Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методы и средства передачи информации (Лекция №4)

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
539.34 Кб
Скачать

Рисунок 4.3 − Распределение вдоль линии кривых прямой и обратной волн и их суммы для напряжения (а) и тока (б) при холостом ходе на выходных зажимах длинной линии для какого-то фиксированного момента времени

Режим короткого замыкания на выходных зажимах длинной линии с потерями (аналогично формулам режима холостого хода) проще всего описывается приведенными выше выражениями (4.1) с учетом равенства Z Н = Z Н e jϑ = 0 , а,

значит, U 2 = 0 . При этом получим выражения:

 

 

U ( x ) =

U

2 ch γx + Z B I 2 sh γx = Z B I 2 sh γx ;

(4.13)

 

I ( x ) =

U 2

sh γx + I 2 ch γx = I 2

ch γx .

(4.14)

Z B

 

 

 

 

Из сравнения формул (4.11) и (4.13) и формул (4.12) и (4.14) следует, что распределение модуля действующего значения напряжения вдоль короткозамкнутой линии повторяет (в нормированном виде) распределение действующего значения тока вдоль разомкнутой линии (т.е. линии в режиме холостого хода). И наоборот, распределение модуля действующего значения тока вдоль короткозамкнутой линии повторяет (в нормированном виде) распределение действующего значения напряжения вдоль разомкнутой линии (т.е. линии в режиме холостого хода). Итак, эти кривые описываются выражениями:

U ( x ) = Z B I 2 sh (αx + jβx ) = Z B I 2 sh (αx + jβx ) =

11

= Z B I 2

ch 2 αx cos 2 βx

;

 

2

 

(4.15)

I ( x ) = I 2 sh (αx + jβx ) = I 2

ch 2 αx + cos 2 βx .

 

2

(4.16)

Приведем пример распределения действующих значений напряжения в короткозамкнутой линии, полученный по формуле (4.15) (рис. 4.4). Это распределение соответствует распределению действующего значения тока в разомкнутой линии. Распределение действующих значений тока в короткозамкнутой линии повторяет кривую, приведенную на рис. 4.2. Кроме того оно может быть легко получено и из рис. 4.4, так как в соответствии с формулой (4.16) представляет собой суммы исходных кривых гиперболического и тригонометрического косинусов.

Рисунок 4.4 − Распределение вдоль линии кривых прямой и обратной волн и их суммы для напряжения при коротком замыкании на выходных зажимах длинной линии для какого-то фиксированного момента времени

12

3.Описание длинной линии в частотной области в терминах симметричного четырехполюсника

Представим систему уравнений длинной линии (4.1) гиперболических функциях

U ( x) =U 2 chγx +Z B I 2 shγx;

(4.15)

I ( x ) =

U 2

sh γ x + I 2

ch γ x ,

(4.16)

Z B

 

 

 

 

описывающих распределение тока и напряжения в длинной линии, в матричной форме

ch γ x

U ( x ) = sh γ xI ( x ) Z B

Z B sh γ x

 

U

 

 

 

 

 

2

 

ch γ x

 

 

 

.

(4.17)

 

 

I 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая матричное уравнение (4.17) с матричными уравнениями четырехполюсника (ЧП) с коэффициентами матрицы передачи (или А- матрицы), которые записываются в виде

 

U

1

 

 

A

11

A

12

 

U

2

 

,

(4.18)

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

I 1

 

A 21

A 22

 

 

I 2

 

 

 

или

U ( x) = A11 U 2 +A12 I 2;

I ( x ) = A 21 U 2 + A 22 I 2 ,

можно заключить, что отрезок длинной линии между выходными зажимами (т.е. плоскостью поперечного сечения, проходящей через нагрузку) и референсной плоскостью (или плоскостью отсчета) проходящей через точку х, является симметричным четырехполюсником (условие симметрииA 11 = A 22 ), коэффициенты которого

A 11 = ch γx = A 22 ; A 12 = Z B sh γ x ;

A 21

=

sh γ x

.

