Методы и средства передачи информации (Лекция №4)
.pdfРисунок 4.3 − Распределение вдоль линии кривых прямой и обратной волн и их суммы для напряжения (а) и тока (б) при холостом ходе на выходных зажимах длинной линии для какого-то фиксированного момента времени
Режим короткого замыкания на выходных зажимах длинной линии с потерями (аналогично формулам режима холостого хода) проще всего описывается приведенными выше выражениями (4.1) с учетом равенства Z Н = Z Н e jϑ = 0 , а,
значит, U 2 = 0 . При этом получим выражения: |
|
|
|||||
U ( x ) = |
U |
2 ch γx + Z B I 2 sh γx = Z B I 2 sh γx ; |
(4.13) |
||||
|
|||||||
I ( x ) = |
U 2 |
sh γx + I 2 ch γx = I 2 |
ch γx . |
(4.14) |
|||
Z B |
|||||||
|
|
|
|
Из сравнения формул (4.11) и (4.13) и формул (4.12) и (4.14) следует, что распределение модуля действующего значения напряжения вдоль короткозамкнутой линии повторяет (в нормированном виде) распределение действующего значения тока вдоль разомкнутой линии (т.е. линии в режиме холостого хода). И наоборот, распределение модуля действующего значения тока вдоль короткозамкнутой линии повторяет (в нормированном виде) распределение действующего значения напряжения вдоль разомкнутой линии (т.е. линии в режиме холостого хода). Итак, эти кривые описываются выражениями:
U ( x ) = Z B I 2 sh (αx + jβx ) = Z B I 2 sh (αx + jβx ) =
11
= Z B I 2 |
ch 2 αx −cos 2 βx |
; |
|
2 |
|
(4.15)
I ( x ) = I 2 sh (αx + jβx ) = I 2 |
ch 2 αx + cos 2 βx . |
|
2 |
(4.16)
Приведем пример распределения действующих значений напряжения в короткозамкнутой линии, полученный по формуле (4.15) (рис. 4.4). Это распределение соответствует распределению действующего значения тока в разомкнутой линии. Распределение действующих значений тока в короткозамкнутой линии повторяет кривую, приведенную на рис. 4.2. Кроме того оно может быть легко получено и из рис. 4.4, так как в соответствии с формулой (4.16) представляет собой суммы исходных кривых гиперболического и тригонометрического косинусов.
Рисунок 4.4 − Распределение вдоль линии кривых прямой и обратной волн и их суммы для напряжения при коротком замыкании на выходных зажимах длинной линии для какого-то фиксированного момента времени
12
3.Описание длинной линии в частотной области в терминах симметричного четырехполюсника
Представим систему уравнений длинной линии (4.1) гиперболических функциях
U ( x) =U 2 chγx +Z B I 2 shγx; |
(4.15) |
||||
I ( x ) = |
U 2 |
sh γ x + I 2 |
ch γ x , |
(4.16) |
|
Z B |
|||||
|
|
|
|
описывающих распределение тока и напряжения в длинной линии, в матричной форме
ch γ x
U ( x ) = sh γ xI ( x ) Z B
Z B sh γ x |
|
U |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
ch γ x |
|
|
|
. |
(4.17) |
|
|
|
I 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая матричное уравнение (4.17) с матричными уравнениями четырехполюсника (ЧП) с коэффициентами матрицы передачи (или А- матрицы), которые записываются в виде
|
U |
1 |
|
|
A |
11 |
A |
12 |
|
U |
2 |
|
, |
(4.18) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
I 1 |
|
A 21 |
A 22 |
|
|
I 2 |
|
|
|
или
U ( x) = A11 U 2 +A12 I 2;
I ( x ) = A 21 U 2 + A 22 I 2 ,
можно заключить, что отрезок длинной линии между выходными зажимами (т.е. плоскостью поперечного сечения, проходящей через нагрузку) и референсной плоскостью (или плоскостью отсчета) проходящей через точку х, является симметричным четырехполюсником (условие симметрииA 11 = A 22 ), коэффициенты которого
A 11 = ch γx = A 22 ; A 12 = Z B sh γ x ; |
A 21 |
= |
sh γ x |
. |
(4.19) |
|
|||||
|
|
|
Z B |
|
13
Условие взаимности A 11 A 22 − A 12 A 21 =1 такого четырехполюсника − отрезка длинной линии выполняется ввиду равенства ch 2 γx − sh 2 γx =1.
