Скачиваний:
6
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
173.29 Кб
Скачать

9.Энергетические методы определения перемещений.

9.1Потенциальная энергия деформации.

Внешние силы, приложенные к стержню, вследствие перемещения точек их приложения совершают работу A. Эта работа идет на сообщение массе стержня скорости, т.е. преобразуется в кинетическую энергию K. Кроме того, накапливается в стержне в виде потенциальной энергии деформации U. В силу закона сохранения энергииA=K+U. При статическом нагружении скорости точек стержня малы, поэтому K=0 и U=A. Вычислим потенциальную энергию как работу внешних сил. Пусть стержень закреплен левым концом и растягивается силой, приложенной на правом конце.

 

 

P

HA

P

P

 

Dl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dDl

Рис. 9.1 Расчет потенциальной энергии деформации.

Стержень

удлиняется на величинуDl =

Nl

=

Pl

. Найдем работу внешних сил.

EF

 

 

 

 

EF

Опорная реакция

HA=P не совершает работу, т.к. перемещение здесь равно нулю. Сила на

пути l изменяется от нуля до конечного значенияP. Выделим элементарную полоску ши-

риной d (Dl ). Площадь этой

полоски Pd (Dl )

 

выражает

работу

текущей силыP на пу-

ти d (D l ), dA = Pd (D l ), а

вся работа

силыP на пути Dl

будет

определяться интегралом

 

D l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. A = ò dA

= ò Pd (D l ) Определенный интеграл можно вычислить как площадь треуголь-

D l

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ника OBC:

A =

1

P × Dl =

 

1

P ×

Pl

=

 

P 2 l

 

=

 

P 2 l

=

N 2 l

 

 

2

2

EF

 

EF

 

2 EF

2 EF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к.U=A , то потенциальная энергия деформации стержня:

U =

N 2 l

, если N = N (Z ),

то U = ò

N 2 dz

9.1

 

2 EF

 

2 EF

c

 

9.2. Потенциальная энергия деформации бруса в общем случае нагружения

В общем случае нагружения в поперечном сечении бруса возникает шесть внутрен-

них силовых факторов: N , Q X , Q Y , M X , M Y , M Z .

 

 

Вырежем из бруса элемент длиной dz и покажем на его гранях перечисленные внут-

 

ренние силовые факторы. (пусть для простоты сечения бруса – прямоугольник).

 

За счет каждого из показанных здесь внутренних силовых факторов в элементе бруса будет

 

накапливаться

потенциальная

,

энергия которая

равна

dU = dUM z + dUM x + dU M y + dU N + dUQx + dUQy

 

 

А во всем брусе

U = ò dU = U M z + U M x + U M y

+ U N

+ U Qx + U Qy

 

l

Выражения для всех шести составляющих запишем по аналогии с

потенциальной

энергией, рассчитанной

в

предыдущем

пункте9.1 для

растяжения

- сжатия:

U Mz =

 

M Z2 dz

, U Mx

=

 

 

M X2 dz

, U My

=

 

 

M Y2

dz

 

,U N

=

 

 

N 2 dz

 

 

òl G J P

òl

2EJ x

 

òl 2EJY

 

òl 2EF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U Qy

= ò

 

Q 2 dz

 

 

 

 

U Qx

= ò

 

 

QX2

dz

 

 

 

 

9.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2QF

 

 

 

 

 

2QF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

Итак, потенциальная энергия деформации бруса в общем случае нагружения

 

U = ò

M 2

dz

+ ò

M

Y 2

dz

+ ò

M

Z

dz

 

ò

N

2 dz

+ ò

Q 2 dz

+ ò

 

Q 2 dz

9.3

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

Y

 

X

 

 

2EJ x

2EJ Y

 

 

2GJ P

2EF

 

2QF

 

2QF

l

 

 

l

 

 

l

 

l

 

l

 

 

l

 

 

 

 

Однако в большинстве задач последние три члена во много раз меньше, чем три пер-

вых, и ими пренебрегают.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если, например, длина бруса в 20 раз больше его высоты ( l = 20h

) то потенци-

альная энергия сдвига составляет около 0,03% , а потенциальная энергия растяжения – около 0,015% от потенциальной энергии изгиба, т.е. их назначениями можно действительно пренебречь.