(4.19)

 

 

 

 

Z B

 

13

Условие взаимности A 11 A 22 A 12 A 21 =1 такого четырехполюсника − отрезка длинной линии выполняется ввиду равенства ch 2 γx sh 2 γx =1.

Заметим, что у симметричного ЧП только два независимых коэффициента матрицы передачи.

Исходя из полученной А-матрицы отрезка длинной линии, отрезок длинной линии как симметричный ЧП можно представить симметричной схемой замещения, например Т- образной (рис. 4.5) или П-образной (рис. 4.6).

I1

I2

1

2

Z1/2

Z1/2

U1

U2

 

Y2

1'

2'

Рисунок 4.5 − Симметричная T-образная эквивалентная схема замещения отрезка длинной линии

 

I1

 

I2

1

 

 

2

U1

 

Z1

 

Y2/2

Y2/2

U2

 

 

 

1'

 

 

2'

Рисунок 4.6 − Симметричная П-образная эквивалентная схема замещения отрезка длинной линии

В обеих схемах, как видно из рисунков, только два независимых (отличных) элемента, что соответствует двум независимым коэффициентам матрицы передачи.

14

Определим сначала сопротивление Z1/2 и проводимость Y2 симметричной Т- образной схемы (назовем её Т-схемой) замещения, которой можно заменить отрезок длинной линии на заданной частоте.

Симметричная Т-схема является схемой замещения симметричного ЧП, если равны какие-либо два коэффициента (например, А11 и А21) матрицы передачи ЧП и матрицы передачи Т-схемы. Можно говорить о равенстве именно двух коэффициентов, ибо два другие коэффициента (в нашем случае − это коэффициенты А12 и А22) связаны с первыми двумя: А11 и А21 соотношениями A11 = A 22 и

( A 11 )2 A 12 A 21 =1.

Как следует из формул (4.18) и (4.19), для длинной линии

A 11 =

U 1 x

= ch γx = A 22

 

A 21

 

I 1 x

 

sh γx

 

 

 

 

;

=

 

 

 

=

 

,

(4.20)

 

 

 

 

U

 

 

 

 

U

2

 

 

 

 

 

2

 

Z B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где индекс х указывает на режим холостого хода на вторичных зажимах (т.е. на зажимах 2− 2')

С другой стороны, рассчитывая коэффициенты матрицы передачи Т-схемы, из эквивалентной схемы рис. 4.5 при I2 = 0 получаем:

A

 

=

 

U

1 x

=

 

(Y 2 U 2 )(Z 1 / 2 +1/Y 2

)

=1

+

Z 1

Y 2

;

(4.21)

11

 

 

U

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

21

=

 

I 1 x

 

 

=

Y 2

U

2

=Y 2 .

 

 

 

 

 

 

(4.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

2

 

 

 

U 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравнивая выражения коэффициентов матрицы [А] для длинной линии

−(4.20) и для Т-схемы − (4,21) и (4.22)получаем:

 

 

 

 

 

 

 

Y 2

=

sh γx

;

 

 

 

1 +

Z 1

Y 2

 

= ch γx ,

 

 

 

 

 

 

(4.23')

Z B

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 1

 

=

2 (ch γx 1 )

Z B .

 

 

 

 

 

 

(4.23'')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh γx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

Формулы для Z1 и Y 2 принято записывать несколько более единообразно.