Заметим, что у симметричного ЧП только два независимых коэффициента матрицы передачи.
Исходя из полученной А-матрицы отрезка длинной линии, отрезок длинной линии как симметричный ЧП можно представить симметричной схемой замещения, например Т- образной (рис. 4.5) или П-образной (рис. 4.6).
I1 |
I2 |
1 |
2 |
Z1/2 |
Z1/2 |
U1 |
U2 |
|
Y2 |
1' |
2' |
Рисунок 4.5 − Симметричная T-образная эквивалентная схема замещения отрезка длинной линии
|
I1 |
|
I2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
U1 |
|
Z1 |
|
|
Y2/2 |
Y2/2 |
U2 |
||
|
||||
|
|
|||
1' |
|
|
2' |
Рисунок 4.6 − Симметричная П-образная эквивалентная схема замещения отрезка длинной линии
В обеих схемах, как видно из рисунков, только два независимых (отличных) элемента, что соответствует двум независимым коэффициентам матрицы передачи.
14
Определим сначала сопротивление Z1/2 и проводимость Y2 симметричной Т- образной схемы (назовем её Т-схемой) замещения, которой можно заменить отрезок длинной линии на заданной частоте.
Симметричная Т-схема является схемой замещения симметричного ЧП, если равны какие-либо два коэффициента (например, А11 и А21) матрицы передачи ЧП и матрицы передачи Т-схемы. Можно говорить о равенстве именно двух коэффициентов, ибо два другие коэффициента (в нашем случае − это коэффициенты А12 и А22) связаны с первыми двумя: А11 и А21 соотношениями A11 = A 22 и
( A 11 )2 − A 12 A 21 =1.
Как следует из формул (4.18) и (4.19), для длинной линии
A 11 = |
U 1 x |
= ch γx = A 22 |
|
A 21 |
|
I 1 x |
|
sh γx |
|
|||||
|
|
|
; |
= |
|
|
|
= |
|
, |
(4.20) |
|||
|
|
|
|
U |
|
|
||||||||
|
|
U |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
Z B |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где индекс х указывает на режим холостого хода на вторичных зажимах (т.е. на зажимах 2− 2')
С другой стороны, рассчитывая коэффициенты матрицы передачи Т-схемы, из эквивалентной схемы рис. 4.5 при I2 = 0 получаем:
A |
|
= |
|
U |
1 x |
= |
|
(Y 2 U 2 )(Z 1 / 2 +1/Y 2 |
) |
=1 |
+ |
Z 1 |
Y 2 |
; |
(4.21) |
|||||||||||
11 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
U |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 |
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
21 |
= |
|
I 1 x |
|
|
= |
Y 2 |
U |
2 |
=Y 2 . |
|
|
|
|
|
|
(4.22) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
U |
2 |
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Приравнивая выражения коэффициентов матрицы [А] для длинной линии |
||||||||||||||||||||||||||
−(4.20) и для Т-схемы − (4,21) и (4.22)получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Y 2 |
= |
sh γx |
; |
|
|
|
1 + |
Z 1 |
Y 2 |
|
= ch γx , |
|
|
|
|
|
|
(4.23') |
||||||||
Z B |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Z 1 |
|
= |
2 (ch γx −1 ) |
Z B . |
|
|
|
|
|
|
(4.23'') |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh γx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Формулы для Z1 и Y 2 принято записывать несколько более единообразно.
