19.2.2. Учет дополнительных связей

Если перемещения Z стеснены условиями связи

CZ = 0, (19.8)

то только часть компонент вектора Z допускает свободное варьирование, и для учета этих связей в работе [17] было предложено использовать модифицированную функцию Лагранжа

Ï_L_Ì= 1/2Z^T(K + C^TD_oC)Z - Z^Tf + ^T CZ, (19.9)

в которой D_oесть некоторая симметричная положительно определенная матрица, а  – вектор Лагранжевых множителей (реакций в связях).

Условия стационарности функционала (19.9) дают систему уравнений

KZ + (C^TD_oC)Z + C^T= f;

CZ = 0. (19.10)

Следует отметить, что матрица С должна содержать только линейно независимые строки, в противном случае (постановка дублированных связей) в системе может оказаться статически неопределимая подконструкция, целиком состоящая из абсолютно жестких элементов, что ведет к вырождению задачи. Во всех остальных случаях система уравнений (19.10) имеет отличный от нуля определитель, включая и те случаи, когда матрица К вырождена (конструкция без дополнительных связей изменяема), но ее дефект не превышает ранга матрицы С. При этом в отличие от обычного метода Лагранжа возможно исключение неизвестных в порядке их нумерации.

Добавление к матрице жесткости K произведения C^TD_oC соответствует включению в конструкцию некоторого упругого элемента со специальными свойствами (“нуль-элемента”), который включается параллельно бесконечно жесткой связи и поэтому не искажает результаты расчета. В [17] детально рассмотрены возможные способы конструирования таких “нуль-элементов”, часть из них использована при разработке комплеса SCAD.

19.2.3. Динамическая задача

Если нагрузки на систему меняются во времени, т.е. f = f(t), то следует полагать функциями времени также усилия и перемещения, что может потребовать введения в рассмотрение скоростей dZ/dt и ускорений d²Z/dt². Когда возникающие при этом силы инерции

J(t) = M(d²Z/dt²) (19.11)

не могут считаться пренебрежимо малыми по сравнению с нагрузками на систему и с силами упругости, то их следует учесть при формировании условий равновесия, которые примут вид дифференциальных уравнений

M(d²Z/dt²) + KZ(t) = f(t).(19.12)

Если все массы сосредоточены в узлах системы, то матрица масс М будет диагональной, в остальных же случаях приведение ее к диагональному виду представляет собой приближенный подход (он применен при разработке комплекса).

Задача определения характеристик собственных колебаний системы (модальный анализ) заключается в нахождении условий, при которых ненагруженная система совершает гармонические колебания по закону

Z(t) = sin(t + ). (19.13)

В выражении (19.13) вектор  характеризует форму собственных колебаний (соотношения между смещениями узлов),  – их частоту,  – начальную фазу. Подстановка (19.13) в (19.12) с учетом того, что f(t) = 0 дает уравнение для собственных колебаний

(K - ²M) = 0, (19.14)

нетривиальное решение которого существует лишь тогда, когда величины _i(i = 1,...,n), называемые собственными частотами, обращают в нуль детерминант матрицы (K - ²M). Соответствующие им формы собственных колебаний _i вычисляются лишь с точностью до произвольного множителя. Этот множитель назначен таким образом, что максимальная компонента вектора _i равна единице. Следует также отметить свойство ортогональности собственных векторов как относительно матрицы масс, так и относительно матрицы жесткости, т.е.

_i^ÒM_j= 0 è_i^ÒK_j= 0 ïðè ij. (19.15)

При динамическом расчете число компонент вектора Z, с которыми связаны инерционные силы (количество динамических степеней свободы), зачастую бывает намного меньшим, чем при статическом расчете. Типичным примером могут служить повороты узлов, обычно оказывающие значительно меньшее динамическое влияние, чем их линейные смещения. В SCAD инерционные моменты, соответствующие поворотам узлов и другие инерционные характеристики могут быть проигнорированы, однако это уже задает сам пользователь, формулируя задачу динамического расчета. Если часть инерционных составляющих нагрузки не учитывается, то разделяя вектор  на подвектор _O, для которого силы инерции равны нулю, и подвектор_I, связанный с инерционными силами, можно записать систему (19.14) в форме

K_OO_O+ K_OI_I= 0;

K_IO_O+ K_II_I=²M_II.(19.16)

Из этой системы исключается подвектор _O и в результате указанной процедуры “статического уплотнения” размерность задачи модального анализа резко уменьшается и она приобретает вид

(K_OO^-1 M_II- ² I)_I= 0, (19.17)

где I – единичная матрица, а  = 1/.

В качестве результатов модального анализа SCAD выдает собственные числа _i и собственные векторы _Iзадачи (19.17). С ними связаны круговая частота  = 1/ (рад/сек), циклическая частота  = /2 (герц) и период Т = 1/.

В силу ортогональности форм собственных колебаний решение любой динамической задачи в виде разложения

Z(t) = (t)_i(19.18)

ведет к распаду системы дифференциальных уравнений (19.12) на независимые относительно обобщенных координат y_i(t). Эти уравнения с учетом пропорционального скорости дополнительного члена, с помощью которого учитывается сопротивление движению, имеют вид

d²y_i/dt²+ 2_idy_i/dt +_i²y_i= P_i(t)/M_i.(19.19)

Обобщенные силы

P_i(t) = ²^T_if(t), (19.20)

массы

M_i =M_i(19.21)