9.2. Теорема Кастильяно. Интеграл Кастильяно.

Формулировка теоремы: частная производная потенциальной энергии деформации системы по некоторой силе Р1 равна проекции полного перемещения точки приложения силы на направление этой силы:

D

 

=

U

 

9.4

1

P

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Доказательство: Пусть некоторое тело находится в равновесии под действием системы сил P1 , P2 ,.......Pn Рассмотрим два случая нагружения.

1 случай. Приложим к телу силыP1 , P2 ,.......Pn . Тело деформируется и потенциальная энергия деформации будет равна U. Приложим в точке приложения силыP1 бесконечно ма-

лую силу dP1 , направленную так же как P1 , т.е. дадим силе приращение dP1 ,. Тогда потен-

циальная энергия тоже получит приращение и станет равна U I = U + U dP1

P1

2 случай. Изменим порядок приложения сил. Вначале нагрузим тело силой dP1 , в результа-

те этого накопится потенциальная энергия, равная работе силы dP 1 на ее упругом переме-

щении dD1 :

dP1dD1

.

2

 

 

Теперь приложим всю систему силP1 , P2 ,.......Pn . В результате потенциальная энергия

системы увеличится на U и на работу силы dP1

 

на перемещение ее точки приложения от

действия сил P , P ,.......P , т.е.

dP D

1

. Причем здесь делить на2 не нужно, т.к. на этом

1 2

n

1

 

 

 

 

 

перемещении силаdP1

останется

неизменной. Тогда во втором случае нагружения

потенциальная энергия будет равна:U II =

1

dP dD

1

+ U + dP D

1

 

 

 

 

 

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как работа сил не зависит от порядка их приложения, то U I = U II Поэтому приравняем правые части этих выражений.

U

Откуда D1 = P1

Обобщим доказанную теорему. Силу P1 будем трактовать как обобщенную силу, понимая под обобщенной силой любую силу, группу сил или момент, которые удобно выделить для определения совершаемой ею работы. Обобщенной силе соответствует обобщенное перемещение. Обобщенное перемещение - это величина, на которую нужно умножить обобщенную силу, чтобы определить совершаемую ею работу. Если обобщенная сила - сосредоточенная сила, то ей соответствует линейное перемещение(например, прогиб, удлинение). Если обобщенная сила - сосредоточенный момент, то ей соответствует угловое перемещение (например, угол поворота сечения, угол закручивания).

Рассмотрим некоторые примеры. Найдем угол закручивания вала, закрепленного одним концом, а на другом нагруженного крутящим моментом М. Потенциальная энергия де-

l

M Z 2 dz

l

M 2 dz

 

M 2 l

формации: U = ò

 

= ò

 

=

 

т.кМZ = M

2GJ p

2GJ p

 

0

o

 

2GJ p

Угол закручивания определим, взяв частную производную от потенциальной энергии по

 

 

U

 

æ

M 2 l

ö

 

2Ml

 

Ml

обобщенной силе – моменту M:

j =

 

=

 

ç

 

÷

=

 

=

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

ç

 

÷

 

2GJ p

 

GJ p

 

 

 

M è

2GJ P ø

 

 

В задачах изгиба непосредственное применение теоремы Кастильяно осуществляет-

ся так. При плоском изгибе U = ò

M 2 (z)dz

+ ò

Q 2 (z)dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2EJ

Х

 

 

2Q F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

l

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но вторым членом обычно пренебрегают, тогда

 

U = ò

 

M Х

2 (z)dz

 

 

 

 

 

 

2EJ Х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

При отыскании перемещения частную

производную можно вычислять после опера-

ции

 

 

 

интегрирования,

но

 

 

 

 

 

удобнее

 

 

 

эти

 

операции

поменять:

 

 

 

æ

 

 

2

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

æ

 

 

2

 

 

 

ö

 

 

M X ( z ) M X

( z )

 

 

 

M

Х ( z )dz

 

 

M X

( z )

 

 

 

 

ç

 

÷

 

 

ç

÷

 

 

 

D1 =

 

 

ç

ò

 

 

 

 

 

÷

= ò

 

ç

 

 

 

 

 

÷dz = ò

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

P

 

2 EJ

X

P

 

2 EJ

 

X

 

EJ

X

 

P

 

 

 

1

è l

 

 

ø

 

l

 

1

è

 

 

 

 

ø

 

l

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1 = ò

M X (z) M X (z)

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.5

 

 

 

EJ

X

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученный интеграл для решения задач расчета перемещений при изгибе есть интеграл Кастильяно.

