74

3. Методы анализа альтернатив действий

3. Методы анализа альтернатив действий

3.1. Условия принятия решений

Любая сфера человеческой деятельности, в особенности экономика или бизнес, связана с принятием решений в условиях неполноты информации. Источники неопределенности могут быть самые разнообразные: нестабильность экономической и (или) политической ситуации, неопределенность действий партнеров по бизнесу, случайные факторы, т.е. большое число обстоятельств, учесть которые не представляется возможным. Экономические решения с учетом перечисленных и множества других неопределенных факторов принимаются в рамках так называемой теории принятия решений – аналитического подхода к выбору наилучшего действия (альтернативы) или последовательности действий. В зависимости от степени определенности возможных исходов или последствий различных действий, с которыми сталкивается ЛПР, в теории принятия решений рассматриваются три типа моделей: выбор решений в условиях определенности, выбор решений при риске и выбор решений в условиях неопределенности. Разновидностью двух последних моделей является выбор решений в условиях конфликта.

Решение принимается в условиях определенности, если относительно каждого действия (альтернативы) известно, что оно неизменно приводит к некоторому конкретному исходу.

Выбор решения осуществляется в условиях риска, если каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем каждый исход имеет вычисляемую или экспертно оцениваемую вероятность появления.

Выбор решения происходит в условиях неопределенности, когда то или иное действие или несколько действий имеют своим следствием множество частных исходов, но их вероятности совершенно не известны или не имеют смысла.

Выбор решения в условиях конфликта, когда появляется необходимость согласовывать альтернативы (действия) участников проектов (фирм, предприятий), так как их интересы не совпадают.

3. 2. Анализ альтернатив действий в условиях определенности

3.2.1. Метод экономико-математического моделирования

Это самый простой случай: известно количество возможных ситуаций (вариантов) и их исходы. Нужно выбрать один из возможных вариантов. Степень сложности процедуры выбора в данном случае определяется лишь количеством альтернативных вариантов и количеством критериев.

При однокритериальномприменяетсяметод «прямого счета». При этом последовательность действий ЛПР следующая:

• определяется критерий, по которому будет делаться выбор;

• методом “прямого счета” исчисляются значения критерия для сравниваемых вариантов;

• вариант с лучшим значением критерия рекомендуется к отбору.

Процедурная сторона анализа существенно усложняется из-за множественности критериев, техника “ прямого счета “ в этом случае практически не применима. Наиболее целесообразным методом принятия решений становитсяметод экономико – математического моделирования.

Содержание экономико-математических моделей и методика их построения

Наиболее полное законченное определение экономико-математической модели дал академик В.С.Немчинов: «Экономико-математическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме».

Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений и целевую функцию. Если при этом математическая постановка задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции, то данная задача называется экстремальной.

При решении экстремальных экономических задач критерии оптимальности отражаются в математических зависимостях, имеющих вид уравнений, поэтому уравнения критерия оптимальности называются уравнениями цели, или целевыми функциями.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция – функция многих переменных величин и может иметь свободный член. Каждой экономической экстремальной задаче соответствует одна целевая функция.

Модель экономической или производственной задачи должна отражать конкретные условия деятельности предприятия, поэтому для такой модели необходимы кроме целевой функции дополнительные условия, выраженные, например, уравнениями и неравенствами. Эти уравнения и неравенства составляют систему ограничений, а сами уравнения и неравенства называются ограничительными.

Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

Критерий оптимальности – экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции. Смешивать понятия критерия оптимальности и целевой функции нельзя. Критерий оптимальности есть понятие модельное, экономическое. Критерии оптимальности могут быть натуральные и стоимостные. Одни из критериев – максимизируемые, другие – минимизируемые. Минимизируемым критерием является критерий совокупных затрат всех видов (труда, сырьевых ресурсов и т.д.). Из максимизируемых критериев можно выделить такие, как: число наборов конечных продуктов, валовая, конечная, чистая и условно чистая продукция, прибыль, рентабельность и др.

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции.

Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным.

Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначать искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям и т.д. Как правило, для обозначения переменных величин используются буквы: x, y, z, а также их модификации. Например, модификация переменной х: х₁, х_ij и т.д. Аналогичные модификации могут быть и для других переменных, используемых в модели. Переменные х₁, х₂, …, х_n могут обозначать объемы производства продукции соответственно первого, второго и так далее n-го вида. По каждой переменной для конкретной задачи дается словесное пояснение.

Целевую функцию – цель задачи – чаще всего обозначают буквами f, F, Z. Постоянные величины обычно обозначают буквами: a, b, c, d и т.д.

Ограничения модели должны отражать все условия, формирующие оптимальный план. Однако практически учесть все условия задачи для достижения цели невозможно, достаточно учесть основные условия. Естественно, полученная модель будет упрощенной по сравнению с реальной, которая отражала бы все условия поставленной задачи.