Для этого достаточно умножить числитель и знаменатель правых частей формул (4.23') и (4.23'') на множитель γx и, учитывая соотношения из лекции №3

 

 

 

γ = α+ jβ =

Z 0

Y 0

 

=

(r0

+ j ωL 0

)( g 0 + j ωC 0 )

(3.8)

Z В=

Z 0

= Z e

j θ

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= rB +

jx B

=

(r0

+ j ωL 0

)

 

 

(r0

)2 + (ωL 0 )2

e

j θ

=

 

 

 

( g 0

+ j ωC 0 )

= 4

 

)2 + (ωC 0 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( g 0

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Z

0

e

j θ

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.10)

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где θ =

1

[arg (r0

+

j ωL 0

)arg ( g 0

+

j ωC 0

)]= arctg

ωL

0

 

arctg

ωC 0

=

2

 

r0

 

 

g 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= arctg

ω( g 0 L 0 r0

C 0 )

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.11)

r0 g 0 + ω2 L 0 C 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получить для отрезка длинной линии длиной х элементы эквивалентной схемы

Z 1

=

 

γx

Z

B

2 (ch γx 1 )

 

= Z 0 x K 1 ; Y 2

=

γx

 

sh γx

=

γx sh γx

=Y 0 x K 2 , (4.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh γx

 

 

 

Z B γx

 

 

 

γx

 

 

 

 

 

γx Z B

 

где введенные коэффициенты соответственно равны:

 

 

 

 

 

 

K1 =

2(ch γx 1)

;

K 2 =

sh γx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh γx

 

γx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подсчитав коэффициенты K1 и K 2 по формулам (4.24) можно определить сопро-

тивление и проводимость Т-схемы замещения и, таким образом, длинную линию любой длины (или отрезок любой длины любой длинной линии) можно заменить симметричной Т-образной схемы замещения.

Аналогично можно отрезок длинной линии заменить П-образной симметричной схемой замещения рис. 4.6 с сопротивлением Z1 и проводимостью Y 2 .

16

Найдем эти элементы П-образной схемы замещения. Это можно сделать,

приравняв коэффициенты А11

и

 

 

А12 А-матриц

отрезка длинной линии и П-

образной схемы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из эквивалентной схемы рис. 4.6

при I2 = 0

коэффициенты матрицы пере-

дачи П-образной схемы,

получаем:

 

 

A

=

 

U

1x

=

 

 

 

 

 

U 1x

 

 

 

=1 + Z1Y 2 ;

(4.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

U 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

1x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

1

+

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y 2

/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

=

U

1

 

=

U 1

= Z

1

.

 

 

 

 

 

(4.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

I1k

 

U 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравнивая выражения коэффициентов (4.19) для отрезка длиной х длинной линии и коэффициентов в формулах (4.26) и (4.27) для П-схемы, получаем

Z1 = Z B sh γx ; 1 +

Z1Y 2

= ch γx ;

Y 2

=

2(ch γx 1)

.

(4.28)

 

 

2

 

 

 

Z B sh γx

 

Выразим формулы (4.28) сопротивления Z1 и проводимости Y 2

через ко-

эффициенты K1 и K 2 , для чего умножим числитель и знаменатель правых час-

тей формул (4.28) на γx и согласно тем же выражениям (3.8), (3.10) и (3.11) из лекции №3 получим:

Z1

= γxZ B

sh γx

= Z 0 xK 2 ;

Y 2 =

γx 2(ch γx 1)

=Y 0 xK1,

(4.29)

 

 

 

 

 

γx

Z B γx sh γx

 

 

 

 

 

 

Таким образом, длинную линию любой длины х можно также заменить симметричной П-образной схемой замещения.

Полученные схемы замещения пригодны и для линий постоянного тока, если положить ω = 0.

Основное затруднение при вычислении элементов (сопротивления Z1 и проводимости Y 2 ) Т- и П- образных схем замещения представляет вычисле-

17

ние коэффициентов K1 и K 2 по формулам (4.25), поскольку приходится вычис-

лять значения гиперболических функций от комплексного аргумента.

Исходя из выражения (4.25) для K1 и K 2 и представляя ch γx и sh γx ря-

дами, получаем:

K1

=

2(ch γx 1)

1

(γx)2 +

x)4

.... ;

 

sh γx

 

120

 

 

 

 

12

 

K 2

=

sh γx

1 +

x)2

+ (γx)4

+.....

