Лекции Клевчихина. 2 семестр.lec_2sem / lec14 / lec14

\documentclass[twoside]{article}
\usepackage{$HOME/sty/lec}
\usepackage{upgreek}

\newcommand{\Kl}{\mathscr K}
\newcommand{\Vol}{\tup{Vol}}
\newcommand{\vol}{\tup{Vol}}
\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\tsc{а.б.~лМЕЧЮЙИЙО}}\\[.3cm]
\rule{10cm}{.3pt}\\[-9.5pt] 
\rule{10cm}{1pt} 

\vskip .5cm


\LARGE{\tbf{йОФЕЗТБМШОПЕ ЙУЮЙУМЕОЙЕ}}\\[5mm]

\Large{\ttt{МЕЛГЙС 14 (1.04.2007)}}\\[5mm]
\Large{\ttt{чЩЮЙУМЕОЙЕ ПВЯЈНПЧ Й ДМЙО ЛТЙЧЩИ}}\\
%\scalebox{1.5}[1.6]{\ttt{}}\\

\vfil
 
\ovalbox{$\Int$}
\vfil

\large чМБДЙЧПУФПЛ\\
2007
\end{center}
\pagebreak
\pagestyle{headings}
\markboth{\hrulefill
лМЕЧЮЙИЙО а.б
}{\hrulefill}

\section*{мЕЛГЙС 14}

\subsection*{чЩЮЙУМЕОЙЕ ПВЯЈНПЧ}

фЕПТЙС ЧЩЮЙУМЕОЙС ПВЯЕНПЧ РПДНОПЦЕУФЧ РТПУФТБОУФЧБ $\R^3$ 
ЧРПМОЕ БОБМПЗЙЮОБ ФЕПТЙЙ ЧЩЮЙУМЕОЙС РМПЭБДЕК. йЪНЕОЕОЙС ПЮЕЧЙДОЩ.
\medskip

\begin{wrapfigure}{l}{3cm}
\vskip -18pt
\includegraphics{kletka.1}
\end{wrapfigure}

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} \tit{лМЕФЛПК} (ЙМЙ, ЕУМЙ ОБДП ХФПЮОЙФШ, 
3-\tit{НЕТОПК ЛМЕФЛПК}) Ч РТПУФТБОУФЧЕ $\R^3$ ОБЪЩЧБЕФУС МАВПК
РБТБММЕМЕРЙРЕД $\Pi$ УП УФПТПОБНЙ РБТБММЕМШОЩНЙ ПУСН ЛППТДЙОБФ, 
Ф.~Е. НОПЦЕУФЧП ЧЙДБ
\[
\Pi=\big\{(x,y,z): a\leq x\leq b; c\leq y\leq d; e\leq z\leq f\big\},\quad
\text{ЗДЕ $a\leq b$, $c\leq d$, $e\leq f$,}
\]
ЙМЙ НОПЦЕУФЧП, РПМХЮЕООПЕ ЙЪ $\Pi$ ХДБМЕОЙЕН ЧУЕК ЗТБОЙГЩ ЙМЙ ЕЈ ЮБУФЙ.

\tit{пВЯЈН ЛМЕФЛЙ} $\Pi$ --- РП ПРТЕДЕМЕОЙА ЬФП ЮЙУМП
\[
\Vol(\Pi)\bydef(b-a)(d-c)(f-e),
\]
ОЕЪБЧЙУЙНП ПФ ФПЗП, УПДЕТЦЙФ ЙМЙ ОЕФ ЛМЕФЛБ ЛБЛХА-МЙВП ЮБУФШ ЗТБОЙГЩ.

\begin{wrapfigure}{l}{4cm}
\vskip -10pt
\includegraphics{kletka.2}
\end{wrapfigure}

нОПЦЕУФЧП $Q\subset\R^3$  ОБЪЩЧБАФ \tit{ЛМЕФПЮОЩН}, ЕУМЙ ПОП
СЧМСЕФУС ПВЯЕДЙОЕОЙЕН \tbf{ЛПОЕЮОПЗП} НОПЦЕУФЧБ ЛМЕФПЛ:
\[
Q\text{ --- ЛМЕФПЮОПЕ}\eqdef \exists(\Pi_i)_{1\leq i\leq n}: 
Q=\bigcup_{i=1}^n\Pi_i.
\] 

лБЛ Й ДМС ДЧХНЕТОЩИ ЛМЕФПЮОЩИ НОПЦЕУФЧ, УРТБЧЕДМЙЧП

\teo{хФЧЕТЦДЕОЙЕ.} \tit{мАВПЕ ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ
Ч ЧЙДЕ ЛПОЕЮОПЗП ПВЯЕДЙОЕОЙС ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ЛМЕФПЛ \tup(ПЮЕЧЙДОП,
ОЕ ЕДЙОУФЧЕООЩН ПВТБЪПН}\tup).
\medskip

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} еУМЙ ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП $Q$ РТЕДУФБЧМЕОП Ч ЧЙДЕ
ЛПОЕЮОПЗП ПВЯЕДЙОЕОЙС ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ЛМЕФПЛ
\[
Q=\bigcup_{k=1}^n\Pi_k,\quad\text{ЗДЕ}\quad 
i\ne j\Rightarrow \Pi_i\cap \Pi_j=\Empty,
\]
ФП ЕЗП \tit{ПВЯЈНПН} $\Vol(Q)$ ОБЪЩЧБЕФУС УХННБ ПВЯЈНПЧ ЧУЕИ УПУФБЧМСАЭЙИ
ЕЗП (РПРБТОП ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС) ЛМЕФПЛ: 
\[
\Vol(Q)\bydef\sum_{k=1}^n\Vol(\Pi_k).
\]

фПЮОП ФБЛ ЦЕ ЛБЛ ДМС ДЧХНЕТОЩИ ЛМЕФПЮОЩИ НОПЦЕУФЧ ХУФБОБЧМЙЧБЕФУС
ЛПТТЕЛФОПУФШ РПУМЕДОЕЗП ПРТЕДЕМЕОЙС (ДПЛБЦЙФЕ УБНПУФПСФЕМШОП).

\teo{фЕПТЕНБ.} \tit{еУМЙ ЛМЕФПЮОПЕ НОПЦЕУФЧП $Q\subset\R^3$ РТЕДУФБЧМЕОП 
ДЧХНС ТБЪМЙЮОЩНЙ УРПУПВБНЙ Ч ЧЙДЕ ПВЯЕДЙОЕОЙС ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ЛМЕФПЛ}:
\[
Q=\bigcup_{k=1}^n\Pi_k=\bigcup_{j=1}^m\Pi_j',
\]
\tit{ФП}
\[
\sum_{k=1}^n\Vol(\Pi_k)=\sum_{j=1}^m\Vol(\Pi_j')
\] 

пЮЕЧЙДОП, ЧУЕ ЛМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ Ч $\R^3$ ПВТБЪХАФ \tit{ЛПМШГП НОПЦЕУФЧ},
ЕЗП НЩ ВХДЕН ПВПЪОБЮБФШ $\mathcal Q$ ЙМЙ $\mathcal Q(\R^3)$, ЕУМЙ
ФТЕВХЕФУС ХФПЮОЕОЙЕ.
\medskip


рПОСФЙС ЛХВЙТХЕНПУФЙ Й ПВЯЈНБ ЧЧПДСФУС ФПЦЕ БОБМПЗЙЮОП РПОСФЙСН 
ЛЧБДТЙТХЕНПУФЙ Й РМПЭБДЙ.

