Полное ускорение можно определить как векторную сумму нормального и тангенциального ускорений, то есть
aan a .
А его скалярное значение находится по теореме Пифагора:
a 
an2 a2 168 (м/с2).
Ответ: а = 168 м/с.
Пример 5
Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением= А + Вt + Ct2 + Dt3 (В = 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с3). Определите для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а ; 2) нормальное ускорение an ; 3) полное ускорение а.
Дано: R = 10 см = 0,1 м; = А + Вt + Ct2 + Dt3; В = 1 рад/с;
С = 1 рад/с2; D = 1 рад/с3.
Найдите: а , аn, а.
Рис. 1
Решение: Это прямая задача кинематики вращения. Вид движения – неравномерное вращение. Чтобы найти тангенциальное а и нормальное an ускорения, надо знать линейную скорость (или ее зависимость от времени). Из связи и следует:
= R |
(1) |
17
Угловую скорость найдем как производную от угла поворота
и подставим в уравнение (1)
ωd B 2Ct 3Dt 2 ; dt
= (1 + 2t + 3t2)R.
Теперь, зная скорость легко найти а и an .
|
|
|
|
|
a |
|
|
dυ |
|
2R 6 Rt; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
an |
|
υ2 |
|
(1 2t 3t )2 R2 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||
Подставим значения радиуса и констант, рассчитаем ускорения |
||||||||||||||||||
a |
n |
(1 2t 3t 2 |
)2 R; a |
n |
28,9 м с 2 ; |
a 28,9 м с 2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: a |
n |
(1 2t 3t 2 )2 R; |
a |
n |
28,9 м с 2 ; |
a 28,9 м с 2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Колесо радиусом |
R = 0,1 м |
вращается так, что зависимость |
||||||||||||||||
угловой скорости от |
времени |
|
задана уравнением = 2Аt + 5Bt4 |
|||||||||||||||
(А = 2 рад/с, В = 1 рад/с4). Определите полное ускорение точек обода колеса через t = 1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время.
Дано: R = 0,1 м; = 2Аt + 5Bt4 А = 2 рад/с; В = 1 рад/с4; t = 1 с.
Найдите: а, N.
Решение: Это обратная задача кинематики вращения, вид движения – неравномерное вращение.
Чтобы найти полное ускорение а, нужно сначала найти
тангенциальное а и нормальное |
аn ускорения. Это можно сделать |
по формулам: |
|
а = R; |
аn = 2R, |
где – угловое ускорение, |
|
– угловая скорость. |
|
Так как |
|
18
ε ddtω ,
то с учетом констант А и В имеем:
= 4 + 20t3,
a = 4R + 20Rt,
an = (4t + 5t4)R.
Поскольку:
a 
an2 aτ2 ,
то, подставляя полученные значения an и a , имеем:
a R
4 2t 3 2 4t 5t 4 4 8,5 (м/с2).
Число оборотов:
N 2π .
При t0 = 0 0 = 0 и 0 = 0.
t |
t |
|
ωdt; |
4t 5t 4 |
dt ; |
0 |
0 |
|
= 3 рад, N = 3/6,28 = 0,48 (об.).
Ответ: а = 8,5 м/с2; N = 0,48 об.
Пример 7
Движение тела массой 2 кг задано уравнением: s = 6t3 + 3t + 2, где путь выражен в метрах, время – в секундах. Найдите зависимость ускорения от времени. Вычислите равнодействующую силу, действующую на тело в конце второй секунды, и среднюю силу за
этот промежуток времени.
Дано: m = 2 кг; t1 = 0; t2 = 2 c; s = 6t3 + 3t + 2
Найдите: a(t), F, 
F 
.
Решение: Модуль мгновенной скорости находим как производную от пути по времени:
19
υ dsdt 18t 2 3 .
Мгновенное тангенциальное ускорение определяется как производная от модуля скорости по времени:
a ddtυ 36t .
Равнодействующая сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона:
F = ma,
Тогда
F = m∙36t,
F = 2∙36∙2 = 144 (Н).
Среднее ускорение определяется выражением:
a |
υ |
|
υ2 υ1 |
, |
||||
t |
t |
2 |
t |
1 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
где
υ 18t 2 |
3; |
υ 18t 2 |
3. |
||
2 |
2 |
|
1 |
1 |
|
После подстановки:
a |
18( t 2 |
t 2 ) |
18( t |
2 t1 ) . |
|
2 |
1 |
||||
|
|
|
t 2 t1
Среднюю силу за этот промежуток времени определим как:
F 
m
a
.
F 
m 18( t2 t1 ).
Подставим значение массы и времени:
F 
2 18 2 72(Н).
Ответ: 
a
18( t 2 t1 ); F = 144 Н; 
F 
72 Н.
20