 

 

6

 

 

 

 

γx

120

 

 

При анализе этих выражений видно, что приближенной заменой K1 и K 2

является единица. Например, если потребовать, чтобы модуль наибольшего из отбрасываемых членов в выражении K 2 , т.е. (γx6)2 не превышал 0,01, то можно найти предельную длину l , удовлетворяющую этому условию. При этом влияние

всех

остальных

отбрасываемых членов будет существенно меньшим, ибо

x)4

0,0001,

(γx)6

0,000001 и, кроме того, знаменатели отбрасываемых сла-

36

216

 

 

гаемых быстро растут.

Полученное условие предельной длины линии интересно тем, что определяет границы, в которых конкретная длинная линия по существу может интерпретироваться в виде цепи с сосредоточенными параметрами:

− в виде Т-схемы замещения с параметрами

 

Z 1 = Z 0 x ;

Y 2 =Y 0 x ;

(4.30)

− в виде П-схемы замещения с параметрами

 

Z 1 = Z 0 x ;

Y 2 = Y 0 x .

(4.31)

Это важно тем, что указывает границы, в которых длинная линия может рассматриваться в пренебрежении запаздыванием сигналов при передаче с входа на выходные зажимы линии. Это, в свою очередь, важно тем, что в этих пределах длин линия не искажает частотных характеристик сигналов, передаваемых по ней.

18

Кроме того, из сравнения формул (4.30) и (4.31) видно, что параметры Т- схемы и П-схемы замещений отрезка длинной линии одинаковы.

Завершая параграф, остановимся на примере расчета предельной длины конкретного отрезка длинной линии.

 

Пример №1.

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

Первичные

параметры воздушной линии связи r0 =2,84 Ом/км;

L 0 =1, 94 мГн/км;

g 0 = 0 , 70 мкСм/км; C 0 = 6 , 25 нФ/км. Диапазон рабочих час-

тот линии 0т 800 до 20000 Гц.

Определить:

Предельную длину такой линии, при которой допустимо приближение

K1 и K 2

примерно равны единице.

 

Решение.

 

 

При расчете предельной длины l пр линии будем ориентироваться на фор-

мулу

(γl пр

)2

≈ 0,01, из которой следует, что наибольшей предельной длине со-

 

 

 

 

6

 

ответствует наименьшее значение постоянной распространения γ.

Найдем постоянную распространения γ электромагнитной волны в такой линии по формуле (3.8) лекция №3

γ = α+ jβ = Z 0 Y 0 = (r0 + j ωL 0 )( g 0 + j ωC 0 ).

Минимальному модулю γ соответствует наименьшая частота сигнала, передаваемого по линии связи. Найдем число γ на минимальной частоте 800 Гц.

ω= 2 πf = 2 π 800 =5 , 03 10 3 рад/с;

ωL 0 =5 , 03 10 3 1, 94 10 3 =9 , 75Ом/км;

ωC 0 =5 , 03 10 3 6 , 25 10 9 = 31, 4 10 6 См/км;

Z 0 = r0 + jωL 0

= 2 , 84 + j 9 , 75 =10 ,15e j 73 0 45 Ом/км;

 

Y 0 = g 0 + jωC 0

=0 , 70 10 6 + j 31, 4 10 6 j 31, 4 10 6 =31, 4 10 6 e j 90 0

См/км.

19

γ = α+ j β =

10 ,15e j 73 0 45

31, 4 10 6

e j 90 0 =

3 ,187 10 4 e j 163 0 45 =

=1,7852 10 2

 

e j 163 , 75 0

=1,7852 10 2

e j 81 , 875 0

1/км.

Теперь из формулы

(

 

γ

 

l пр )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0,01 можно определить предельную дли-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ну линии l пр

 

0 , 06 =

 

 

 

 

0 , 06

 

=1, 835

км, при которой справедливо

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

1, 7852 10 2

 

приближение

 

K 1

 

 

 

K 2

 

 

≈ 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.