Пример. Найти ymax для балки, показанной на рисунке 9.2.

 

P

M X

(z) = -P * z;

 

M X

(z)

 

= -z;

 

 

 

P

 

 

 

l

æ

 

P z

 

ö

3

 

l

 

 

 

 

Pl

 

 

 

 

ç

 

÷

 

 

 

 

 

ymax

= òç

-

EJ X

÷(-z)dz =

3EJ X

 

 

 

0

è

 

ø

 

Рис. 9.2 Схема задачи.

Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что направление обобщенной силы совпадает с направлением перемещения точки, в которую она приложена.

В нашем примере вычисленный прогиб направлен вниз.

Как видно, использование теоремы Кастильяно существенно ускоряет определение перемещений бруса. Однако заметим, что непосредственное применение теоремы Кастильяно эффективно только в тех случаях, когда определяется перемещение в том сечении, где действует соответствующая сила, например, прогиб под силой и т.д. Но перемещения бывает нужно определять не только в местах приложения сил. В таких случаях можно поступить следующим образом. В точке, где нужно определить перемещение, приложим фиктивную силу РФ в направлении искомого перемещения, вычислим потенциальную энергию с учетом всех сил и введенной фиктивной силы РФ, вычислим частную производную, и в полученном выражении приравняем РФ = 0.

9.3 Теорема Мора. Интеграл Мора

Определение перемещений методом Кастильяно все же не совсем удобно. На основе интеграла Кастильяно можно получить интеграл Мора. Для этого нужно воспользоваться теоремой Мора.

При определении перемещений с помощью метода Кастильяно, вычисление частной производной от потенциальной энергии деформации можно заменить на уравнение единичного момента.

Пусть имеется брус произвольной формы, нагруженный некоторой системой заданных сил. Требуется определить перемещение точки А в направлении осиZ. Приложим силу РФ. До приложения силы РФ в произвольном поперечном сечении возникали внутренние си-

ловые факторы: N , Q X , QY , M Z , M X , M Y .

После приложения силы РФ (момента Мф) они изменились и стали равны:

N + Nf , QX + QXf , QY + QYf , M Z + M Zf , M X + M Xf , M Y + M Yf

Очевидно, дополнительные внутренние силовые

факторы пропорциональны силеФ

Р

r

r

r

N, QX ....., MY - внутренние си-

 

т.е. Nf = N Рf ,

QXf = Q X Рf ,.....,

M Yf = M Y М f , где

 

ловые факторы, вызванные фиктивной силой, равной единице (моментом равным единице) или иначе единичной фиктивной силой, приложенной в месте определения перемещения. Таким образом, внутренние силовых факторы:

 

 

r

r

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N + f , QX + QX Рf ,

QY + QY Рf ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M Z + M Z M f ,

M X + M X M f , M Y + M Y M f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим теперь выражение потенциальной энергии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U = ò

 

(M k + M k М f )2 dz

+ ò

 

(M x +

M

x М f )2 dz

+ ò

(M y +

M

y М f )2 dz

+ ò

(N +

N

Рf )2 dz

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2EJ y

 

 

 

 

L

 

 

 

2GJ k

 

 

 

 

l

 

 

2EJ x

l

l

2EF

+ ò

(Qx +

 

x Рf )2 dz

+ ò

(QУ +

QУ Рf )2 dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

2GF

 

 

l

 

2GF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируем это выражение по фиктивной силе (моменту) и, положив после этого РФ=0, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

f =0 = ò

M Z M Z dz

+ ò

M x

M

x dz

+ ò

M y M y dz

+ ò

N

N

dz

+ ò

Qx

Q

x dz

+ ò

Qy Qy dz

Da

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.6

f

GJ k

EJ x

EJ y

EF

GF

 

 

 

 

l

l

l

l

l

l

GF

Полученные интегралы носят название интегралов Мора.