Для этого достаточно умножить числитель и знаменатель правых частей формул (4.23') и (4.23'') на множитель γx и, учитывая соотношения из лекции №3
|
|
|
γ = α+ jβ = |
Z 0 |
Y 0 |
|
= |
(r0 |
+ j ωL 0 |
)( g 0 + j ωC 0 ) |
(3.8) |
|||||||||||||||
Z В= |
Z 0 |
= Z e |
j θ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= rB + |
jx B |
= |
(r0 |
+ j ωL 0 |
) |
|
|
(r0 |
)2 + (ωL 0 )2 |
e |
j θ |
= |
|
|
|
|||||||||||
( g 0 |
+ j ωC 0 ) |
= 4 |
|
)2 + (ωC 0 )2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( g 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
Z |
0 |
e |
j θ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где θ = |
1 |
[arg (r0 |
+ |
j ωL 0 |
)− arg ( g 0 |
+ |
j ωC 0 |
)]= arctg |
ωL |
0 |
|
− arctg |
ωC 0 |
= |
||||||||||||
2 |
|
r0 |
|
|
g 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= arctg |
ω( g 0 L 0 − r0 |
C 0 ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.11) |
||||||||
r0 g 0 + ω2 L 0 C 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получить для отрезка длинной линии длиной х элементы эквивалентной схемы
Z 1 |
= |
|
γx |
Z |
B |
2 (ch γx −1 ) |
|
= Z 0 x K 1 ; Y 2 |
= |
γx |
|
sh γx |
= |
γx sh γx |
=Y 0 x K 2 , (4.24) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
sh γx |
|
|
|
Z B γx |
||||||||||||||
|
|
|
γx |
|
|
|
|
|
γx Z B |
|
||||||||||
где введенные коэффициенты соответственно равны: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
K1 = |
2(ch γx −1) |
; |
K 2 = |
sh γx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.25) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
sh γx |
|
γx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подсчитав коэффициенты K1 и K 2 по формулам (4.24) можно определить сопро-
тивление и проводимость Т-схемы замещения и, таким образом, длинную линию любой длины (или отрезок любой длины любой длинной линии) можно заменить симметричной Т-образной схемы замещения.
Аналогично можно отрезок длинной линии заменить П-образной симметричной схемой замещения рис. 4.6 с сопротивлением Z1 и проводимостью Y 2 .
16
Найдем эти элементы П-образной схемы замещения. Это можно сделать,
приравняв коэффициенты А11 |
и |
|
|
А12 А-матриц |
отрезка длинной линии и П- |
||||||||||||||||||
образной схемы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из эквивалентной схемы рис. 4.6 |
при I2 = 0 |
коэффициенты матрицы пере- |
|||||||||||||||||||||
дачи П-образной схемы, |
получаем: |
|
|
||||||||||||||||||||
A |
= |
|
U |
1x |
= |
|
|
|
|
|
U 1x |
|
|
|
=1 + Z1Y 2 ; |
(4.26) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11 |
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
1x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y 2 |
/ 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
= |
U |
1 |
|
= |
U 1 |
= Z |
1 |
. |
|
|
|
|
|
(4.27) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12 |
|
|
I1k |
|
U 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая выражения коэффициентов (4.19) для отрезка длиной х длинной линии и коэффициентов в формулах (4.26) и (4.27) для П-схемы, получаем
Z1 = Z B sh γx ; 1 + |
Z1Y 2 |
= ch γx ; |
Y 2 |
= |
2(ch γx −1) |
. |
(4.28) |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
Z B sh γx |
|
|
Выразим формулы (4.28) сопротивления Z1 и проводимости Y 2 |
через ко- |
эффициенты K1 и K 2 , для чего умножим числитель и знаменатель правых час-
тей формул (4.28) на γx и согласно тем же выражениям (3.8), (3.10) и (3.11) из лекции №3 получим:
Z1 |
= γxZ B |
sh γx |
= Z 0 xK 2 ; |
Y 2 = |
γx 2(ch γx −1) |
=Y 0 xK1, |
(4.29) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
γx |
Z B γx sh γx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Таким образом, длинную линию любой длины х можно также заменить симметричной П-образной схемой замещения.
Полученные схемы замещения пригодны и для линий постоянного тока, если положить ω = 0.
Основное затруднение при вычислении элементов (сопротивления Z1 и проводимости Y 2 ) Т- и П- образных схем замещения представляет вычисле-
17
ние коэффициентов K1 и K 2 по формулам (4.25), поскольку приходится вычис-
лять значения гиперболических функций от комплексного аргумента.
