Скачиваний:
6
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
141.37 Кб
Скачать

12.Устойчивость сжатых стержней

12.1.Понятие устойчивости

Из общей механики известно о существовании трех видов равновесия. Рассмотрим равновесие шарика на поверхности:

а) вогнутой, б) плоской и в) выпуклой.

a)

б)

в)

 

 

Рис. 12.1 Понятие устойчивости.

Равновесие шарика в положении а) устойчиво, в положении в) неустойчиво.

На плоскости )б шарик находится в безразличном или критическом равновесии. Сформируем понятие устойчивого равновесия. В каждом из указанных положений шарик несколько отклоним от положения равновесия, а затем предоставим самому себе. В положении а) шарик будет совершать затухающие колебания относительно положения равновесия и затем вернется в исходное положение равновесия. В положении б) шарик останется в отклоненном состоянии, а в положении в) после отклонения, очевидно, шарик не вернется в первоначальное положение равновесия.

Равновесие системы называется устойчивым, если после малого отклонения системы от положения равновесия и устранения причин, вызвавших это отклонение, система возвращается в исходное положение равновесия.

Переход из устойчивой формы равновесия в неустойчивую называется потерей устойчивости.

В сопротивлении материалов устойчивость рассматривается применительно к сжатым стержням и оболочкам, находящимся под внешним давлением. Равновесие в положении б) (см. рис. 12.1) считается критическим. Теоретически любая система имеет состояние критического равновесия - переходного между устойчивым и неустойчивым, хотя на практике такого положения не существует; из-за различных несовершенств система всегда скачком переходит из устойчивого положения в неустойчивое. Формально считают, что при критическом равновесии теоретически возможны одновременно две формы равновесия: первоначальная (стержень прямой) и отклоненная (стержень изогнут).

 

P<Pkp

P=Pkp

P>Pkp

а)

б)

в)

 

Рис. 12.2. Потеря устойчивости сжатых стержней.

Нагрузку, при которой возможны две формы равновесия одновременно, будем называть критической нагрузкой (критической силой). А практически: критической силой называют нагрузку, при которой происходит потеря устойчивости.

Потеря устойчивости на практике считается опасным явлением. На практике неустойчивой формы равновесия не существует из-за следующего за ним разрушения.

Визогнутом состоянии стержень испытывает изгиб, который не был предусмотрен

ине рассчитывался. Поэтому после потери устойчивости происходит разрушение. Причем

критическая сила всегда значительно меньше нагрузки, которая бы вызвала обычное разрушение. Поэтому для сжатых стержней расчет на устойчивость имеет решающее значение.

12.2. Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня

Впервые задачу расчета на устойчивость решил Л. Эйлер. Рассмотрим вывод формулы Эйлера. Найдем критическую силу для центрального сжатого стержня с шарнирными опорами на концах. При Р = Ркр возможны две формы равновесия: исходное и в искривленном состоянии. Покажем изогнутую ось. Горизонтальным перемещением опоры А пренебрегаем. (см рис. 12.3).

B

y

 

l

P=Pkp

 

A

 

z

В сечении z прогиб балки у. Изгибающий момент

MХ (z) = - Pkp y.

Если момент увеличивает кривизну, считаем его положительным, в данном случае он отрицателен. При прогибе вниз он положителен. Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси:

Рис.12.3 Потеря устойчивости двухопорного стержня.

y''=

M

X

=

- Pkp y

= -

Pkp

y

EI X

EIX

EI X

 

 

 

 

Обозначим Pkp = k2 , тогда уравнение запишется так:

EI X

y" + k2y = 0.

Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение можно записать так:

y = C1sin kz + C2cos kz.

Найдем постоянные интегрирования, используя для этого граничные условия:

при z = 0, y = 0,

при z = l, у = 0.

Из первого условия 0 = C1*0 + C2,

C2 = 0.

Заключаем, что изогнутая ось стержня представляет собой синусоиду:

у = C1 sin kz.

Из второго условия 0 = С1 sin kl Получаем:

1) С1 = 0 , этот случай приводит к следующему уравнению прогиба: у = 0, т.е. в критическом состоянии возможна первоначальная форма равновесия.

2) sin kl = 0, в этом случае kl = p n, где n – целое число ( n = 1, 2, 3 ...).Так как:

k

2

=

Pkp

, то PКР

=

n2p 2

EI X

.

 

EI Х

l

2

 

 

 

 

 

 

 

Это значит, что для сохранения стержня в изогнутом состоянии нужно, чтобы сила Ркр принимала определенное значение. Наименьшее значение этой силы будет при n = 1 :

PКР =

p 2

EI min

12.1

 

l

2

 

 

 

 

Полученная формула носит название формулы Эйлера. Отметим, что в эту формулу в случае шарнирных сферических опор следует подставлятьImin . При потере устойчивости стержень изгибается в том направлении, в котором легче изогнуться, т.е. в направлении минимальной жесткости – минимального момента инерции.