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} рПДНОПЦЕУФЧП $E\subset\R^3$ ОБЪЩЧБЕФУС 
\tit{ЛХВЙТХЕНЩН}, ЕУМЙ ДМС МАВПЗП $\eps>0$ УХЭЕУФЧХАФ ФБЛЙЕ ЛМЕФПЮОЩЕ
НОПЦЕУФЧБ $Q_1$ Й $Q_2$, ЮФП $Q_1\subset E\subset Q_2$ Й 
$\Vol(Q_2)-\Vol(Q_1)<\eps$:
\[
\forall\eps>0\ \exists Q_1,Q_2\in\mathcal Q:\quad 
Q_1\subset E\subset Q_2\quad\land\quad \Vol(Q_2)-\Vol(Q_1)<\eps.
\]

\tit{пВЯЈНПН} ЛХВЙТХЕНПЗП НОПЦЕУФЧБ $E$ ОБЪЩЧБЕФУС ЮЙУМП
\[
\Vol(E)\bydef\hskip-12pt \sup_{\substack{Q\subset E\\ Q\text{---ЛМЕФПЮОПЕ}}}
\hskip-12pt\Vol(Q)=\hskip-12pt
\inf_{\substack{Q\supset E\\ Q\text{---ЛМЕФПЮОПЕ}}}
\hskip-12pt\Vol(Q)
\]
(дЕФБМЙ ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ ЛПТТЕЛФОПУФЙ ЬФПЗП ПРТЕДЕМЕОЙС ПВЯЈНБ ПУФБАФУС
ДМС УБНПУФПСФЕМШОПК ТБВПФЩ).

\begin{wrapfigure}{l}{4cm}
\includegraphics{pic_lec14.1}
\end{wrapfigure}

\teo{фЕПТЕНБ} (П ЛХВЙТХЕНПУФЙ ГЙМЙОДТБ Й ЕЗП ПВЯЈНЕ). \tit{рХУФШ НОПЦЕУФЧП
$\tit{г}$ ЙНЕЕФ ЧЙД \tup(ГЙМЙОДТ У ПУОПЧБОЙЕН $D$ Й ПВТБЪХАЭЕК $[z_1;z_2])$}:
\[
\tit{г}=\big\{(x,y,z): (x,y)\in D, z\in[z_1;z_2]\big\},
\] 
(ВПМЕЕ ЛПТПФЛП: \(\tit{г}=D\times[z_1;z_2]\),
\tit{ЗДЕ $D$~--- \tbf{ЛЧБДТЙТХЕНПЕ} РПДНОПЦЕУФЧП $\R^2$. фПЗДБ \tit{г}~--- 
\tbf{ЛХВЙТХЕНПЕ} НОПЦЕУФЧП Й ЕЗП ПВЯЈН ТБЧЕО РТПЙЪЧЕДЕОЙА РМПЭБДЙ ПУОПЧБОЙС 
ОБ ЧЩУПФХ}:
\[
\Vol(\tit{г})=S(D)\cdot h,\quad\text{ЗДЕ } h=z_2-z_1.
\] 

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. рП ПРТЕДЕМЕОЙА РМПУЛПЗП ЛЧБДТЙТХЕНПЗП НОПЦЕУФЧБ
УХЭЕУФЧХАФ ФБЛЙЕ ДЧХНЕТОЩЕ ЛМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ $K_1$, $K_2$, ЮФП 
$K_1\subset D\subset K_2$ Й $S(K_2)-S(K_1)<\frac{\eps}h$. 

пЮЕЧЙДОП, $Q_1=K_1\times[z_1;z_2]\subset\tit{г}$ Й 
$Q_2=K_2\times[z_1;z_2]\supset\tit{г}$ --- ФТЕИ\-НЕТОЩЕ 
ЛМЕФПЮОЩЕ НОПЦЕУФЧБ, РТЙЮЈН $\Vol(Q_1)=S(K_1)\cdot h$ Й\linebreak 
$\Vol(Q_2)=S(K_2)\cdot h$. оП ФПЗДБ 
\[
\Vol(Q_2)-\Vol(Q_1)=S(K_2)\cdot h-S(K_1)\cdot h=\big(S(K_2)-S(K_1)\big)h<\eps.
\]
пФУАДБ УМЕДХЕФ ЛХВЙТХЕНПУФШ \tit{г}. 

жПТНХМБ ПВЯЈНБ \tit{г} ЧЩФЕЛБЕФ ЙЪ УМЕДХАЭЕЗП ЧЩЮЙУМЕОЙС:
\[
S(D)\cdot h=\sup_{\substack{K_1\subset D\\ K_1\in\Kl}}S(K_1)\cdot h\leq
\vol(\tit{г})\leq\inf_{\substack{K_2\supset D\\ K_2\in\Kl}}S(K_2)\cdot h=
S(D)\cdot h.
\]

фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ \vic.

ч РТЙМПЦЕОЙСИ ЮБУФП ЧПЪОЙЛБАФ, ФБЛ ОБЪЩЧБЕНЩЕ, <<ФЕМБ ЧТБЭЕОЙС>>.
ч УМЕДХАЭЕК ФЕПТЕНЕ РТЙЧПДЙФУС ХУМПЧЙЕ ЙИ ЛХВЙТХЕНПУФЙ Й ЖПТНХМБ
ЧЩЮЙУМЕОЙС ПВЯЈНБ.

\begin{wrapfigure}{l}{4.5cm}
\includegraphics{pic_lec14.2}
\end{wrapfigure}

\teo{фЕПТЕНБ} (ПВЯЈН ФЕМБ ЧТБЭЕОЙС). \tit{рХУФШ $f:[a;b]\to\R$ --- 
ЙОФЕЗТЙТХЕНБС РП тЙНБОХ ЖХОЛГЙС Й $E_f$ --- <<ФЕМП, РПМХЮЕООПЕ ЧТБЭЕОЙЕН
ЗТБЖЙЛБ ЖХОЛГЙЙ $y=f(x)$ ЧПЛТХЗ ПУЙ БВУГЙУУ>>, Ф.~Е. НОПЦЕУФЧП ЧЙДБ}
\[
E_f=\big\{(x,y,z): a\leq x\leq b,\; y^2+z^2\leq f^2(x)\big\}.
\]
\tit{фПЗДБ $E_f$ --- ЛХВЙТХЕНП Й ЕЗП ПВЯЈН ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ}
\[
\Vol(E_f)=\Int_a^b\pi f^2(x)\,dx.
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. лБЛ ПВЩЮОП, ДМС РТПЙЪЧПМШОПЗП ТБЪВЙЕОЙС
$\tau=\{a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\}$ ПВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ 
$m_i=\Inf_{x\in\Delta_i}f(x)$ Й $M_i=\Sup_{x\in\Delta_i}f(x)$.