В интегралах Мора: : N , QX , QY , M Z , M X , M Y - внутренние силовые факторы в произвольном

сечении ( Z), вызываемые внешней заданной нагрузкой; N , QX , QY , M Z , M X , M Y - внутрен-

ние силовые факторы в сеченииZ, вызываемые единичной силой, приложенной в месте определения перемещения.

Метод Мора является универсальным методом определения любых перемещений сечений бруса при любой нагрузке. Общее перемещение есть сумма интегралов Мора для каждого внутреннего силового фактора. Для плоского изгиба можно считать, что перемещение

происходит только за счет изгибающего момента. Перемещения, вызванные сдвигами, (за счет поперечной силы Qy) в расчетах не учитываются. Это вполне оправданно. Для длинных балок, у которых длина значительно превышает поперечные размеры, вклад сдвигов в общее перемещение невелик. Тогда перемещение определяется следующим образом:

D = ò

M Х (z ) * M Х

(z)

l

EIX

 

9.7

где: MХ(z)- уравнение изгибающего момента на данном участке;

M Х (z) - уравнение единичного изгибающего момента на том же участке;

EIx - жесткость сечения.

Уравнение единичного момента записывается для вспомогательной балки, которая идентична основной, но без внешних нагрузок. В качестве нагрузки здесь служат либо сила, равная единице, – если вычисляется прогиб; либо момент, равный единице, - если – угол поворота сечения, приложенные в сечении, перемещение которого определяется.

Общее число интегралов Мора должно быть равно числу участков, т.е. для каждого участка записывается свой интеграл с соответствующими границами. Причем, границы участков для основной и вспомогательной балокдолжны совпадать. Сумма всех интегралов есть искомое перемещение.

Порядок применения метода Мора для расчета перемещений

1.Вычерчивается вспомогательная система, которая геометрически совпадает с основной (заданной), но без внешних нагрузок, - отбрасываются все приложенные силы.

2.На вспомогательной системе в той точке, где нужно определить перемещение, необходи-

мо приложить:

nлибо единичную силу P = 1, если рассчитывается прогиб У;

nлибо единичный момент M = 1, если определяется угол поворота сечения.

3.Записываются уравнения моментов MХ(z) для основной и вспомогательной систем. Причем, границы участков для обоих систем должны совпадать.

4.Вычисляется момент инерции сечения.

Для каждого участка записывается свой интеграл Мора. Перемещение в заданной точке есть сумма всех интегралов. Если сечение балки по длине меняется, то при интегрировании это необходимо учитывать. Если жесткость балки по длине постоянна EIx = const., ее можно вынести за знак интеграла.

9.4 Способ Верещагина

А. Н. Верещагин в 1925 году, будучи студентом, предложил очень удобный способ вычисления интегралов Мора применительно к задачам изгиба балок и рам с прямолинейными участками, имеющими постоянную жесткость.

При определении прогиба или угла поворота эпюра M от единичной силы или единичного момента всегда является прямой линией. Запишем формулу для перемещения по способу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мора: D = ò

Mх Mх dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

EI Х

 

 

 

 

 

В

случае

 

 

 

 

балки

постоянной

жесткости

эту

формулу

можно

так: D =

1

ò

 

 

 

 

 

 

 

Mх dz

 

 

 

 

 

EI Х

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим входящий в формулу интеграл.

Построим грузовую и единичную эпюры в общем виде. Грузовая в общем виде будет представлять какую-то кривую линию, а единичная – всегда прямая (см. рис. 9.3).

M

 

ZC

 

C

 

 

M

dz

Z

 

 

MC

 

 

 

 

a

Рис. 9.3. К выводу формулы Верещагина.

Проведем произвольное сечение балки на расстоянии Z от начала координат. Изгибающие моменты для грузовой и единичной эпюры в этом сечении показаны на рисунке.

