4 семестр / ekonometrika_Variant_71

Вариант 71

№1

Имеются данные о расходах населения на продукты питания (y) и доходах семьи (x), ден. ед. для 8 районов.

y	90	120	180	220	260	290	330	380
x	120	310	530	740	960	1180	1450	1870

1. Для характеристики зависимости y от x рассчитайте параметры следующих функций: а) линейной; б) степенной; 2.Оцените тесноту связи изучаемых признаков. 3.Оцените каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Р е ш е н и е :

а) Для расчета параметров b0 и b1 линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно b0 и b1:

По исходным данным рассчитываем Σy, Σx, Σxy, Σx², Σy².

Таблица 1.2 – Определение параметров модели и оценка ее качества

№	x	y	xy	x2	y2		y-	Ai
1	120	90	10800	14400	8100	102	-12	13,33
2	310	120	37200	96100	14400	134,3	-14,3	11,92
3	530	180	95400	280900	32400	171,7	8,3	4,61
4	740	220	162800	547600	48400	207,4	12,6	5,73
5	960	260	249600	921600	67600	244,8	15,2	5,85
6	1180	290	342200	1392400	84100	282,2	7,8	2,69
7	1450	330	478500	2102500	108900	328,1	1,9	0,58
8	1870	380	710600	3496900	144400	399,5	-19,5	5,13
Итого	7160	1870	2087100	8852400	508300	1870	0,00	49,83
Ср. значение	895	233,75	260887,5	1106550	63537,5			6,23

Решив систему уравнений, получим следующие значения параметров: b1 = 0.17, b0 = 81,6

Уравнение регрессии имеет вид:

С увеличением дохода семьи на 1 ден. ед. расходы на продукты питания увеличиваются на 0,17 ден. ед.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь между рассматриваемыми признаками сильная, прямая.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 99,2% объясняется вариацией фактора x. На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 0,8%.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных: среднее отклонение составляет 6,23 %

Рассчитаем F-критерий:

Fкр. находим по таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05 и степенях свободы k1=1, k2=6: Fкр=5,99.

Т.к. Fкр < Fнабл (5,99 < 744), отклоняется гипотеза Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

б) Построению нелинейной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация степенной модели производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Где Y=lg y, X=lg x, B₀=lg b₀

Для расчетов используем данные таблицы 1.3.

Таблица 1.3 – Определение параметров модели и оценка ее качества

№	x	y	X	Y	XY	X2	Y2		y-	(y-)2	Ai	(2
1	120	90	2,08	1,95	4,06	4,32	3,82	90,07	-0,07	0,01	0,08	20664,063
2	310	120	2,49	2,08	5,18	6,21	4,32	144,77	-24,77	613,59	20,64	12939,063
3	530	180	2,72	2,26	6,14	7,42	5,09	189,29	-9,29	86,39	5,16	2889,063
4	740	220	2,87	2,34	6,72	8,23	5,49	223,67	-3,67	13,50	1,67	189,063
5	960	260	2,98	2,41	7,20	8,89	5,83	254,76	5,24	27,43	2,01	689,063
6	1180	290	3,07	2,46	7,56	9,44	6,06	282,45	7,55	57,01	2,60	3164,063
7	1450	330	3,16	2,52	7,96	9,99	6,34	313,10	16,90	285,59	5,12	9264,063
8	1870	380	3,27	2,58	8,44	10,70	6,66	355,57	24,43	597,00	6,43	21389,063
Итого	7160	1870	22,65	18,61	53,28	65,21	43,61	1853,69	16,31	1680,51	43,73	71187,50
Ср. значение	895	233,75	2,83	2,33	6,66	8,15	5,45				5,47

Рассчитаем значения параметров В₀ и b₁:

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации A:

Ai=5.47

Так как Fкр < Fнабл (5,99 < 294), отвергается гипотеза Н₀ о статистической незначимости параметров степенного уравнения.

№7

Имеются структурная модель и приведенная форма модели

Структурная модель:

Приведенная форма:

Т р е б у е т с я :

1. Проверить структурную модель на необходимое и достаточное условия идентификации;

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений, найти структурные коэффициенты модели.