рПУФТПЙН УОБЮБМБ УФХРЕОЮБФХА ЖХОЛГЙА
$\varphi(x){=}m_i$ РТЙ $x\in[x_{i-1};x_i)$. пЮЕЧЙДОП, <<ФЕМП, РПМХЮЕООПЕ
ЧТБЭЕОЙЕН ЗТБЖЙЛБ>> ЬФПК ЖХОЛГЙЙ, СЧМСЕФУС ПВЯЕДЙОЕОЙЕН ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС
ГЙМЙОДТПЧ ПВЭЕЗП ПВЯЈНБ \linebreak
$\Sum_{i=1}^n \pi m_i^2\Delta x_i$ Й УПДЕТЦЙФУС Ч НОПЦЕУФЧЕ $E_f$.

бОБМПЗЙЮОП, <<ФЕМП, РПМХЮЕООПЕ ЧТБЭЕОЙЕН ЗТБЖЙЛБ>> ЖХОЛГЙЙ\linebreak 
$\psi(x){=}M_i$ РТЙ $x\in[x_{i-1};x_i)$, СЧМСЕФУС ПВЯЕДЙОЕОЙЕН 
ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ГЙМЙОДТПЧ ПВЭЕЗП 
ПВЯЈНБ $\Sum_{i=1}^n \pi M_i^2\Delta x_i$ Й УПДЕТЦЙФ НОПЦЕУФЧП $E_f$.

тБЪОПУФШ ПВЯЈНПЧ ЬФЙИ ФЕМ $\Sum_{i=1}^n \pi (M_i^2-m_i^2)\Delta x_i$ 
СЧМСЕФУС ТБЪОПУФША ЧЕТИОЕК Й ОЙЦОЕК УХНН дБТВХ ДМС ЙОФЕЗТЙТХЕНПК РП
тЙНБОХ ЖХОЛГЙЙ $\pi f^2(x)$ ОБ ПФТЕЪЛЕ $[a;b]$ Й, Ч УЙМХ 2-ЗП  ЛТЙФЕТЙС
ЙОФЕЗТЙТХЕНПУФЙ, НПЦЕФ ВЩФШ УДЕМБОБ РТПЙЪЧПМШОП НБМПК ЪБ УЮЈФ ЧЩВПТБ
ТБЪВЙЕОЙС $\tau$. рПЬФПНХ НОПЦЕУФЧП $E_f$ ЛХВЙТХЕНП Й ЕЗП ПВЯЈН
ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ХЛБЪБООПК Ч ФЕПТЕНЕ ЖПТНХМЕ \vic.

ъБНЕФЙН, ЮФП РПД ЪОБЛПН ЙОФЕЗТБМБ Ч РПУМЕДОЕК ЖПТНХМЕ УФПЙФ \linebreak
\(\pi f^2(x)\)~---
РМПЭБДШ УЕЮЕОЙС ФЕМБ ЧТБЭЕОЙС РМПУЛПУФША \(x=\const\). й РПЬФПНХ ЕЈ
НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ Ч ЧЙДЕ
\[
\Vol(E_f)=\int_a^bS(x)\, dx,\;\text{ЗДЕ }S(x)=2\pi f^2(x).
\]

\begin{wrapfigure}{l}{4.5cm}
\vskip -20pt
\includegraphics{pic_lec14.5}
\end{wrapfigure}
пЛБЪЩЧБЕФУС, РПУМЕДОСС ЖПТНХМБ ДПРХУЛБЕФ ПВПВЭЕОЙЕ.
ьФП ПВПВЭЕОЙЕ ЙОПЗДБ ОБЪЩЧБАФ <<РТЙОГЙРПН лБЧБМШ\'ЕТЙ ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ПВЯЈНПЧ>>.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП ЕЈ НЩ ПФЛМБДЩЧБЕН ДП УМЕДХАЭЕЗП УЕНЕУФТБ, ЛПЗДБ ВХДЕН
ЙЪХЮБФШ ФТПКОЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ\footnote{фПЮОЕЕ, НЩ ДПЛБЦЕН ОЕНОПЗП ВПМЕЕ
ПВЭХА ЖПТНХМХ \(\iiint_Vf(x,y,z)\,dxdydz=
\int_{z_1}^{z_2}\,dz\iint_{D_z}f(x,y,z)\,dxdy,\) 
(УН. МЕЛГЙС~26, III~УЕНЕУФТ.)}.

\teo{фЕПТЕНБ.} \tit{еУМЙ НОПЦЕУФЧП $E\subset\R^3$ ЛХВЙТХЕНП, ТБУРПМПЦЕОП
НЕЦДХ РМПУЛПУФСНЙ $z=z_1$ Й $z=z_2$,  Й РТЙ ЛБЦДПН $z\in[z_1;z_2]$ 
РТПЕЛГЙЙ ОБ РМПУЛПУФШ \(Oxy\) ЕЗП <<УЕЮЕОЙК>> РМПУЛПУФСНЙ \(z=\const\)}
НОПЦЕУФЧБ \(D_z\),  
\[
D_z=\{(x,y):(x,y,z)\in E\}\quad (\text{$z$ --- ЖЙЛУЙТПЧБОП})
\]
\tit{СЧМСАФУС ЛЧБДТЙТХЕНЩНЙ НОПЦЕУФЧБНЙ У РМПЭБДША $S(z)$, ФП
ЖХОЛГЙС $S(z)$ ЙОФЕЗТЙТХЕНБ РП тЙНБОХ Й 
ПВЯЈН НОПЦЕУФЧБ $E$ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ РП ЖПТНХМЕ}
\[
\Vol(E)=\Int_{z_1}^{z_2}S(z)\,dz.
\]


\subsection*{чЩЮЙУМЕОЙЕ ДМЙОЩ ЛТЙЧПК}

оБРПНОЙН, ЮФП РБТБНЕФТЙЪПЧБООБС ЛТЙЧБС ЬФП РП ПРТЕДЕМЕОЙА
\tit{ОЕРТЕТЩЧОБС} ЧЕЛФПТ-ЖХОЛГЙС 
\[
\vec r=\vec r(t)=x(t)\vec\imath+y(t)\vec\jmath+z(t)\vec\kappa,
\quad t\in[a;b].
\]
еЈ ОЕРТЕТЩЧОПУФШ ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ОЕРТЕТЩЧОЩ ЖХОЛГЙЙ 
\(x(t)\), \(y(t)\), \(z(t)\). дЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНПУФШ Й ОЕРТЕТЩЧОБС
ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНПУФШ \(\vec r(t)\) ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ФБЛПЧЩНЙ ПРСФШ
ВХДХФ ЖХОЛГЙЙ \(x(t)\), \(y(t)\), \(z(t)\). й, ОБЛПОЕГ,
НЩ ОБЪЩЧБЕН ЛТЙЧХА \(\vec r=\vec r(t)\) \tit{\tbf{ЗМБДЛПК}},
ЕУМЙ ПОБ ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБ Й \(|\vec r{\,}'(t)|\ne 0\)
РТЙ ЧУЕИ \(t\in[a;b]\).