Итак, в упрощенном виде экономико-математическая модель представляет собой:

• систему ограничений - равенства, неравенства вида больше или равно , меньше или равно;

• условия неотрицательности переменных, исходя из экономической или физической сущности переменных ;

• целевую функцию.

Математически общую модель задачи можно представить в виде:

Найти значения n переменных , которые удовлетворяют системе ограничений

;

Максимизирует или минимизирует целевую функцию

.

Если на переменные налагается условие неотрицательности, тогда в модель задачи вводится условие .

Если ограничения и целевая функция линейны относительно переменных, то модель называют линейной. А в случае, если хотя бы одна из функций f_i или F нелинейна, то модель называют нелинейной.

Рассмотрим пример решения задачи методом линейного программирования (ЗЛП).

Рыборазводное предприятие решает заселить водоем двумя видами рыб А и В. Средняя масса рыбы равна 2 кг для вида А и 1 кг для вида В. В озере имеется два вида пищи: Р₁ и Р₂. Средние потребности одной рыбы вида А составляют 1 ед. корма Р₁ и 3 ед. корма Р₂ в день. Аналогичные потребности для рыбы вида В составляют 2 ед. Р₁ и 1 ед. Р₂. Ежедневный запас пищи поддерживается на уровне 500 ед. Р₁ и 900 ед. Р₂.

Условие данной задачи можно представить в виде таблицы 3.1

Таблица 3.1

Исходные данные к задаче

Вид пищи	Ежедневный запас пищи	Среднедневные потребности в пище для одной рыбы (единицы пищи
		А	В
Р1 Р1	500 900	1 3	2 1
Средняя масса рыбы, кг		2	1

Как следует заселить озеро рыбами, чтобы максимизировать общую массу рыб?

Решить задачу можно множеством способов, в том числе: графическим, симплекс – методом, способом подстановки. Рассмотрим графический метод.

Графический метод решения задачи линейного программирования

Нахождение решения задачи линейного программирования на основе ее геометрической интерпретации включает следующие шаги:

1. Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

3. Находят многоугольник решений или устанавливают несовместность системы ограничений (отсутствие решения).

4. Строят вектор направления целевой функции С = (с₁, с₂):

а) в качестве начальной точки этого вектора выступает точка начала координат (0,0);

б) конечная точка в качестве своих координат (с₁, с₂) берет значения коэффициентов при неизвестных из целевой функции.

5. Строят линию уровня - прямую (например,d = 0).

6. Передвигают прямую в направлении вектора С, в результате чего либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве допустимых планов.

7. Определяют координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.

Графическим методом можно решать задачи ЛП стандартной формы, в которых не более двух (или трех) переменных. Этот метод позволяет также решать задачи, которые можно привести к указанному выше виду.

Решение. Обозначим через х₁ число рыб вида А и через х₂ число рыб вида В. Общая масса рыб будет равна

F = 2 х_{1 +} х₂.

Корма Р₁ этим рыбам потребуется х₁ + 2 х₂ единиц в день. Поскольку дневной запас корма Р₁ ограничен величиной 500 ед., то мы должны ввести ограничение

.

Для кормаР₂ получаем аналогично второе ограничение: .

Кроме того, и.

Получили задачу линейного программирования (ЗЛП):

Решим эту задачу графическим способом (см. рис.3.1). Допустимые планы задачи располагаются в первом квадранте, т.к. и.

Неравенство определяет полуплоскость. Для построения этой полуплоскости построим сначала прямую. Эта прямая разделит плоскость на две полуплоскости.

Одна из них задается неравенством , а другая – неравенством. Берем произвольную точку, которая не лежит на построенной прямой. Удобно взять точку (0; 0). Ее координаты удовлетворяют первому неравенству

.

Поэтому неравенство задает ту полуплоскость, которая содержит точку (0;0). Отметим на чертеже выбранную полуплоскость. Аналогичным образом находим полуплоскость, заданную неравенством

.

Прямая - граница этой полуплоскости. Область, образующаяся в результате пересечения всех четырех полуплоскостей, будет являться выпуклым многогранником,областью допустимых решений (планов). Областью допустимых планов нашей задачи будет четырехугольник ОАВD (см. рис.2.12).

Изучим поведение целевой функции

,

для которой мы хотим найти точку максимума. Строим вектор направления целевой функции С = (с₁, с₂) и прямую (она всегда параллельна вектору направления). Из рисунка 2.11 видно, что точкой максимума будет точкаВ – точка пересечения прямых и. Для нахождения координат точкиВ составляем систему уравнений, в которую входят уравнения этих прямых:

Решением этой системы будет пара чисел: х₁ = 260, х₂ = 120.

Итак, найден оптимальный план х* = (260; 120). В этой точке целевая функция имеет максимальное значение F* = 640.

Ответ: Наибольшей будет общая масса рыб при условии, что в озере будет 260 рыб вида А и 120 рыб вида В и равна эта масса 640 кг.