждого отдельного участка движения. Например, для листа «Направляющие» 2 первые строки заняты заголовками столбцов и тогда строки с 3 по 103 будут содержать данные расчетов.
Выделяем диапазон для текущего времени процесса в ячейках, расположенных с 3 по 103 столбец, и выполнить присвоение имен параметрам. Для этого выполняется команда «Вставка» > «Имя» > «Присвоить имя».Будет предложено имя из заголовка столбца «t». Так как будут использоваться не меньше 3 таблиц расчетов для различных участков движения, то имя следует модифицировать, например, путем добавления к имени столбца признака конкретной таблицы: «t_н» - для направляющих; «t_а» - для активного участка; «t_п» - для пассивного участка.
Аналогичные действия выполняются и с другими параметрами:V,X,Y, θ.
Данные действия с присвоением имен выполняется, для того чтобы в дальнейшем формулы для расчетов можно было представить в виде достаточно простых и понятных выражений, форма записи которых близка математической. По команде «Вставка»>«Имя»> «Вставка»>«Вставить имя»выбираем необходимое имя из списка уже существующих для вставки в расчетное выражение.
Т.к. для каждого участка движения ЛА имена диапазонов будут уникальными в книге, то устраняется ошибка возможного некорректного использования зависимых параметров одной таблицы при проведении расчетов в другой таблице. Расчетные соотношения в различных таблицах будут схожими и отличаются только принадлежность данных к конкретной таблице, а т.к. одинаковые параметры отличаются только префиксом в названии диапазона. Префикс при переходе к новой таблице легко изменить в ручную, например поменять «t_н» на «t_а» при переходе к таблице активного участка, или «t_а» на «t_п» при переходе к таблице пассивного участка. Данные изменения касаются независимого параметраt и всех зависимых параметров в расчетах правых частей уравнений.
Пример фрагмента таблицы для расчета правых частей уравнений приведен ниже. В уравнениях префиксы отсутствуют и их следует добавить к каждому имени в зависимости от конкретного участка движения ЛА («н» - для участка движения по направляющим, («а» - для активного участка движения, «п» - для пассивного участка движения).
|
правые части | ||||
|
fm |
fv |
fx |
fy |
fθ |
|
=-Gт |
=1/m*(P-X_лоб-m*g*SIN(θ)) |
=V*COS(θ) |
=V*SIN(θ) |
0 |
|
=-Gт |
=1/m*(P-X_лоб-m*g*SIN(θ)) |
=V*COS(θ) |
=V*SIN(θ) |
0 |
Приведенная выше таблица для участка движения по направляющим после добавления префиксов к именам диапазонов будет иметь следующий вид:
|
правые части | ||||
|
fm |
fv |
fx |
fy |
fθ |
|
=-Gт |
=1/m_н*(P_н-X_лоб_н-m_н*g*SIN(θ_н)) |
=V_н*COS(θ_н) |
=V_н*SIN(θ_н) |
0 |
|
=-Gт |
=1/m_н*(P_н-X_лоб_н-m_н*g*SIN(θ_н)) |
=V_н*COS(θ_н) |
=V_н*SIN(θ_н) |
0 |
Подобный способ использования имен эквивалентен использованию идентификаторов в языках программирования. Могут быть использованы как обычные переменные, так и одномерные и двухмерные массивы. При работе с массивами (диапазонами ячеек) следует учитывать следующее специфичное, но логичное и удобное правила использования данных в массивах:
Если поименованный диапазон расположен в столбце таблицы, то в расчетное соотношение с именем диапазона будет подставлено то значение из массива, которое располагается в той же строке, что и ячейка с расчетным выражением, т.е. операции с данными выполняются при построчной подстановке.
Если поименованный диапазон расположен в строке таблицы, то в расчетное соотношение с именем диапазона будет подставлено то значение из массива, которое располагается в том же столбце, что и ячейка с расчетным выражением, т.е. операции с данными выполняются при постолбцовой подстановке.