ч РТПЫМПН УЕНЕУФТЕ (МЕЛГЙС~30) ВЩМП ЧЧЕДЕОП
РПОСФЙЕ \tit{УРТСНМСЕНПК}\footnote{у ЙОФХЙФЙЧОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС,
ЬФП ЛТЙЧЩЕ, Х ЛПФПТЩИ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ ДМЙОХ. йНЕАФУС ЛТЙЧЩЕ,
ЛПФПТЩН ОЕ ХДБЈФУС РТЙРЙУБФШ ТБЪХНОЩН УРПУПВПН ЮЙУМБ, ДПМЦОПЗП
ЙЗТБФШ ТПМШ ЙИ ДМЙОЩ. рПДТПВОЕЕ УН. дПВБЧМЕОЙЕ.} (РБТБНЕФТЙЪПЧБООПК) 
ЛТЙЧПК \(\vec r=\vec r(t)\).
дМС ФБЛЙИ ЛТЙЧЩИ ПРТЕДЕМЕОБ ЖХОЛГЙС \(t\mapsto s(t)\), УПРПУФБЧМСАЭБС
ЛБЦДПНХ ЪОБЮЕОЙА РБТБНЕФТБ \linebreak
\(t\in[a;b]\) ДМЙОХ ДХЗЙ ЬФПК ЛТЙЧПК
ПФ ФПЮЛЙ \(\vec r(a)\) ДП ФПЮЛЙ \(\vec r(t)\). сУОП, ЮФП \(s(a)=0\),
Б \(s(b)\)~--- ЬФП ДМЙОБ ЧУЕК ЛТЙЧПК ПФ ФПЮЛЙ \(\vec r(a)\) ДП ФПЮЛЙ
\(\vec r(b)\).  фПЗДБ ЦЕ НЩ РПЛБЪБМЙ,
ЮФП ЕУМЙ ЛТЙЧБС ОЕРТЕТЩЧОП ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБ, ФП ЖХОЛГЙС \(s(t)\)
ФПЦЕ ОЕРТЕТЩЧОП ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБ Й ЕЈ РТПЙЪЧПДОБС ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ
\[
s'(t)=|\vec r{\,}'(t)|=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2(t)+\dot z^2(t)}.
\]
оП, ВХДХЮЙ ОЕРТЕТЩЧОПК,  ЖХОЛГЙС \(s'(t)\) ЙОФЕЗТЙТХЕНБ РП тЙНБОХ
Й ЙНЕЕФ РЕТЧППВТБЪОХА \(s(t)\), РПЬФПНХ ЙОФЕЗТБМ ПФ ОЕЈ ПФ \(a\) 
ДП \(b\) НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ РП ЖПТНХМЕ оШАФПОБ-мЕКВОЙГБ
\[
\int_a^b|\vec r{\,}'(t)|\,dt=\int_a^b s'(t)\,dt=s(t)\Big|_a^b=s(b)-s(a)=s(b).
\]
фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН ФЕПТЕНХ.

\teo{фЕПТЕНБ.} \tit{еУМЙ  ЛТЙЧБС $\gamma$ ЪБДБОБ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙН ХТБЧОЕОЙЕН} 
\[
\gamma:\begin{cases}x=x(t)&\\[-3pt] y=y(t)&\\[-3pt] z=z(t)&\end{cases}
a\leq t\leq b, \quad
\bigg(\substack{\text{ЙМЙ Ч}\\\text{ЧЕЛФПТОПК}\\\text{ЪБРЙУЙ}}\quad
\vec r(t)=x(t)\vec\imath+y(t)\vec\jmath+z(t)\vec\kappa\bigg)
\]
\tit{ЗДЕ $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ --- ОЕРТЕТЩЧОП ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНЩЕ
ЖХОЛГЙЙ, ФП ЕЈ ДМЙОХ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ РП ЖПТНХМЕ}
\[
\ell(\gamma)=\int_a^b\sqrt{\dot x^2(t)+\dot y^2(t)+\dot z^2(t)}\,dt 
\quad\bigg(=\int_a^b|\vec r(t)|\, dt\bigg).
\]

лБЛ УМЕДУФЧЙЕ ЬФПК ФЕПТЕНЩ НПЦОП РПМХЮЙФШ ЕЭЈ ОЕУЛПМШЛП
ЖПТНХМ.

\tbf 1. \tit{ч УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ОБ РМПУЛПУФЙ ЛТЙЧБС ЪБДБЈФУС <<СЧОЩН>>
ХТБЧОЕОЙЕН \(y=f(x)\), \(x\in[a;b]\), ЗДЕ \(f\)~---ОЕРТЕТЩЧОП
ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБС ЖХОЛГЙС, ЙНЕЕФ НЕУФП ЖПТНХМБ}
\[
\ell=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx.
\]
\begin{quotation}\footnotesize
ч УБНПН ДЕМЕ, Ч ЬФПН УМХЮБЕ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙ ЛТЙЧХА НПЦОП
РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЧЙДЕ 
\(\left\{\begin{smallmatrix}x=t\hfill \\y=f(t)\end{smallmatrix}\right.\).
\end{quotation}

\tbf 2. \tit{ч УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ОБ РМПУЛПУФЙ ЛТЙЧБС ЪБДБЈФУС <<РПМСТОЩН ХТБЧОЕОЙЕН>> 
\(\rho=\rho(\varphi)\), \(\varphi\in[\alpha;\beta]\), ЗДЕ 
\(\rho\)~---ОЕРТЕТЩЧОП ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБС ЖХОЛГЙС, ЙНЕЕФ НЕУФП ЖПТНХМБ}
\[
\ell=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho'(\varphi)^2+\rho(\varphi)^2}\,d\varphi.
\]
\begin{quotation}\footnotesize
дЕКУФЧЙФЕМШОП, РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙ ФБЛБС ЛТЙЧБС ЪБРЙУЩЧБЕФУС
УППФОПЫЕОЙСНЙ
\(\left\{\begin{smallmatrix}x=\rho(\varphi)\cos\varphi, \\
y=\rho(\varphi)\sin\varphi\end{smallmatrix}\right..\)
пФЛХДБ,
\begin{gather*}
x'(\varphi)=\rho'(\varphi)\cos\varphi-\rho(\varphi)\sin\varphi,\\
y'(\varphi)=\rho'(\varphi)\sin\varphi+\rho(\varphi)\cos\varphi.\\
\end{gather*}
чПЪЧПДС ЬФЙ ТБЧЕОУФЧБ Ч ЛЧБДТБФ Й УЛМБДЩЧБС, РПМХЮЙН
ФТЕВХЕНХА ЖПТНХМХ
\end{quotation}
 

