9.4. Средние показатели рядов динамики.

Средние показатели рядов динамики являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики. Система средних показателей рядов динамики включает:

1. средний уровень ряда динамики;

2. средний абсолютный прирост;

3. средний темп роста;

4. средний темп прироста.

1. Средний уровень ряда рассчитывается по-разному, в зависимости от вида ряда динамики и способов получения статистических данных:

а) в интервальном ряду динамики с равными временными периодами – по формуле средней арифметической простой:

; для нашего примера:

б) в интервальном ряду динамики с неравными временными периодами – по формуле средней арифметической взвешенной:

, гдеt – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

в) для моментного ряда с равноотстоящими во времени уровнями средний уровень ряда определяется по формуле средней хронологической:

, где n – число уровней ряда.

г) для моментного ряда с неравноотстоящими уровнями он рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

, где- средний уровень, рассчитанный из двух соседних уровней ряда (моментов) по формуле простой арифметической,

- число периодов времени, в течение которых не меняется.

2. Средний абсолютный прирост можно определить по цепным абсолютным приростам: или через последний базисный абсолютный прирост:.

Для нашего примера:

3. Средний темп роста (среднегодовой) можно рассчитать по формуле средней геометрической, используя цепные темпы роста в коэффициентах: или используя абсолютные уровни ряда динамики:, гдеn – число темпов роста k, - начальный уровень ряда.

Для нашего примера:

4. Средний темп прироста определяется исходя из взаимосвязи между темпами роста и темпами прироста:

(или k-1). Для нашего примера:

9.5. Приемы анализа рядов динамики.

1. При изучении рядов динамики часто возникает необходимость сравнить одновременно развивающиеся во времени одинаковые явления, но относящиеся к разным странам, территориям (международные сравнения) или проследить развитие разных явлений. В этих случаях можно сравнивать только относительные показатели, исчисленные к единой базе (общему основанию, например, одному году). Этот приём называется приведением рядов динамики к единому основанию. Сущность приёма состоит в расчёте базисных темпов роста и прироста. Принятый за базу период (момент) времени выступает как постоянная база расчётов темпов роста для каждого из изучаемых рядов динамики.

Производство холодильников в странах A и B за 1995-1999 гг., тыс. шт.

Годы	1995	1996	1997	1998	1999
Страна A	50	70	90	100	110
Страна B	100	110	115	120	130

Различные значения абсолютных уровней рядов динамики не позволяют напрямую сравнить производство товара в разных странах. Приведём абсолютные уровни к общему основанию, приняв за базу сравнения 1995, т.е. рассчитаем базисные темпы роста в %:

Динамика производства холодильников в странах A и B за 1995-1999 гг., в %.

Годы	1995	1996	1997	1998	1999
Страна A	100,0	140,0	180,0	200,0	220,0
Страна B	100,0	110,0	115,0	120,0	130,0

Данные показывают, что производство холодильников растёт и в стране А, и в стране Б, но его темпы роста в стране А значительно выше.

Кроме того, рассчитывают коэффициент опережения – относительный показатель, характеризующий опережение (больше единицы) или отставание (меньше единицы) в развитии явления в странах: раза, т.е. производство холодильников в стране А развивалось за рассматриваемый период в 1,7 раз быстрее, чем в стране Б.

2. Выявление основной тенденции ряда динамики.

Важным направлением анализа рядов динамики является определение общей тенденции развития явлений и процессов, т.е. тренда.

На уровни ряда динамики оказывают влияние постоянно действующие (периодические) и разовые факторы. Первые формируют в рядах динамики основную тенденцию, а влияние разовых (спорадических) факторов отображается случайными (кратковременными) изменениями уровней. Периодические факторы вызывают повторяющиеся во времени колебания уровней ряда динамики.

В некоторых рядах динамики основная тенденция проявляется при визуальном обзоре, в противном случае используют специальные методы (приёмы) выявления основной тенденции развития.

