Лекции Клевчихина. 2 семестр.lec_2sem / lec17 / lec17

\documentclass[twoside]{article}
\usepackage{$HOME/sty/lec}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\tsc{а.б.~лМЕЧЮЙИЙО}}\\[.5cm]
\rule{9.7cm}{.3pt}
\vskip-9pt

\rule{9.7cm}{1pt}

\vskip 1cm

%{\LARGE\tbf{}}\\[2mm]
{\LARGE\tbf{нБФЕНБФЙЮЕУЛЙК БОБМЙЪ Ч $\R^N$}}\\[5mm]
{\Large\ttt{МЕЛГЙС 17 (10.04.2007)}}\\[5mm]
{\Large\ttt{пУОПЧОЩЕ ОЕТБЧЕОУФЧБ}}\\ 

\vfil
 
{\ovalbox{\hskip-4pt\rule[-10pt]{0pt}{27pt}
\Large$\frac{\D f}{\D x}$\hskip-3pt}}
\vfil

\large ч М Б Д Й Ч П У Ф П Л\\
2007
\end{center}
\pagebreak

\pagestyle{headings}
\markboth{\hrulefill
лМЕЧЮЙИЙО а.б
}{ \hrulefill}


\section*{мЕЛГЙС 17} 

нЩ ДПЛБЦЕН ЪДЕУШ ПУОПЧОЩЕ ОЕТБЧЕОУФЧБ, ЛПФПТЩЕ ВХДХФ ЧУФТЕЮБФШУС ПЮЕОШ ЮБУФП
Й ОЕ ФПМШЛП Ч ЛХТУЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП БОБМЙЪБ Й ЧЧЕДЈН ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ
РПОСФЙС Ч РТПУФТБОУФЧЕ $\R^N$.  

\subsection*{оЕТБЧЕОУФЧП аОЗБ} 

\teo{фЕПТЕНБ.} \begin{itshape} 
рХУФШ ЮЙУМБ $a,b>0$, Й $p,q>1$ УЧСЪБОЩ УППФОПЫЕОЙЕН $\frac 1p+\frac 1q=1$.  
фПЗДБ УРТБЧЕДМЙЧП ОЕТБЧЕОУФЧП 
\[
ab\leq\frac{a^p}p+\frac{b^q}q.
\]
рТЙ ЬФПН ТБЧЕОУФЧП ЙНЕЕФ НЕУФП ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ 
\[
a^p=b^q. 
\]
\end{itshape}

\begin{wrapfigure}[6]{l}{4cm}
\vskip-1.6cm
\includegraphics{Yung.1}
\end{wrapfigure}

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  тБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙА $y=x^{p-1}$.  
дМС РТПЙЪЧПМШОЩИ $a>0$ Й $b>0$, ЛБЛ ЧЙДОП ЙЪ ТЙУХОЛБ\footnote{
дПЛБЪБФЕМШУФЧП ОЕ БРЕММЙТХАЭЕЕ Л ОБЗМСДОПУФЙ РТЙЧЕДЕОП Ч ЛПОГЕ МЕЛГЙЙ.}, 
ЙНЕЕФ НЕУФП ОЕТБЧЕОУФЧП 
\[
ab\leq S_a+S_b.  
\]
чЩЮЙУМЙН РМПЭБДЙ $S_a$ Й $S_b$: 
\[
S_a=\Int^a_0 x^{p-1}\,dx=\frac{x^p}p\bigg|_0^a=\frac{a^p}p.
\]

дМС ЧЩЮЙУМЕОЙС РМПЭБДЙ $S_b$ ЧЩТБЪЙН \(x\) ЮЕТЕЪ \(y\): $x=y^{\frac 1{p-1}}$.
пФЛХДБ, ЪБНЕФЙЧ, ЮФП $\frac1{p-1}+1=\frac p{p-1}=\frac 1{1-\frac 1p}=q$, 
РПМХЮБЕН 
\[
S_b=\Int^b_0 y^{\frac 1{p-1}}dy=\frac{y^{\frac1{p-1}+1}}{\frac 1{p-1}+ 1}
\bigg|_0^b = \frac{b^q}q.
\]
ьФП ДПЛБЪЩЧБЕФ ОХЦОПЕ ОЕТБЧЕОУФЧП.  