\subsection*{чЩЮЙУМЕОЙЕ РМПЭБДЙ РПЧЕТИОПУФЙ ЧТБЭЕОЙС}

уЙФХБГЙС УП УФТПЗЙН ПРТЕДЕМЕОЙЕН, ЮФП ФБЛПЕ РМПЭБДШ (ЙУЛТЙЧМЈООПК)
РПЧЕТИОПУФЙ  ЗПТБЪДП УМПЦОЕЕ, ЮЕН У ДМЙОПК ЛТЙЧПК. еЈ ХЦЕ ОЕ ХДБЈФУС
ПРТЕДЕМЙФШ, ЛБЛ <<РТЕДЕМ ЧРЙУБООЩИ НОПЗПЗТБООЙЛПЧ РТЙ НЕМЛПУФЙ ТБЪВЙЕОЙС,
УФТЕНСЭЕКУС Л ОХМА>>. цЕМБАЭЙИ ПЪОБЛПНЙФШУС У ЬФЙН ЧПРТПУПН Ч РПРХМСТОПК
ЖПТНЕ, С ПРСФШ ПФУЩМБА Л ЛОЙЦЛЕ о.с.~чЙМЕОЛЙОБ <<тБУУЛБЪЩ П НОПЦЕУФЧБИ>>.
ъДЕУШ ЦЕ НЩ ТБУУНПФТЙН ОЕЛПФПТХА <<ЕУФЕУФЧЕООХА>> ЛПОУФТХЛГЙА ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС, 
ФБЛ ОБЪЩЧБЕНЩИ,  <<РПЧЕТИОПУФЕК ЧТБЭЕОЙС>>. оЕНОПЗП ВПМЕЕ РПДТПВОП
ОБ ЧПРТПУЕ ПРТЕДЕМЕОЙС РМПЭБДЙ РПЧЕТИОПУФЕК Й ЕЈ ЧЩЮЙУМЕОЙЙ (Й, ЧППВЭЕ,
ФЕПТЙЙ РПЧЕТИОПУФЕК) НЩ ПУФБОПЧЙНУС Ч 4-Н УЕНЕУФТЕ (УН. МЕЛГЙЙ~3, 4).

рХУФШ \(f\)~--- ОЕРТЕТЩЧОП ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБС ЖХОЛГЙС ОБ ПФТЕЪЛЕ \([a;b]\) Й
РТЙ ЧУЕИ \(x\in[a;b]\) \(f(x)\geq 0\). фПЗДБ, ЛБЛ НЩ ЪОБЕН (УН. МЕЛГЙА~30 ЪБ 
РТПЫМЩК УЕНЕУФТ), <<ЗТБЖЙЛ>> ЬФПК ЖХОЛГЙЙ СЧМСЕФУС \tit{УРТСНМСЕНПК} ЛТЙЧПК.
рХУФШ \(L\)~--- ЧРЙУБООБС Ч ЬФХ ЛТЙЧХА МПНБОБС, УППФЧЕФУФЧХАЭБС ТБЪВЙЕОЙА
\(\tau=\{a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\}\) ПФТЕЪЛБ \([a;b]\). рТЙ ЧТБЭЕОЙЙ ЬФПК
МПНБОПК ЧПЛТХЗ ПУЙ \(Ox\) ПВТБЪХЕФУС ЖЙЗХТБ, СЧМСАЭБСУС ПВЯЕДЙОЕОЙЕН
ХУЕЮЈООЩИ ЛПОХУПЧ, ПВТБЪПЧБООЩИ ЧТБЭЕОЙЕН ЪЧЕОШЕЧ ЬФПК МПНБОПК.
чЩЮЙУМЙН УХННХ РМПЭБДЕК \(S(f,\tau)\) ВПЛПЧПК РПЧЕТИОПУФЙ 
ЬФЙИ ХУЕЮЈООЩИ ЛПОХУПЧ.

\begin{wrapfigure}[11]{l}{5cm}
\vskip-12pt
\includegraphics{sv.1}
\end{wrapfigure}

лБЛ ЙЪЧЕУФОП ЙЪ ЬМЕНЕОФБТОПК ЗЕПНЕФТЙЙ, РМПЭБДШ ВПЛПЧПК РПЧЕТИОПУФЙ
ПДОПЗП ХУЕЮЈООПЗП ЛПОХУБ ТБЧОБ\footnote{уН. Ч ЛПОГЕ ЬФПК МЕЛГЙЙ дПВБЧМЕОЙЕ 2.} 
\[
S=\pi (R+r)l,
\] 
ЗДЕ \(R\) Й \(r\)~--- ТБДЙХУЩ ПУОПЧБОЙК
Й \(l\)~--- ДМЙОБ ПВТБЪХАЭЕК ХУЕЮЈООПЗП ЛПОХУБ.
ч ОБЫЕН УМХЮБЕ ТБДЙХУБНЙ ПУОПЧБОЙК ХУЕЮЈООЩИ ЛПОХУПЧ УМХЦБФ
ЪОБЮЕОЙС ЖХОЛГЙЙ \(f\) Ч ФПЮЛБИ \(x_k\):
\(r=f(x_{k-1})\), \(R=f(x_k)\), ПВТБЪХАЭБС \(l\) ЧЩЮЙУМСЕФУС
РП ФЕПТЕНЕ рЙЖБЗПТБ
\[
l=\sqrt{(x_k-x_{k-1})^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}=
\sqrt{(\Delta x_k)^2+\big(\Delta f(x_k)\big)^2}.
\]
фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН
\[
S(f,\tau)=\sum_{k=1}^n\pi\big[f(x_k)+f(x_{k-1})\big]
\sqrt{(\Delta x_k)^2+\big(\Delta f(x_k)\big)^2}.\tag{$*$}
\]
еУМЙ ЬФБ ЧЕМЙЮЙОБ ЙНЕЕФ РТЕДЕМ РТЙ НЕМЛПУФЙ ТБЪВЙЕОЙС \(\lambda(\tau)\)
УФТЕНСЭЕКУС Л ОХМА, ФП ЕЈ <<ЕУФЕУФЧЕООП>> УЮЙФБФШ ЙУЛПНПК РМПЭБДША
РПЧЕТИОПУФЙ ФЕМБ ЧТБЭЕОЙС.