Вернемся к уравнению изогнутой оси. Оно имеет вид: y = C1 Sin plz .

Стержень нагибается по полуволне синусоиды с амплитудой С1 , величина которой остается неопределенной. Кроме того, в нашем решении есть еще одно обстоятельство. Неясно, что будет при Р > Ркр . По решению выходит, что при Р = Ркр стержень изогнется, а при Р > Ркр выпрямится и будет искривляться каждый раз, когда сила будет достигать нового критического значения: Р1 = 1 Р кр, Р2 = 22Ркр , Р3 = 33Ркр т.д. В действительности такого не наблюдается.

Эти неясности разрешаются, если вместо приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси взять точное:

Однако полученное нами выражение дает совершенно точное значение критической силы, то есть в самом главном оно верно.

12.2. Влияние условий закрепления стержня на величину критической силы

В предыдущем пункте мы вывели формулу Эйлера для критической силы для случая двухопорного стержня. Как изменится эта формула для других способов закрепления стержня.

Рассмотрим консольный стержень, т.е стержень с одним свободным и другим защемленным концами.

Критическую силу в этом случав можно было бы определить так же, как и в случае стержня с шарнирными опорами, используя свои граничные условия. Решим задачу проще, используется особенности упругой линии. Дополнив рисунок зеркальным отражением, обнаруживаем, что в этом случае стержень удвоенной длины изгибается так же, как и стержень с

шарнирными опорами (см. рис. 12.4). Поэтому Prh =

p 2 EI min

 

 

(2l

 

2

 

 

 

 

)

 

 

Аналогично для стержня о промежуточной опо-

рой посредине получим

 

p 2 EI min

 

 

Prh =

 

 

æ l

2 .

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

ç

÷

 

 

 

 

è 2

ø

 

Обобщая полученные формулы на любой случай закрепления

концов, получим:

 

 

 

 

 

P kp =

p 2 EI min

12.2

 

(ml )2 .

Это формула Эйлера в общем виде. Здесь μl - приведенная

длина, равная длине полуволны, μ – коэффициент приведения

длины.

 

 

 

 

 

Рис. 12.4 Потери устойчивости стержней

 

 

 

 

 

различных способах закрепления

 

 

 

 

 

12.3 . Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Найдем критическое напряжение, разделив левую и правую части формулы Эйлера на площадь сечения:

Pkp

 

 

 

p 2 E

Imin

 

 

p 2 Ei2

 

p 2 E

 

p 2 E

 

 

 

F

 

 

= s

kp

=

 

=

min

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

ö2

 

F

 

 

(ml)2

(m l)2

æ

m l

 

l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç i

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è min

ø

 

 

Отношение момента инерции к площади есть квадрат величины, называемой радиусом инерции.

Символом λ – в формуле обозначена безразмерная величина, называемая гибкостью стержня. По этой величине можно судить, насколько стержень подвержен потере устойчивости – гибкие стержни легче теряют устойчивость. Проанализируем формулу гибкости:

l =

m l

12.3

 

imin

На гибкость стержня влияют способ закрепления, его длина, а также размеры и форма сечения, которые учитываются с помощью радиуса инерции. Чем больше длина, тем более гибким будет стержень и наоборот. Чем больше радиус инерции, тем гибкость меньше. Стержни, закрепленные по форме, имеющей меньший коэффициент приведения длины обладают меньшей гибкостью. Например, при одинаковой длине консольный стержень обладает в два раза большей гибкостью, чем двухопорный стержень.

Формулу Эйлера для критического напряжения можно записать в таком виде:

 

s kp =

p 2 E

12.4

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 12.5 показан график зависимости критического напряжения от гибкости: s kp - l ,

построенный для функции 12.4.

 

 

 

 

 

Из анализа уравнения следует, что это гипербола.

 

 

 

s

 

Ее называют гиперболой Эйлера. Ясно, что

на

sB

 

с увеличением гибкости критическое -

 

пряжение уменьшается и при

 

sпц

 

l ® ¥ ,

s kp ® 0 .

 

 

Из формулы следует, что при

 

 

 

l ® 0 ,

s kp ® ¥ .

 

 

 

С этим, однако, нельзя согласиться. Извест-

 

 

 

но, что напряжение не могут расти беско-

 

 

нечно. Максимально возможное напряжение

 

 

 

в материале называют пределом прочности.

 

lпред

 

Поэтому график сверху ограничивают этим

 

l

напряжением.

 

Рис. 12.5. Гипербола Эйлера.