мЕЗЛП ЧЙДЕФШ (УН. ЛБТФЙОЛХ), ТБЧЕОУФЧП ЙНЕЕФ
НЕУФП ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ $b=a^{p-1}$ ЙМЙ $
b^q=a^{q(p-1)}=a^{qp(1-\frac 1p)}=a^{qp\frac1q}=a^p$. 

юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.  


\subsection*{оЕТБЧЕОУФЧБ зЈМШДЕТБ} 

ъДЕУШ НЩ ДПЛБЦЕН ДЧБ ОЕТБЧЕОУФЧБ: <<ДМС УХНН>> Й <<ДМС ЙОФЕЗТБМПЧ>>.  

\teo{фЕПТЕНБ} (оЕТБЧЕОУФЧП зЈМШДЕТБ ДМС УХНН). \begin{itshape}
рХУФШ ЮЙУМБ $a_k\geq0$ Й $b_k\geq0$ ДМС МАВЩИ $1\leq k\leq N$.
рТЙ $p,q>1$ Й ФБЛЙИ, ЮФП $\frac1p+\frac1q=1$ ЙНЕЕФ НЕУФП ОЕТБЧЕОУФЧП 
\end{itshape}
\[
\Sum_{k=1}^Na_kb_k\leq\Bigg(\Sum_{k=1}^Na_k^p\Bigg)^{\frac1p}
\Bigg(\Sum_{k=1}^Nb_k^q\Bigg)^{\frac1q}
\]
д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  рТЙНЕОЙН ОЕТБЧЕОУФЧП аОЗБ Л ЮЙУМБН 
\(a=\frac{a_k}{\bigg(\Sum_{k=1}^Na_k^p\bigg)^{\frac1p}}\) 
Й \(b=\frac{b_k}{\bigg(\Sum_{k=1}^Nb_k^q\bigg)^{\frac1q}}\):
\[
\frac{a_k}{\bigg(\Sum_{k=1}^Na_k^p\bigg)^{\frac1p}}\cdot
\frac{b_k}{\bigg(\Sum_{k=1}^Nb_k^q\bigg)^{\frac1q}}=ab\leq
\frac{a^p}p+\frac{b^q}q=\frac1p\cdot
\frac{a_k^p}{\Sum_{k=1}^Na_k^p}+\frac1q
\frac{b_k^q}{\Sum_{k=1}^Nb_k^q}.
\]
уХННЙТХС ЬФЙ ОЕТБЧЕОУФЧБ РП $k$ ПФ $1$ ДП $N$, РПМХЮЙН 
\[
\frac{\Sum_{k=1}^Na_kb_k}{\bigg(\Sum_{k=1}^Na_k^p\bigg)^{\frac1p}
\bigg(\Sum_{k=1}^Nb_k^q\bigg)^{\frac1q}}\leq\frac1p\cdot
\frac{\Sum_{k=1}^Na_k^p}{\Sum_{k=1}^Na_k^p}+\frac1q\cdot
\frac{\Sum_{k=1}^Nb_k^q}{\Sum_{k=1}^Nb_k^q}=\frac1p+\frac1q=1.
\]
ПФЛХДБ Й УМЕДХЕФ ФТЕВХЕНПЕ ОЕТБЧЕОУФЧП.  

