Скачиваний:
6
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
460.89 Кб
Скачать

направлении перпендикулярном к оси балки, называется прогибом, он считается положительным, если его направление совпадает с направлением оси У, угол поворота сечения обозначается , он считается положительным, если направлен против часовой стрелки.

Если известно уравнение изогнутой оси балки, легко найти и угол поворота. Проведем касательную к изогнутой оси. Тогда тангенс угла наклона касательной к изогнутой оси (тоже ) равен производной “у” по z :

tg dy dz

Так как рассматриваются только малые деформации, то углы поворота так же малы и можно считать, что tg , поэтому можно записать y - угол поворота данного сечения

равен производной прогиба по z.

Составим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Ранее было получено (см формулу 7.5):

1

 

M Х (z)

(z)

EIХ

 

Из математики известно, что кривизна плоской кривой находится по формуле:

1

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z)

[1 (y )2 ]3 / 2

 

 

Приравняв правые части этих уравнений, получим:

 

 

 

 

 

M (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

7.9

 

EI

 

2 3 / 2

 

 

 

[1 (y ) ]

 

 

Это точное дифференциальное уравнение изогнутой оси. Интегрировать его в общем случае довольно сложно. Упростим это уравнение для случая малых перемещений. Так как

углы поворота y не превышают 1°, то величиной (y )2 можно пренебречь по сравнению с единицей:

2

 

1

 

2

 

 

2

(y )

 

 

 

 

0.0003 и

1+(y )

1+0.0003 = 1

57.3

 

 

 

 

 

 

Тогда получим приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

d 2 y

 

M

X (z)

7.10

dz 2

EI X

 

 

 

Это уравнение решают методом понижения порядка. Используя зависимость

y заменяют вторую производную от прогиба на первую производную от угла поворота сечения. Таким образом, уравнение 7.10 превращают в уравнение первого порядка. Далее в нем разделяют переменные и интегрируют .правую и левую части отдельно:

d

M X (z)

dz C

 

 

EIX

Далее снова подставляют y и снова интегрируют:

 

 

M X (z)

 

 

 

 

 

 

dz C

dy y

EIX

dz D

 

 

 

 

Константы интегрирования C и D появляются в результате применения неопределенного интеграла. Их можно определить из граничных условий. Граничные условия составляются по условиям закрепления балки. Возможны 3 случая.

1.Шарнирно - подвижная опора. Как известно на ней прогиб равен нулю, в результате действия одной связи RA.

2.Шарнирно - неподвижная опора. Как известно на ней прогиб тоже равен нулю, в результате действия связи RA.

3.Жесткая заделка (защемление). На этой опоре и прогиб, и угол поворота равны

нулю в результате действия связей RA и MA.

Граничные условия подставляются в полученное решение и решаются относительно констант интегрирования. После того, как константы определены, их значения возвращают в уравнения.

По решенным уравнениям строят эпюры углов поворота и прогиба. Далее по эпюрам легко можно найти наибольший прогиб. Его значение нужно в расчете на жесткость. В условии жесткости наибольший прогиб сравнивается с допускаемым:

Ymax < [Y]

Если условие жесткости не выполняется, нужно увеличить жесткость сечения балки EIX. При изучении темы 9 будут рассмотрены и другие методы расчета перемещений при

изгибе.

Соседние файлы в папке сапромат 2 курс