 

 

 

 

 

Формула Эйлера имеет ограничение в применении. Дело в том, что в нее в качестве параметра входит модуль упругости материала. Он является коэффициентом в математической формулировке закона Гука. А закон Гука выполняется до тех пор, пока напряжения не достигнут предела пропорциональности материала. Поэтому гипербола Эйлера обрывается на этом значении. Пределу пропорциональности соответствует гибкость стержня, которую принято называть предельной. Приравнивая критическое напряжение по формуле Эйлера пределу пропорциональности, получим предельную гибкость:

s

kp

= s

пц

=

p 2 E

l

пред

=

p 2 E

l2пред

 

sпц

 

 

 

 

 

 

Например, для стали Ст 3 предел пропорциональности равен 200 Мпа, модуль упругости равен 200 Гпа. Тогда предельная гибкость будет равна:

lпред

=

10* 2 *1011

=100

 

 

200*106

 

Формула Эйлера справедлива при λ ≥ λпред (для стержней, имеющих большую гибкость) Для стержней с малой гибкостью критическое напряжение определяется по формуле Ясинского:

sкр = a - bl

где а и b - постоянные дня данного материала.

12.4. Расчет на устойчивость по формулам Эйлера и Ясинского.

Расчет критической силы.

При расчете на устойчивость нужно знать значение гибкости стержня. Если определяется критическая сила, то материал, размеры и форма сечения стержня должны быть заданы. Вычисляют минимальный радиус инерции сечения, а по нему – гибкость. Если расчетная гибкость окажется больше предельной, то критическую силу считают по формуле Эйлера, если – меньше, то по формуле Ясинского вычисляют критическое напряжение и затем, уже по нему – критическую силу.

Проектный расчет на устойчивость.

При проектном расчете нужно определить размеры сечения. Формулу Эйлера и формулу Ясинского решают относительно характеристик сечения стержня. Какой из двух формул воспользоваться – это зависит от гибкости стержня. Но гибкость стержня при проектном расчете неизвестна и не может быть определена, т.к. для ее вычисления нужно знать размеры сечения. Они, как следует из задания, неизвестны. Поэтому при проектном расчете поступают следующим образом.

·По формуле Эйлера вычисляют момент инерции сечения, приравняв заданную нагрузку критической силе.

·По моменту инерции определяют все основные характеристики размеров сечения, в том числе и минимальный радиус инерции.

·По известному радиусу инерции вычисляют гибкость стержня и сравнивают с предельной.

·Если гибкость оказалась больше предельной, то полученные размеры принимают.

·Если гибкость оказалась меньше предельной, то размеры сечения пересчитывают по формуле Ясинского.

14.5. Расчет сжатых стержней по коэффициенту снижения допускаемого напряжения φ

Расчеты по формулам Эйлера и Ясинского в практических решениях мало пригодны, т.к. они позволяют определить значение критической силы без учета запаса устойчивости. Значения, полученные по этим формулам не содержат запаса устойчивости. В практических расчетах требуется вычислить величину допускаемой силы, в которую заложен запас устойчивости. Задать запас устойчивости по аналогии с запасом прочности как нормативную константу нельзя. В отличие от коэффициента запаса прочности коэффициент запаса устойчивости является величиной переменной, которая зависит от гибкости стержня. Поэтому практические расчеты на устойчивость проводят по методу снижения допускаемого напряжения.

Допускаемое напряжение на устойчивость рассчитывается через допускаемоена пряжение на прочность при сжатии.

[s ]y = j [s ]

Здесь коэффициент φ – коэффициент, снижающий допускаемое напряжение на прочность при сжатии. Очевидно, что 0 < φ < 1. Для данного материала и данных усло-

вий работы коэффициент φ зависит только от гибкости стержня λ: φ = φ(λ).

Значения коэффициента φ как функции λ для различных материалов приводятся в специальных нормативных таблицах (строительные нормы и правила – СНиП).

Рассмотрим порядок расчета допускаемой нагрузки на стержень с использованием таблицы коэффициента φ.

Расчет допускаемой силы.

Дано: размеры сечения, материал;

Найти: [P] - допускаемую сжимающую силу.

По известным размерам определяем гибкость: λ Из таблицы СНиП находим коэффициент φ.

Далее вычисляем допускаемое напряжение по устойчивости [σ]y = φ[σ] .

Затем, умножая это напряжение на площадь сечения находим допускаемую нагрузку:

[P] = [σ]y F.

Проектный расчет.

Т.к. размеры сечения неизвестны и гибкость стержня определить невозможно, то и воспользоваться таблицей для определения коэффициента снижения не получится.

Поэтому подбор сечения стержня на заданную нагрузку производится путем последовательных приближений. В первом приближении задаемся коэффициентом φ. Т.к. он меняется от 0 до 1, то берут среднее φ1 = 0,5.

Затем находят [σ]y = φ[σ] и F = [sP ]y

После этого находятся размеры сечения, моменты инерции и гибкость. По значению гибкости из таблицы находят коэффициент φтабл

Если φтабл ¹ φ1 , расчет в том же порядке повторяется, но уже с новым значением коэффициента снижения.

Во втором приближении его принимают уже как среднее между принятым в первом приближении и полученным табличным значением.

j2 = j1 +jтабл

2

Если и во втором приближении табличное значение не совпадает с принятым, то расчет продолжают в третьем приближении и так до тех пор пока соответствующие значения φ не станут равными друг другу ( с разницей ~ 5%).

Соседние файлы в папке сапромат 2 курс