\teo{фЕПТЕНБ} (оЕТБЧЕОУФЧП зЈМШДЕТБ ДМС ЙОФЕЗТБМПЧ).\begin{itshape}
рХУФШ ДМС МАВЩИ $x\in[a;b]$ ЖХОЛГЙЙ $f(x)\geq0$ Й $g(x)\geq0$ ЙОФЕЗТЙТХЕНЩ РП
тЙНБОХ.  рТЙ $p, q > 1$ Й ФБЛЙИ, ЮФП $\frac1p +\frac1q=1$ ЙНЕЕФ НЕУФП 
ОЕТБЧЕОУФЧП
\end{itshape}
\[
\Int_a^bf(x)g(x)\,dx\leq\Bigg(\Int_a^b[f(x)]^p\Bigg)^{\frac1p}
\Bigg(\Int_a^b[g(x)]^q\Bigg)^{\frac1q}
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  рТЙНЕОЙН ОЕТБЧЕОУФЧП аОЗБ Л ЮЙУМБН 
$a=\dfrac{f(x)}{\Big(\int_a^b[f(x)]^p\, dx\Big)^{\frac1p}}$ Й 
$b=\dfrac{g(x)}{\Big(\int_a^b[g(x)]^q\, dx\Big)^{\frac1q}}$: 
\begin{multline*}
\frac{f(x)}{\Big(\int_a^b[f(x)]^p\, dx\Big)^{\frac1p}}\cdot
\frac{g(x)}{\Big(\int_a^b[g(x)]^q\, dx\Big)^{\frac1q}}=ab\leq\\ \leq
\frac{a^p}p+\frac{b^q}q=\frac1p\cdot\frac{[f(x)]^p}{\int_a^b[f(x)]^p\,dx}+
\frac1q\cdot\frac{[g(x)]^q}{\int_a^b[g(x)]^q\,dx}.
\end{multline*}
йОФЕЗТЙТХС ЬФЙ ОЕТБЧЕОУФЧБ РП $x$ ПФ $a$ ДП $b$, РПМХЮЙН 
\begin{multline*}
\frac{\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\Big(\int_a^b[f(x)]^p\, dx\Big)^{\frac1p}
\Big(\int_a^b[g(x)]^q\, dx\Big)^{\frac1q}}\leq\\ \leq
\frac1p\cdot
\frac{\int_a^b[f(x)]^p\,dx}{\int_a^b[f(x)]^p\, dx}+
\frac1q\cdot
\frac{\int_a^b[g(x)]^q\,dx}{\int_a^b[g(x)]^q\, dx}=
\frac1p+\frac1q=1.
\end{multline*}

пФЛХДБ Й УМЕДХЕФ ФТЕВХЕНПЕ ОЕТБЧЕОУФЧП.

\subsection*{оЕТБЧЕОУФЧБ нЙОЛПЧУЛПЗП}

лБЛ Й ОЕТБЧЕОУФЧБ зЈМШДЕТБ, ЙНЕАФУС ОЕТБЧЕОУФЧБ нЙОЛПЧУЛПЗП 
ДМС УХНН Й ЙОФЕЗТБМПЧ.  

\teo{фЕПТЕНБ.} (оЕТБЧЕОУФЧП нЙОЛПЧУЛПЗП ДМС УХНН). \begin{itshape}
рХУФШ ЮЙУМБ $a_k\geq 0$ Й $b_k\geq 0$ ДМС МАВЩИ $1\leq k\leq N$.  
рТЙ $p\geq 1$ ЙНЕЕФ НЕУФП ОЕТБЧЕОУФЧП 
\end{itshape}
\[
\Bigg[\sum_{k=1}^N(a_k+b_k)^p\Bigg]^{\frac1p}\leq
\Bigg[\sum_{k=1}^Na_k^p\Bigg]^{\frac1p}+
\Bigg[\sum_{k=1}^Nb_k^p\Bigg]^{\frac1p}.
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  йНЕЕН 
\begin{gather*}
\sum_{k=1}^N(a_k+b_k)^p=\sum_{k=1}^N(a_k+b_k)(a_k+b_k)^{p-1}=\\=
\sum_{k=1}^Na_k(a_k+b_k)^{p-1}+\sum_{k=1}^Nb_k(a_k+b_k)^{p-1}.
\end{gather*}
рТЙНЕОЙН Л ЛБЦДПК ЙЪ РПМХЮЕООЩИ ДЧХИ УХНН ОЕТБЧЕОУФЧП зЈМШДЕТБ, 
РПМХЮЙН (ХЮЙФЩЧБЕН, ЮФП Ч УЙМХ ТБЧЕОУФЧБ 
$\frac1p+\frac1q=1$, ЙНЕЕН \linebreak
$q(p-1)=qp\big(1-\frac1p\big)=qp\cdot\frac1q=p)$
\begin{gather*}
\sum_{k=1}^N(a_k+b_k)^p=
\sum_{k=1}^Na_k(a_k+b_k)^{p-1}+\sum_{k=1}^Nb_k(a_k+b_k)^{p-1}\leq\\ {\leq}
\Bigg[\sum_{k=1}^Na_k^p\Bigg]^{\frac1p}
\Bigg[\sum_{k=1}^Nb_k(a_k{+}b_k)^{(p-1)q}\Bigg]^{\frac1q}\hskip-8pt+\hskip-2pt
\Bigg[\sum_{k=1}^Nb_k^p\Bigg]^{\frac1p}
\Bigg[\sum_{k=1}^Nb_k(a_k{+}b_k)^{(p-1)q}\Bigg]^{\frac1q}=\\=
\Big(\Bigg[\sum_{k=1}^Na_k^p\Bigg]^{\frac1p}+
\Bigg[\sum_{k=1}^Nb_k^p\Bigg]^{\frac1p}\Bigg)
\Bigg[\sum_{k=1}^Nb_k(a_k+b_k)^p\Bigg]^{\frac1q}.
\end{gather*}
уТБЧОЙЧБС ОБЮБМП Й ЛПОЕГ, РПМХЮБЕН ФТЕВХЕНПЕ 
\[
\Bigg[\sum_{k=1}^Nb_k(a_k+b_k)^p\Bigg]^{1-\frac1q=\frac1p}\leq
\Bigg[\sum_{k=1}^Na_k^p\Bigg]^{\frac1p}+
\Bigg[\sum_{k=1}^Nb_k^p\Bigg]^{\frac1p}.
\]