Существует три основных метода выявления основной тенденции:

1. Метод укрупнения интервалов развития – основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда (например, суточные данные сводятся в месячные, месячные в квартальные, квартальные – в годовые и т.п.)

2. Метод скользящей средней – основан на замене абсолютных данных средними арифметическими за определённые периоды. Расчёт средних ведётся способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего. Интервал скольжения может быть как чётным (четырёхчленная средняя, шести-, восьми- и т.д.) – в этому случае полученный средний показатель относится к середине между двумя датами, так и нечётным (трёхчленная и т.п.) – тогда скользящая средняя записывается напротив даты, соответствующей середине интервала.

Таблица 2.

Производство телевизоров заводом за 1991-1999 гг.

Год	Производство, тыс. шт.	Пятичленная скользящая средняя
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999	100 90 110 110 90 80 90 80 100	– – 100 96 96 90 88 – –

После определения скользящих средних выявилась тенденция к снижению производства. Метод укрупнения интервалов и метод скользящей средней позволяет выявить тренд для его описания (построения графика).

3. Аналитическое выравнивание рядов динамики по математической кривой (прямой, параболе, гиперболе и т.д.) позволяет измерить тренд, т.е. получить общие статистические характеристики.

Аналитическое выравнивание по прямой производят, если явление во времени развивается равномерно, когда развитие равноускоренное (равнозамедленное), т.е. стабильны темпы прироста. При переменном развитии явления (ускорение, потом замедление) выравнивание производится по параболе 3-го порядка и т.д. В целом выбор кривой (временной функции) определяется темпами развития во времени.

Сущность метода аналитического выравнивания – основной тренд (тенденция развития) представляется как временная функция: .

Аналитическое выравнивание по прямой.

В динамическом ряду со стабильными абсолютными приростами выравнивание производится по функции прямой: , гдеt – время; - уровень тренд;- параметры уравнения;- коэффициент регрессии, определяет направление развития;

: рост уровней ряда в среднем на эту величину (равномерный)

: снижение уровней ряда в среднем на эту величину (равномерное).

Для вычисления параметров функции с помощью метода метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

Таблица 3.

Динамика товарооборота области за 1990-1995 гг.

Годы	Объём товарооборота, млн.руб.	Абсолютный прирост (цепной), млн. руб.
1990 1991 1992 1993 1994 1995	11,18 12,23 13,28 14,31 15,36 16,40	– 1,05 1,05 1,03 1,05 1,04
В среднем:	14,32	1,04

Здесь абсолютные приросты относительно стабильны.

Таблица 4.

Матрица расчётных показателей.

Годы	Объём товарооборота, млн. руб.
1990 1991 1992 1993 1994 1995	11,18 12,23 13,28 14,31 15,36 16,40	1 2 3 4 5 6	1 4 8 16 25 36	11,18 24,46 39,84 57,24 76,80 98,40	11,183 12,226 13,269 14,312 15,355 16,398
Всего:	82,76	21	91	307,92	82,743

, т.е. объём товарооборота в среднем ежегодно возрастал на 1,043 млн. руб.

Можно составить прогноз:

Адекватность математической функции проверяется через расчёт стандартизованной ошибки аппроксимации. За наиболее адекватную принимается модель (функция),у которой ошибка аппроксимации минимальна.

По окончании расчёта основной тенденции рекомендуется построить график, на котором следует изобразить фактические (эмпирические) и теоретические значения уровней ряда.

Для определения параметров математических функций при анализе тренда в рядах динамики можно использовать способ отсчёта времени от условного начала, когда показатель времени t обозначают таким образом, чтобы ∑t=0. В ряду динамики с нечётным числом уровней порядковый номер находящегося в середине ряда уровня обозначается как “0” (условное начало отсчёта времени), показатели времени всех предыдущих уровней обозначаются с интервалом (-1), а всех последующих – с интервалом (+1) (например, при n=5 t будут: -2,-1,0,+1,+2). При чётном числе уровней (например, n=6), порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначатся числами (сверху вниз): -5, -3, -1, а нижней половины: +1,+3,+5.