Данной свойство поименованных диапазонов успешно используется при формировании двухпараметрических зависимостей, когда значения одного параметра заданы в заголовке таблице по строкам, а значения второго параметра заданы в заголовке таблицы по столбцам. Если параметры поименованы, то при ссылке на поименованные параметры будут подставлены те значения параметров, которые располагаются с той же строке и том же столбце, что и выбранная ячейка. Таким образом, реализуется привычный способ построения и обработки двухпараметрических зависимостей.
Для расчета значений зависимых параметров формируется блок таблицы приведенного ниже вида.
|
|
параметры | ||||
|
T |
m |
V |
X |
Y |
θ |
|
0 |
=m_конс+m_топл |
=V_нач |
=X_нач |
=Y_нач |
=θ_нач_рад |
|
=A3+ Δτ_напр |
=B3+J3*Δτ_напр |
=C3+K3*Δτ_напр |
=D3+L3*Δτ_напр |
=E3+M3*Δτ_напр |
=F3+N3* Δτ_напр |
Первая строка расчетов содержит начальные данные, а во второй строке формируются расчетные соотношения для последующего копирования. Таблица расположена левой верхней части рабочего листа и, например, адрес A3 в столбце для времени процесса соответствует значению времени на предыдущем, т.е. начальном шаге. Таким образом, реализуется алгоритм пошагового увеличения времениti+1= ti+h, илиti+1= ti+Δtв случае применения расчетного соотношения«=A3+Δτ_напр»для таблицы расчета движения по направляющим. При переходе к 3-ей строке данных получим формулу вида«=A4+Δτ_напр», т.е. будет увеличено предыдущее значение на величину шага по времени.
В столбце расчета массы ЛА используется соотношение «=B3+J3*Δτ_напр» , где по адресу B3 располагается начальная масса ЛА, а по адресу J3 – располагается вычисленное значение правой части дифференциального уравнения для массы.
Таким образом, реализуется алгоритм для 1 шага
и последующих шагов
при копировании ячейки с формулой по столбцу вниз, т.е. будет реализован требуемый алгоритм решения задачи Коши по одной переменной (массе).
В случае копирования формулы по строке в столбце для скорости получим «=C3+K3*Δτ_напр», где по адресу C3 располагается начальная скорость ЛА, а по адресу K3 – располагается вычисленное значение правой части дифференциального уравнения для скорости, т.е. ускорение.
Это будет соответствовать условию
,
т.е. при копировании полученной формулы для 2-го параметра по столбцу, т.е. будет реализован требуемый алгоритм решения задачи Коши по 2-ой переменной (скорости).
Таким образом, за счет копирования одного простого соотношения реализуем алгоритм решения задачи Коши по методу Эйлера для массива переменных во всем диапазоне рассматриваемой математической модели.
Рассмотрим блоки дополнительных и контрольных параметров. Для них используются при движении по направляющим расчетные соотношения вида:
|
дополнительные параметры |
контрольные параметры | ||||
|
Gт |
X_лоб |
P |
Lнапр |
m_т |
Y_конеч |
|
=Gт |
0 |
=Gт*Iуд |
=КОРЕНЬ(X^2+Y^2) |
|
|
|
=Gт |
1 |
=Gт*Iуд |
=КОРЕНЬ(X^2+Y^2) |
|
|
Для получения простого и эффективного алгоритма, обеспечивающего заданные условия задачи по точности и точные значения параметров в конце каждого участка можно использовать подбор величины шага интегрирования при фиксированном числе строк в таблице. В соответствии с выбранным вариантом построения в таблице выделены 101 строк с данными и в конце рассматриваемого участка движения (101 –ая строка с данными или 103-ая строка таблицы) должно быть реализовано критическое значение контрольного параметра. Получить требуемого значения контрольного параметра можно при помощи строенного в Excel средства :Подбор параметров/Поиск решения.
Выполняется подбор шага интегрирования для достижения критического значения контрольного параметра за 100 шагов ( на 101 точке), т.е. завершен очередной участок траектории.