Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
document.docx
Скачиваний:
57
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
1.5 Mб
Скачать

Часть III. Элементы фрактального анализа лекция 16 Фрактальный анализ микроструктур

Слово фрактал введено Мондельбротом и происходит от английского fractional – дробный. Однако строгое определение фрактала отсутствует, наиболее часто фрактал связывают со структурой, состоящей из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Фрактальными являются многие природные структуры: деревья, облака, берега рек, морозные узоры на стекле и т.д. В силу разнообразия и сложности естественных фрактальных объектов для их исследования используют так называемые геометрические фракталы. Они были введены математиками еще в прошлом веке, однако представителей естественных наук в то время они к себе не привлекали.

Исскуственные фракталы созданные математиками, называют еще регулярными. Важной, и при том количественной характеристикой фрактала является фрактальная размерность.

Для того, чтобы понять, что это такое, рассмотрим фрактал, полученный преобразованием отрезка прямой в ломаную линию (фрактал Кох).

  1. берем отрезок единичной длины:

  2. отрезок единичной длины делится на три части, средняя часть отбрасывается и заменяется ломаной, состоящей из 2-х отрезков 1/3:

  1. каждый прямой отрезок ломаной линии вновь преобразуется согласно пункту 2:

  1. операция преобразования повторяется вновь.

Кривая нового поколения при любом количестве преобразований называется предфракталом.

При таком преобразовании общая длина ломаной линии возрастает. На первом шаге преобразования (n=1) длина L, рассчитывается с учетом длины отрезка

δ=а/3 и числа сегментов, равных четырем, составит L1=4*1/3=4/3=1,33.

На втором шаге получаем δ=а/9 и, следовательно, L2= 1/9*4*4=16/9=(4/3)2=1,777.

На третьем шаге δ=а/27 L=1/27*4*4*4=(4/5)3.

В общем случае длина отрезка δ=3-n связана с числом поколений n следующим соотношение: n=-lnδ/ln3, а длина предфрактала определяется соотношением L(δ)=(4/4)n=(4/3)-ln5/ln3 δ1-D, а число сегментов N(δ)=δ-D.

Величина D называется фрактальной размерностью. Она не зависит от масштаба измерения. С геометрической точки зрения она является характеристикой того, на сколько плотно ломаная линия заполняет плоскость или пространство.

Фрактальная размерность для прямой линии равна 1, для плоской фигуры – 2, для куба – 3.

Еще одним примером регулярного фрактала является салфетка Серпинского. Она представляет собой треугольник,

который заменяется на N подобных ему треугольников.

Есть и другие искусственные фракталы. Однако, для нас важнее естественные фракталы. В частности, фрактальными являются границы кристаллитов (зерен). Прежде, чем переступить к их рассмотрению, давайте сделаем кое-какие выводы.

1)

Таким образом, чем более зигзагообразной является линия, тем ближе ее фрактальная размерность к двум.

2)еще один пример:

Для того чтобы измерить длину этой линии, я могу пользоваться линейкой с разной ценой деления: 1м, 1 дм, 1 см, 1мм.

При большой цене деления я не смогу измерить все мелкие детали моей ломаной линии. Однако если я меньшу цену деления, замер длины будет точнее. Если я воспользуюсь линейкой с миллиметровыми делениями, замер будет еще точнее. Очевидно, что чем больше деталей я смогу измерить и, следовательно, учесть, тем больше будет результирующая длина, то есть L1<L2<L3. Этот пример я привела, чтобы сделать понятным следующие явления: чем больше увеличение микроскопа я применяю, тем больше деталей структуры я смогу рассмотреть. Если деталью структуры является граница зерна, то чем больше ее подробности я увижу, тем более точно я определю ее протяженность.

Таким образом, фрактальная размерность позволяет количественно оценить, на сколько извилистой является береговая линия, русло реки, тропинка в лесу или, в нашем случае, граница зерна…. Определить на практике фрактальную

размерность совсем не просто. Для этого существуют разные методики, в том числе и компьютерные. Одна из методик состоит в следующем: на изображение накладывается сетка с длиной стороны квадрата r.

Подсчитывают число квадратов n, которые пересечены изучаемым структурным элементом. Фрактальную размерность определяют из соотношения N=FrD, где F-коэффициент. В логарифмических координатах это зависимость линейная, тангенс угла ее отвечает фрактальной размерности. Исследование, проведенное на жаропрочных материалах показали, что чем выше D тем лучше материал работает в условиях ползучести.

. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]