Решение :

1. Модель имеет три эндогенные (y1, y2, y3) и три экзогенные (x1, x2, x3) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (y1, y2), отсутствующих экзогенных – 1 (x3). Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют y3 и x3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	y3	x3
Второе	b23	0
Третье	0	а33

Det A=b23*а33≠0

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных – 3 (y1, y2, y3), отсутствующих экзогенных – 2 (x1, x3). Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют x1 и x3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	X1	X3
Первое	а11	0
Третье	а31	а33

Det A= a11*а33- 0= а11*а33≠0

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (y2, y3), отсутствующих экзогенных – 1 (x2). Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют y1 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	Y1	X2
Первое	-1	a12
Второе	b21	а22

Det A= -а22- a12* b21≠0

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) Из 3 уравнения приведенной формы выразим x3 (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

x3= 1/5y3+x1-8/5x2

Подставим полученный x3 в первое уравнение ПФМ:

y1= 0,4y3+5x1-6.2x2 – первое уравнение СФМ.

2) Из 1 и 3 уравнений приведенной формы выразим x1 и x3 (так как их нет во втором уравнении структурной формы):

x1=-0.2y3+1.6x2+x3

x3= 0.5y1-1.5x1+1.5x2

Следовательно,

x1=0.2y1-0.08y3+1.24x2

x3= 0.2y1+0.12y3-0.36x2

Подставим полученные x1 и x3 во второе уравнение ПФМ:

y2= -1.2y1-1.12y3+9.36x2 – второе уравнение СФМ.

3) Из 2 уравнения приведенной формы выразим x2 (так как его нет в третьем уравнении структурной формы):

x2= 1/4y2-1/2 x1+2x3

Подставим полученный x2 в третье уравнение ПФМ:

y3=2y2-9x1+21x3– третье уравнение СФМ.

Таким образом, СФМ примет вид:

№10.

Динамика выпуска продукции характеризуется данными (млн. долл.), представленными в таблице:

1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
23085	23980	23444	29657	39570	38435	39000	39020	40012	41010

Требуется:

1. Провести расчет параметров линейного, степенного, экспоненциального и параболического трендов.

2. Выбрать наилучший вид тренда на основании графического изображения и значения коэффициента детерминации.

3. Построить графики ряда динамики и выбранного тренда.

4. Рассчитать критерий Дарбина-Уотсона. Оценить полученный результат при 5%-ном уровне значимости.

5. Сделать прогноз ряда на два ближайших года.

Решение

1. Линейный тренд:

Степенной тренд:

Экспоненциальный тренд:

Параболический тренд:

2. Сравним значения коэффициентов детерминации по разным уравнениям трендов:

Линейный: 0,8103;

Степенной: 0,8263;

Экспоненциальный: 0,7998;

Параболический: 0,8756.

Исходные данные лучше всего описывает параболический тренд. Следовательно, в рассматриваемом примере для расчета прогнозных значений следует использовать уравнение параболического тренда y=-257,2x² + 5122,1x + 15452.

4)

		y	εt	εt-1	εt- εt-1	(εt- εt-1)2	εt2
1	20316,9	23085	2768,1				7662377,61
2	24667,4	23980	-687,4	2768,10	-3455,50	11940480,25	472518,76
3	28503,5	23444	-5059,5	-687,40	-4372,10	19115258,41	25598540,25
4	31825,2	29657	-2168,2	-5059,50	2891,30	8359615,69	4701091,24
5	34632,5	39570	4937,5	-2168,20	7105,70	50490972,49	24378906,25
6	36925,4	38435	1509,6	4937,50	-3427,90	11750498,41	2278892,16
7	38703,9	39000	296,1	1509,60	-1213,50	1472582,25	87675,21
8	39968	39020	-948	296,10	-1244,10	1547784,81	898704,00
9	40717,7	40012	-705,7	-948,00	242,30	58709,29	498012,49
10	40953	41010	57	-705,70	762,70	581711,29	3249,00
Итого	337213,5	337213	-0,5	-57,50	-2711,10	105317612,89	66579966,97

Критерий Дарбина-Уотсона рассчитаем по формуле:

Фактическое значение d сравниваем с табличными значениями при 5%-ном уровне значимости. При n=10 лет и k=1 (число факторов) нижнее значение dL=0,88, а верхнее dU= 1,32.

Найденное значение d=1,58. С вероятностью 0,95 принимается гипотеза Н0 и можно считать, что автокорреляция в остатках отсутствует. Следовательно, уравнение регрессии может быть использовано для прогноза.

5). Сделаем прогноз ряда на 2 ближайших года:

В следующие два года будет наблюдаться небольшое снижение динамики выпуска продукции.