дМС ЧЩЮЙУМЕОЙС РТЕДЕМБ \(S(f,\tau)\) РТЙ \(\lambda(\tau)\to 0\) 
УОБЮБМБ ОЕНОПЗП РТЕПВТБЪХЕН РТБЧХА ЮБУФШ
ТБЧЕОУФЧБ $(*)$. дМС ЬФПЗП ЪБНЕФЙН, ЮФП РП ФЕПТЕНЕ мБЗТБОЦБ ДМС ЛБЦДПЗП
\(k\) ОБКДХФУС ФБЛЙЕ \(\xi_{k}\), ЮФП
\[
\Delta f(x_k)=f(x_k)-f(x_{k-1}=f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})=f(\xi_k)\Delta x_k.
\] 
фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН
\begin{multline*}
S(f,\tau)=\sum_{k=1}^n\pi\big[f(x_k)+f(x_{k-1})\big]
\sqrt{(\Delta x_k)^2+\big(\Delta f(x_k)\big)^2}=\\=
\sum_{k=1}^n\pi\big[f(x_k)+f(x_{k-1})\big]
\sqrt{(\Delta x_k)^2+(f(\xi_k)\Delta x_k)^2}=\\=
\sum_{k=1}^n\pi\big[f(x_k)+f(x_{k-1})\big]\sqrt{1+f(\xi_k)^2}\Delta x_k.
\end{multline*}
рПУМЕДОСС УХННБ РПИПЦБ ОБ ЙОФЕЗТБМШОХА УХННХ ДМС ЙОФЕЗТБМБ
\[
\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx=\lim_{\lambda(\tau)\to 0}
\sum_{k=1}^n\pi\big[f(\xi_k)+f(\xi_k)\big]
\sqrt{(1+f(\xi_k)^2}\Delta x_k.
\]
{\footnotesize (пФНЕФЙН, ЮФП Ч ЙОФЕЗТБМШОПК УХННЕ НЩ НПЦЕН ЧЩВЙТБФШ \(\xi_k\)
Ч ФПЮОПУФЙ ФБЛЙНЙ ЦЕ, ЛБЛЙЕ РПМХЮБАФУС ЙЪ ФЕПТЕНЩ мБЗТБОЦБ Ч УХННЕ ВПЛПЧЩИ
РПЧЕТИОПУФЕК ХУЕЮЈООЩИ ЛПОХУПЧ. рТЕДЕМ ПФ ЬФПЗП ЧЩВПТБ ОЕ ЪБЧЙУЙФ.)}


еУМЙ НЩ РПЛБЦЕН, ЮФП ЙИ ТБЪОПУФШ УФТЕНЙФУС Л ОХМА, ФП УНПЦЕН ХЮФЧЕТЦДБФШ, ЮФП:

\teo{фЕПТЕНБ.} \begin{it}
еУМЙ ЖХОЛГЙС \(f\) ЙНЕЕФ ЙОФЕЗЙТЙТХЕНХА РП тЙНБОХ ОБ ПФТЕЪЛЕ
\([a;b]\) РТПЙЪЧПДОХА  Й \(f(x)\geq 0\) РТЙ ЧУЕИ \(x\), ФП УХЭЕУФЧХЕФ РТЕДЕМ
РМПЭБДЕК РПЧЕТИОПУФЕК, ПВТБЪПЧБООЩИ ЧТБЭЕОЙЕН ЧПЛТХЗ ПУЙ \(Ox\) ЧРЙУБООЩИ
МПНБОЩИ, РТЙ НЕМЛПУФЙ ТБЪВЙЕОЙК, УФТЕНСЭЕКУС Л ОХМА. ьФПФ РТЕДЕМ
ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ
\[
S(f)=\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx
\]
Й ЕЗП ЕУФЕУФЧЕООП УЮЙФБФШ РМПЭБДША РПЧЕТИОПУФЙ, ПВТБЪПЧБООПК ЧТЭЕОЙЕН 
ЗТБЖЙЛБ ЖХОЛГЙЙ \(f\) ЧПЛТХЗ ПУЙ \(Ox\).
\end{it}
 
д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.
рПМПЦЙН \(M=\Sup_{x\in[a;b]}\big|f(x)\big|\), ФПЗДБ
\begin{multline*}
\bigg|\sum_{k=1}^n\pi\big[f(x_k)+f(x_{k-1})\big]\sqrt{1{+}f(\xi_k)^2}\Delta x_k-
\sum_{k=1}^n2\pi f(\xi_k)\sqrt{1{+}f(\xi_k)^2}\Delta x_k\bigg|=\\=
\bigg|\sum_{k=1}^n\pi\big[f(x_k)-f(\xi_k)+f(x_{k-1})-f(\xi_k)\big]
\sqrt{1+f(\xi_k)^2}\Delta x_k\leq\\ \leq
\pi\sqrt{1+M^2}\sum_{k=1}^n \Big(\big|f(x_k)-f(\xi_k)\big|+
\big|f(x_{k-1})-f(\xi_k)\big|\Big)\Delta x_k\leq\\ \leq
\pi\sqrt{1+M^2}\sum_{k=1}^n2\omega_k(f)\Delta x_k.
\end{multline*}
рПУМЕДОАА ЧЕМЙЮЙОХ НПЦОП УДЕМБФШ РТПЙЪЧПМШОП НБМПК ЪБ УЮЈФ ЧЩВПТБ
ДПУФБФПЮОП НЕМЛПЗП ТБЪВЙЕОЙС Ч УЙМХ РЕТЧПЗП ЛТЙФЕТЙС ЙОФЕЗТЙХЕНПУФЙ.
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ \vic.

\subsection*{дПВБЧМЕОЙЕ 1. уРТСНМСЕНБС ЛТЙЧБС Й ЕЈ ДМЙОБ}

мПНБОБС $L$ ЬФП ФБЛБС РБТБНЕФТЙЪПЧБООБС ЛТЙЧБС 
$\vec r_L=\vec r_L(t)$, $t\in[a;b]$, ДМС ЛПФПТПК УХЭЕУФЧХЕФ  ТБЪВЙЕОЙЕ 
\(\tau=\{a=t_0<t_1<\dots<t_n=b\}\), ОБ ЛБЦДПН ЙОФЕТЧБМЕ
$\Delta_k=[t_{k-1};t_k]$ ЛПФПТПЗП $\vec r_L(t)$ СЧМСЕФУС ПФТЕЪЛПН 
РТСНПК\footnote{ф.~Е. ЙНЕЕФ ЧЙД $\vec r(t)=\vec a+\vec b\cdot t$, 
$t\in[t_{k-1};t_k]$ РТЙ ОЕЛПФПТЩИ $\vec a$ Й $\vec b$.}. 
фПЮЛЙ \(A_k=\vec r_L(t_k)\)~--- ЧЕТЫЙОЩ МПНБОПК.

дМЙОПК МПНБОПК $\ell(L)$ ОБЪЩЧБАФ УХННХ ДМЙО ЕЈ 
``ЪЧЕОШЕЧ'':
\[
\ell(L)=|\overline{A_0A_1}|+|\overline{A_1A_2}|+\dots+
|\overline{A_{n-1}A_n}|=\sum_{k=1}^n\big|\vec r(t_k)-\vec r(t_{k-1})\big|
\]
(ДМЙОБ ПФТЕЪЛБ РТСНПК ПФ ФПЮЛЙ $A_{k-1}=\vec r(t_{k-1})$ ДП ФПЮЛЙ 
$A_k=\vec r(t_k)$ ТБЧОБ ТБУУФПСОЙА НЕЦДХ ЬФЙНЙ ФПЮЛБНЙ
\(\big|\vec r(t_k)-\vec r(t_{k-1})\big|\)).  

