8.4 Машина тьюринга. Введение. История вопроса.

В 1935 г. возникло такое положение: свойства, обнаруженные у некоторого точно определенного класса вычислимых теоретико-числовых функций, изучавшихся Чёрчем и Клини в 1932—1935 гг. и названных "-определимыми функциями", упорно подсказывали мысль, что этот класс, может быть, охватывает все функции, которые в соответствии с нашим интуитивным представлением можно рассматривать как вычислимые. При этих обстоятельствах Чёрч выдвинул тезис (опубликован в 1936 г.), что все функции, которые интуитивно мы можем рассматривать как вычислимые, или, говоря его словами, как «эффективно вычислимые», являются-определимыми, или, эквивалентным образом, общерекурсивными.

Несколько позже, но независимо появилась статья Тьюринга (1936), в которой был введен еще один точно определенный класс интуитивно вычислимых функций, которые мы будем называть «функциями, вычислимыми по Тьюрингу», и относительно этого класса было высказано такое же утверждение; это утверждение мы называем тезисом Тьюринга.Вскоре Тьюрингом [1937] было показано, что его вычислимые функции — это то же самое, что-определимые функции, и, следовательно, то же самое, что и общерекурсивные функции. Поэтому тезисы Тьюринга и Чёрча эквивалентны. Мы будем обычно ссылаться на оба эти тезиса как натезис Чёрча,а в связи с тем его вариантом, в котором идет речь о «машинах Тьюринга»,— как натезис Чёрча — Тьюринга. В 1936 г. Пост независимо от Тьюринга опубликовал в довольно сжатом изложении формулировку, в основе ту же, что у Тьюринга. В 1943 г., основываясь на своей неопубликованной работе 1920— 1922 гг., он опубликовал третий эквивалент аналогичного тезиса. Еще одну эквивалентную формулировку дает теория алгоритмов Маркова [1951г].

Область использования машины Тьюринга

Понятие машины Тьюрингавозникает в результате прямой попытки разложить интуитивно известные нам вычислительные процедуры на элементарные операции: Тьюринг привел ряд доводов в пользу того, что повторения его элементарных операций было бы достаточно для проведения любого возможного вычисления. Поэтому машина Тьюринга (МТ) используется:

1. если требуется доказать возможностьалгоритмической реализации вычислительной функции;

2. если требуется оценитьвычислительную сложностьилитрудоемкостьрешения задачи по данному алгоритму, т.е. время выполнения алгоритма.

Для этого мы моделируем работу произвольного алгоритма в терминах рассматриваемой задачи. Затем определяетсякласс машин-вычислителей, которые могут решить данную задачу – формально описываются правила работы машины, исходные данные, ограничения и т.д. (поскольку в определении задачи ничего не говорится о программах так таковых в привычном для нас понимании, то алгоритмическаяразрешимостьилинеразрешимость, сводится к проблеме остановки произвольного алгоритма решения задачи). В качестве машины-вычислителя выберем машину Тьюринга, поскольку ранее было показано, что всякая вычислимая функция реализуема на МТ и сведем решение данной задачи к существующим группам задач, для которых известно, что они решаются на МТ.