\teo{фЕПТЕНБ.} (оЕТБЧЕОУФЧП нЙОЛПЧУЛПЗП ДМС ЙОФЕЗТБМПЧ). \begin{itshape}
рХУФШ ДМС МАВЩИ $x\in[a;b]$ ЖХОЛГЙЙ $f(x)\geq 0$ Й $g(x)\geq 0$ 
ЙОФЕЗТЙТХЕНЩ РП тЙНБОХ.  рТЙ $p\geq 1$ ЙНЕЕФ НЕУФП ОЕТБЧЕОУФЧП
\end{itshape}
\[
\Bigg(\Int_a^b\big[f(x)+g(x)\big]^p\,dx\Bigg)^{\frac1p}\leq
\Bigg(\Int_a^b\big[f(x)\big]^p\,dx\Bigg)^{\frac1p}
\Bigg(\Int_a^b\big[g(x)\big]^p\,dx\Bigg)^{\frac1p}
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  рПЧФПТСЕФ ДПЛБЪБФЕМШУФЧП ДМС УХНН: 
\begin{gather*}
\Int_a^b\big[f(x)+g(x)\big]^p\,dx=
\Int_a^b\big[f(x)+g(x)\big]\big[f(x)+g(x)\big]^{p-1}\,dx=\\=
\Int_a^bf(x)\big[f(x)+g(x)\big]^{p-1}\,dx
\Int_a^bg(x)\big[f(x)+g(x)\big]^{p-1}\,dx\leq\\
\intertext{(рТЙНЕОСЕН Л ПВПЙН ЙОФЕЗТБМБН ОЕТБЧЕОУФЧП зЈМШДЕТБ)} 
\leq\Bigg(\Int_a^b\big[f(x)\big]^p\,dx\Bigg)^{\frac1p}
\Bigg(\Int_a^b\big[f(x)+g(x)\big]^{q(p-1)}\,dx\Bigg)^{\frac1q}+\\
+\Bigg(\Int_a^b\big[g(x)\big]^p\,dx\Bigg)^{\frac1p}
\Bigg(\Int_a^b\big[f(x)+g(x)\big]^{q(p-1)}\,dx\Bigg)^{\frac1q}=\\=
\Bigg[\Bigg(\Int_a^b\big[f(x)\big]^p\,dx\Bigg)^{\frac1p}+
\Bigg(\Int_a^b\big[g(x)\big]^p\,dx\Bigg)^{\frac1p}\Bigg]
\Bigg(\Int_a^b\big[f(x)+g(x)\big]^p\,dx\Bigg)^{\frac1q}.
\end{gather*}
уТБЧОЙЧБС ОБЮБМП Й ЛПОЕГ, РПМХЮЙН ФТЕВХЕНПЕ.  