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} зПЧПТСФ, ЮФП МПНБОБС $L$ \tit{ЧРЙУБОБ Ч ЛТЙЧХА} 
\(\vec r=\vec r(t)\), $t\in[\alpha;\beta]$, ЕУМЙ ЧУЕ ЕЈ ЧЕТЫЙОЩ МЕЦБФ
ОБ ЛТЙЧПК, РТЙЮЈН ЕУМЙ ЪОБЮЕОЙЕ \(t_k\) РБТБНЕФТЙЪПЧБООПК ЛТЙЧПК
УППФЧЕФУФЧХЕФ ЧЕТЫЙОЕ МПНБОПК \(A_k\), ФП \(t_{k-1}<t_k\).
\begin{quotation}\footnotesize
у ЙОФХЙФЙЧОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС \tit{\tbf{ПТЙЕОФБГЙЕК}} РБТБНЕФТЙЪПЧБООПК ЛТЙЧПК 
ОБЪЩЧБАФ <<ОБРТБЧМЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС>> ЧДПМШ ФТБЕЛФПТЙЙ ЬФПК ЛТЙЧПК.
х ЧРЙУБООПК МПНБОПК ЧЕТЫЙОЩ ДПМЦОЩ ВЩФШ ТБУРПМПЦЕОЩ ОБ ЛТЙЧПК 
<<Ч УППФЧЕФУФЧЙЙ У ЕЈ ПТЙЕОФБГЙЕК>>: РТЙ РЕТЕНЕЭЕОЙЙ ПФ ПДОПК ЧЕТЫЙОЩ
Л УМЕДХАЭЕК, НЩ ОЕ ДПМЦОЩ <<ЧПЪЧТБЭБФШУС ОБЪБД>> ЧДПМШ ЛТЙЧПК.
\end{quotation}

фБЛЙН ПВТБЪПН, МПНБОБС ОБ ТЙУ.~1 СЧМСЕФУС ЧРЙУБООПК, Б ОБ ТЙУ.~2 ОЕФ.

\includegraphics{curve.2}\hfill
\includegraphics{curve.3}
\makebox[11.5cm]{тЙУ.~1.\hskip 5cm тЙУ.~2.}
\medskip

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.} рБТБНЕФТЙЪПЧБООБС ЛТЙЧБС \(\vec r=\vec r(t)\), $t\in[a;b]$,
ОБЪЩЧБЕФУС \tit{УРТСНМСЕНПК}, ЕУМЙ  НОПЦЕУФЧП ДМЙО ЧРЙУБООЩИ
Ч ЬФХ ЛТЙЧХА МПНБОЩИ, ПЗТБОЙЮЕОП УЧЕТИХ. й Ч ЬФПН УМХЮБЕ
ФПЮОХА ЧЕТИОАА ЗТБОШ ЬФПЗП НОПЦЕУФЧБ $\ell$ ОБЪЩЧБАФ
ДМЙОПК ДБООПК ЛТЙЧПК:
\[
\ell=\sup\Big\{\ell(L): L\text{--- ЧРЙУБОБ Ч ЛТЙЧХА }\vec r=\vec r(t)\Big\}.
\]

%рТЙНЕТ ОЕУРТСНМСЕНПК ЛТЙЧПК?

еУМЙ ЛТЙЧБС \(\vec r(t)\), \(t\in [a,b]\) УРТСНМСЕНБ, ФП
ДМС МАВПЗП \(\uptau\in[a;b]\) УРТСНМСЕНБ ЕЈ ЮБУФШ, УППФЧЕФУФЧХАЭБС
ЙЪНЕОЕОЙА РБТБНЕФТБ ПФ \(a\) ДП \(\uptau\),
РПЬФПНХ НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ ЖХОЛГЙА, УПРПУФБЧМСАЭХА ЛБЦДПНХ \(\uptau\)
ЙЪ \([a;b]\) ДМЙОХ ДХЗЙ  ЛТЙЧПК ПФ ФПЮЛЙ \(\vec r(a)\)  ДП ФПЮЛЙ 
\(\vec r(\uptau)\):
\[
\uptau\mapsto s(\uptau).
\] 
ьФБ (ПВЩЮОБС ЮЙУМПЧБС) ЖХОЛГЙС ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ДМЙОПК ДХЗЙ ЛТЙЧПК} $\vec r(t)$.

\teo{фЕПТЕНБ} (П ДМЙОЕ ДХЗЙ ЛТЙЧПК). \begin{itshape}
еУМЙ РБТБНЕФТЙЪПЧБООБС ЛТЙЧБС \(\vec r=\vec r(t)\)
ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБ ОБ $[a;b]$ Й ЕЈ РТПЙЪЧПДОБС \(\vec r{\,}'(t)\) ПЗТБОЙЮЕОБ: 
\[
\exists M:\quad|\vec r{\,}'(t)|\leq M,
\]
ФП

\tup{1)} ЛТЙЧБС \(\vec r=\vec r(t)\) УРТСНМСЕНБ ОБ $[a;b]$; 

\tup{2)} Ч УМХЮБЕ ОЕРТЕТЩЧОПУФЙ РТПЙЪЧПДОПК $\vec r{\,}'(t)$
ДМЙОБ ДХЗЙ РБТБНЕФТЙЪПЧБООПК ЛТЙЧПК \(\vec r=\vec r(t)\)~--- ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБС 
ЖХОЛГЙС, ДЙЖЖЕТЕОГЙБМ ЛПФПТПК ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ
\[
ds=|\vec r{\,}'(t)|\,dt
\]
ЙМЙ Ч ЛППТДЙОБФБИ \tup(ЛПЗДБ 
\(\vec r(t)=x(t)\vec\imath+y(t)\vec\jmath+z(t)\vec\kappa\)\tup)
\[
ds=\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\, dt.
\]
\end{itshape}