Исходя из выражения (4.25) для K1 и K 2 и представляя ch γx и sh γx ря-
дами, получаем:
K1 |
= |
2(ch γx −1) |
≈1 − |
(γx)2 + |
(γx)4 |
−.... ; |
|||
|
sh γx |
|
120 |
||||||
|
|
|
|
12 |
|
||||
K 2 |
= |
sh γx |
≈1 + |
(γx)2 |
+ (γx)4 |
+..... |
|
||
|
6 |
|
|||||||
|
|
|
γx |
120 |
|
|
При анализе этих выражений видно, что приближенной заменой K1 и K 2
является единица. Например, если потребовать, чтобы модуль наибольшего из отбрасываемых членов в выражении K 2 , т.е. (γx6)2 не превышал 0,01, то можно найти предельную длину l , удовлетворяющую этому условию. При этом влияние
всех |
остальных |
отбрасываемых членов будет существенно меньшим, ибо |
||
(γx)4 |
≤ 0,0001, |
(γx)6 |
≤ 0,000001 и, кроме того, знаменатели отбрасываемых сла- |
|
36 |
216 |
|||
|
|
гаемых быстро растут.
Полученное условие предельной длины линии интересно тем, что определяет границы, в которых конкретная длинная линия по существу может интерпретироваться в виде цепи с сосредоточенными параметрами:
− в виде Т-схемы замещения с параметрами |
|
|
Z 1 = Z 0 x ; |
Y 2 =Y 0 x ; |
(4.30) |
− в виде П-схемы замещения с параметрами |
|
|
Z 1 = Z 0 x ; |
Y 2 = Y 0 x . |
(4.31) |
Это важно тем, что указывает границы, в которых длинная линия может рассматриваться в пренебрежении запаздыванием сигналов при передаче с входа на выходные зажимы линии. Это, в свою очередь, важно тем, что в этих пределах длин линия не искажает частотных характеристик сигналов, передаваемых по ней.
18
Кроме того, из сравнения формул (4.30) и (4.31) видно, что параметры Т- схемы и П-схемы замещений отрезка длинной линии одинаковы.
Завершая параграф, остановимся на примере расчета предельной длины конкретного отрезка длинной линии.
|
Пример №1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
||
|
Первичные |
параметры воздушной линии связи r0 =2,84 Ом/км; |
||
L 0 =1, 94 мГн/км; |
g 0 = 0 , 70 мкСм/км; C 0 = 6 , 25 нФ/км. Диапазон рабочих час- |
тот линии 0т 800 до 20000 Гц.
Определить:
Предельную длину такой линии, при которой допустимо приближение
K1 и K 2 |
примерно равны единице. |
||||
|
Решение. |
|
|||
|
При расчете предельной длины l пр линии будем ориентироваться на фор- |
||||
мулу |
(γl пр |
)2 |
≈ 0,01, из которой следует, что наибольшей предельной длине со- |
||
|
|
|
|||
|
6 |
|
ответствует наименьшее значение постоянной распространения γ.
Найдем постоянную распространения γ электромагнитной волны в такой линии по формуле (3.8) лекция №3
γ = α+ jβ = Z 0 Y 0 = (r0 + j ωL 0 )( g 0 + j ωC 0 ).
Минимальному модулю γ соответствует наименьшая частота сигнала, передаваемого по линии связи. Найдем число γ на минимальной частоте 800 Гц.
ω= 2 πf = 2 π 800 =5 , 03 10 3 рад/с;
ωL 0 =5 , 03 10 3 1, 94 10 −3 =9 , 75Ом/км;
ωC 0 =5 , 03 10 3 6 , 25 10 −9 = 31, 4 10 −6 См/км;
Z 0 = r0 + jωL 0 |
= 2 , 84 + j 9 , 75 =10 ,15e j 73 0 45 ′ Ом/км; |
|
Y 0 = g 0 + jωC 0 |
=0 , 70 10 −6 + j 31, 4 10 −6 ≈ j 31, 4 10 −6 =31, 4 10 −6 e j 90 0 |
См/км. |
19
γ = α+ j β = |
10 ,15e j 73 0 45 ′ |
31, 4 10 −6 |
e j 90 0 = |
3 ,187 10 −4 e j 163 0 45 ′ = |
||||||||||||||
=1,7852 10 −2 |
|
e j 163 , 75 0 |
=1,7852 10 −2 |
e j 81 , 875 0 |
1/км. |
|||||||||||||
Теперь из формулы |
( |
|
γ |
|
l пр )2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,01 можно определить предельную дли- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ну линии l пр |
|
≈ |
0 , 06 = |
|
|
|
|
0 , 06 |
|
=1, 835 |
км, при которой справедливо |
|||||||
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
1, 7852 10 −2 |
|
||||||||
приближение |
|
K 1 |
|
|
≈ |
|
K 2 |
|
|
≈ 1. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
20