На бесконечно малом расстоянии dZ от этого сечения изгибающий момент имеет бесконечно малое приращение, равное dM. Вычислим площадь эпюры изгибающего - мо мента на этом отрезке. Т.к. приращение момента мало, можно площадь определить как площадь прямоугольника:

dw = M dZ

Соответствующий момент на единичной эпюре можно определить из треугольника: Z tg α Подставим эти формулы в интеграл Мора:

D =

ò

dw Z tg a

=

tg a

ò

Z dw =

tg a

SY

EI X

EI X

 

 

 

 

EI X

Интеграл òzdw представляет собой статический момент площади эпюры Мх относительно

w

оси Y, который, как известно, равен произведению площади на расстояние от центра тяже-

сти до данной оси, т.е. SY = Z ω Тогда

D = tg a w ZC = w M C

EI X EI X

В результате для искомого перемещения получаем следующую формулу:

 

 

 

 

 

 

D =

w M C

 

9.8

EI X

 

 

 

 

 

В этих формулах ω - площадь грузовой эпюры – т.е. эпюры изгибающего момента от внеш-

ней нагрузки, M c - ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры/

Если балка или рама состоит из нескольких участков, следует взять сумму таких произведений.

Порядок применения способа Верещагина для определения перемещений при изгибе

1.Вычерчивается вспомогательная система, которая геометрически совпадает с основной (заданной), но без внешних нагрузок, т.е. отбрасываются все приложенные силы (в нашем случае это Р1 и Р2).

2.На вспомогательной системе в той точке, где нужно определить перемещение необходимо приложить:

nлибо единичную силу P = 1, если рассчитывается прогиб У;

nлибо единичный момент M = 1, если определяется угол поворота сечения.

3.Строятся эпюры изгибающих моментов для основной системы, на каждый участок отдельно (грузовая эпюра). Строятся эпюры изгибающего момента для вспомогательной системы (единичная).

4.Определяются площади грузовых эпюр w и единичные моменты Мс под центрами тяжести грузовых.

5.Вычисляется момент инерции сечения.

6.Для каждого участка записывается формула Верещагина, по которой «перемножаются» эпюры. Сложив результаты перемножения по всем участкам, разделив на жесткость сечения получаем перемещение в данной точке.

9.5 Теорема о взаимности работ и перемещений

Теорема о взаимности работ:

Работа силы P1 , на перемещении ее точки приложения, вызванном силой P2, равна работе силы P2 на перемещение ее точки приложения, вызванном силой P1,

P1D12 = P2 D21

9.9

Докажем эту теорему на примере балки. Пусть балка защемлена одним концом и нагружена сосредоточенными силами P2 и P1. Подсчитаем потенциальную энергию деформации балки как работу внешних сил. Приложим вначале силу P1 в точку 1. Под действием

этой силы балка прогнется, точка 1 получит перемещение D11 , а некоторая точка 2 - D21 . К изогнутой уже балке приложим силу P2, в точку 2. Балка получит дополнительный прогиб:

точка 1 переместится на D12 , а точка 2 – на D22 . Определим работу внешних сил. Сила P1

совершает работу на своем упругом перемещении

1

PD

 

, после приложения силы P2 она

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

11

 

совершит работу

P D

 

 

, кроме того, сила P1 совершит работу на перемещении, вызванном

2

 

 

силой P2: PD

 

 

 

2

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

U

 

 

=

PD

 

+

P D

 

+ PD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

2

1

11

2

22

22

 

1

 

12

 

 

Изменим

порядок

приложения

сил. Потенциальная

энергия деформации будет равна

U

 

=

1

P D

 

 

+

1

PD

 

 

+ P D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

2

 

2

22

 

2

1

 

 

11

 

 

2

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как работа сил не зависит от порядка их приложения, U1 =U II откуда получаем

P1D12 = P2 D21

Здесь под силой и перемещением надо понимать обобщенную силу и обобщенное переме-

щение.

В случаеP1 = P2

получаем как следствие теорему взаимности перемеще-

ний: D12

= D21

 

Перемещение точки 1 под действием силы, приложенной в точке 2, равно перемещению точки 2 под действием такой же силы приложенной в точке 1.

Соседние файлы в папке сапромат 2 курс