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П. 1) рХУФШ $\uptau=\{a{=}t_0<t_1<\dots<t_n{=}b\}$~---
РТПЙЪЧПМШОПЕ ТБЪВЙЕОЙЕ ПФТЕЪЛБ $[a;b]$. пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ \(P_k=\vec r(t_k)\).
фПЗДБ МПНБОБС $L$, ЧРЙУБООБС Ч ЛТЙЧХА $\vec r(t)$ У ЧЕТЫЙОБНЙ Ч ФПЮЛБИ
\(P_k\), ПЮЕЧЙДОП, ВХДЕФ ЙНЕФШ ДМЙОХ ТБЧОХА
\[
\ell(L)=|\overline{P_0P_1}|+|\overline{P_1P_2}|+\dots+|\overline{P_{n-1}P_n}|=
\sum_{k=1}^n|\vec r(t_k)-\vec r(t_{k-1})|.
\]
пГЕОЙН УМБЗБЕНПЕ \(|\vec r(t_k)-\vec r(t_{k-1})|\) РП ФЕПТЕНЕ мБЗТБОЦБ
(ПЮЕЧЙДОП, Ч ОБЫЕН УМХЮБЕ ЧУЕ ЕЈ ХУМПЧЙС ЧЩРПМОЕОЩ):
\[
|\vec r(t_k)-\vec r(t_{k-1})|\leq|\vec r{\,}'(\xi)|(t_k-t_{k-1})\leq
M(t_k-t_{k-1}).
\]
пФУАДБ
\[
\ell(L)=\sum_{k=1}^n|\vec r(t_k)-\vec r(t_{k-1})|\leq\sum_{k=1}^n
M(t_k-t_{k-1})=M(b-a).
\]
чЙДЙН, ЮФП ДМЙОЩ ЧРЙУБООЩИ МПНБОЩИ ПЗТБОЙЮЕОЩ УЧЕТИХ, Ф.~Е. ЛТЙЧБС
УРТСНМСЕНБ.

дПЛБЦЕН 2). дМС ЬФПЗП ОБ РТПНЕЦХФЛЕ $\Delta=[t;t+\Delta t]$ НПЦЕН ОБРЙУБФШ
ПГЕОЛХ
\[
|\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)|\leq s(t+\Delta t)-s(t)\leq
\sup_{t\in\Delta}|\vec r{\,}'(t)|\Delta t.
\]
(РЕТЧПЕ ОЕТБЧЕОУФЧП Ч УЙМХ ФПЗП, ЮФП ДМЙОБ РТСНПК, ЛПТПЮЕ ДМЙОЩ
МАВПК ЛТЙЧПК, ЧФПТПЕ РП ФЕПТЕНЕ мБЗТБОЦБ). рПДЕМЙЧ ОБ $\Delta t$
Й РЕТЕКДС Л РТЕДЕМХ РТЙ $\Delta t\to 0$, РПМХЮЙН
\[
|\vec r{\,}'(t)|\leq s'(t)\leq|\vec r{\,}'(t)| 
\]
пФЛХДБ УМЕДХЕФ ФТЕВХЕНПЕ ЪБЛМАЮЕОЙЕ.

фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ \vic.
\newpage

\subsection*{дПВБЧМЕОЙЕ 2. чЩЮЙУМЕОЙЕ РМПЭБДЙ РПЧЕТИОПУФЙ\\ 
ЛПОХУБ Й ХУЕЮЈООПЗП ЛПОХУБ}

\begin{wrapfigure}{l}{6.5cm}
\includegraphics{conus.1}
\includegraphics{pic_lec14.4}
\end{wrapfigure}

рХУФШ \(K\)~--- РТСНПК ЛТХЗПЧПК ЛПОХУ. 
еУМЙ <<ТБЪТЕЪБФШ>> ЕЗП РП ПВТБЪХАЭЕК \(l\), ФП, ПЮЕЧЙДОП,
ЕЗП РПЧЕТИОПУФШ <<ТБЪЧЕТОЈФУС>> Ч ЛТХЗПЧПК УЕЛФПТ ТБДЙХУБ
\(l\) У ХЗМПН ТБУФЧПТБ \(2\pi\frac Rl\) (Ф.~Л. ДХЗБ ДМЙОЩ \(2\pi R\) 
УПУФБЧМСЕФ \(\frac Rl\) ЮБУФШ ПФ ЧУЕК ПЛТХЦОПУФЙ ДМЙОЩ \(2\pi l\)).
\begin{quote}\footnotesize
ч УБНПН ДЕМЕ, ЕУМЙ ЧЪСФШ РТПЙЪЧПМШОХА ФПЮЛХ \(x\) ОБ ПЛТХЦОПУФЙ
ПУОПЧБОЙС ЛПОХУБ, ФП ТБУУФПСОЙЕ ПФ ОЕЈ ДП ЧЕТЫЙОЩ ЛПОХУБ ТБЧОП \(l\),
РПЬФПНХ ОБ ТБЪЧЈТФЛЕ ПОБ РПРБДЈФ ОБ ДХЗХ ПЛТХЦОПУФЙ ТБДЙХУБ \(l\).
\end{quote}
рП ЖПТНХМЕ РМПЭБДЙ УЕЛФПТБ ЛТХЗБ\footnote{оБРПНОЙН, ЮФП РМПЭБДШ
УЕЛФПТБ У ХЗМПН ТБУФЧПТБ \(\alpha\) Ч ЛТХЗЕ ТБДЙХУБ \(l\) ЧЩЮЙУМСЕФУС
РП ЖПТНХМЕ \(S=\frac12\alpha l^2\), ФБЛ ЛБЛ УПУФБЧМСЕФ 
\(\frac{\alpha}{2\pi}\)
ЮБУФШ ПФ РМПЭБДЙ ЧУЕЗП ЛТХЗБ \(\pi l^2\).}
\[
S=\frac12\cdot 2\pi \frac Rl\cdot l^2=\pi Rl.
\]

\begin{quote}\footnotesize
пФНЕФЙН, ЮФП ЬФХ РМПЭБДШ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ Й У РПНПЭША ЖПТНХМЩ ЧЩЮЙУМЕОЙС
РМПЭБДЕК Ч РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ ЙЪ РТПЫМПК МЕЛГЙЙ:
\[
S=\frac12\int_0^{2\pi\frac Rl}l^2\,d\varphi=
\frac12l^2\varphi\Big|_0^{2\pi\frac{R}{l}}=
\frac12l^22\pi\frac Rl=\pi Rl.
\]
\end{quote}

\begin{wrapfigure}{l}{3cm}
\includegraphics{pic_lec14.3}
\end{wrapfigure}

рМПЭБДШ \(S_b\) ВПЛПЧПК РПЧЕТИОПУФЙ ХУЕЮЈООПЗП ЛПОХУБ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ЛБЛ
ТБЪОПУФШ РМПЭБДЕК РПЧЕТИОПУФЕК ЛПОХУПЧ У ПВТБЪХАЭЙНЙ, ЛПФПТЩЕ ОБИПДЙН
ЙЪ РПДПВЙС ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ
\[
\tfrac{R-r}{l}=\tfrac{R}{L}=\tfrac{r}{L-l}\Rightarrow L=\tfrac{Rl}{R-r},\quad
L-l=\tfrac{rl}{R-r}.
\]
пФУАДБ РПМХЮБЕН,
\[
S_{b}=\pi RL-\pi r(L-l)=\pi R\tfrac{Rl}{R-r}-\pi r\tfrac{rl}{R-r}=
\pi\tfrac{(R^2-r^2)l}{R-r}=\pi(R+r)l.
\]

\end{document}