\subsection*{оПТНЙТПЧБООПЕ РТПУФТБОУФЧП $\R^N$} 

\teo{пРТЕДЕМЕОЙЕ.}  рТЙ $p\geq 1$ ДМС ЧЕЛФПТБ 
$x=(x^1,x^2,\dots,x^N)\in\R^N$ РП ПРТЕДЕМЕОЙА РПМПЦЙН 
\[
\|x\|_p=\Bigg[\sum_{k=1}^N|x^k|^p\Bigg]^{\frac1p}.
\]

\teo{фЕПТЕНБ.} \begin{itshape} 
рТЙ МАВПН $p\geq 1$ ЖХОЛГЙС $x\mapsto\|x\|_p$ СЧМСЕФУС ОПТНПК ОБ ЧЕЛФПТОПН
РТПУФТБОУФЧЕ $\R^N$ Ф.~Е.  ПВМБДБЕФ УЧПКУФЧБНЙ: 
\end{itshape}
\begin{itemize}
\item[1)] \(\forall x\in\R^N\quad \|x\|_p\geq 0\) \tit Й 
\(\|x\|_p=0\Leftrightarrow x=\theta\) (\tit{РПМПЦЙФЕМШОПУФШ Й ОЕЧЩТПЦДЕООПУФШ});  

\item[2)] \(\forall x\in\R^N\ \forall\alpha\in\R \quad 
\|\alpha x\|_p=|\alpha|\cdot\|x\|_p\) (\tit{РПМПЦЙФЕМШОБС ПДОПТПДОПУФШ});  

\item[3)] \(\forall x,y\in\R\quad\|x+y\|_p\leq\|x\|_p+\|y\|_p\) 
(\tit{ОЕТБЧЕОУФЧП ФТЕХЗПМШОЙЛБ}).
\end{itemize}

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  рЕТЧЩЕ ДЧБ УЧПКУФЧБ ОПТНЩ ПЮЕЧЙДОЩ 
ЙЪ ЕЈ ПРТЕДЕМЕОЙС.  фТЕФШЕ (ОЕТБЧЕОУФЧП ФТЕХЗПМШОЙЛБ) ЧЩФЕЛБЕФ ЙЪ 
ОЕТБЧЕОУФЧБ нЙОЛПЧУЛПЗП 
\begin{multline*}
\|x+y\|_p=\Bigg[\sum_{k=1}^N|x^k+y^k|^p\Bigg]^{\frac1p}\leq
\Bigg[\sum_{k=1}^N\big(|x^k|+|y^k|\big)^p\Bigg]^{\frac1p}\leq\\ \leq
\Bigg[\sum_{k=1}^N|x^k|^p\Bigg]^{\frac1p}
\Bigg[\sum_{k=1}^N|y^k|^p\Bigg]^{\frac1p}=\|x\|_p+\|y\|_p.
\end{multline*}

\teo{ъБНЕЮБОЙЕ.}  дМС (МАВПК) ОПТНЩ $\|\cdot\|$ УРТБЧЕДМЙЧП 
<<\tit{\tbf{ПВТБФОПЕ ОЕТБЧЕОУФЧП ФТЕХЗПМШОЙЛБ}}>>: 
\[
\|x\pm y\|\geq \Big|\|x\|-\|y\|\Big|.
\]

д П Л Б Ъ Б Ф Е М Ш У Ф Ч П.  йУРПМШЪХС ОЕТБЧЕОУФЧП ФТЕХЗПМШОЙЛБ 
НПЦЕН ОБРЙУБФШ 
\[
\|x\|=\|(x-y)+y\|\leq\|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x-y\|\geq\|x\|-\|y\|.
\]
й, БОБМПЗЙЮОП, 
\[
\|y\|=\|(y-x)+x\|\leq\|x-y\|+\|x\|\Rightarrow \|x-y\|\geq\|y\|-\|x\|.
\]
ьФЙ ДЧБ ОЕТБЧЕОУФЧБ ТБЧОПУЙМШОЩ ПДОПНХ: 
\[
\begin{cases}\|x-y\|\geq\|x\|-\|y\|&\\
\|x-y\|\geq\|y\|-\|x\|&\end{cases}\Leftrightarrow
\|x-y\|\geq\Big|\|x\|-\|y\|\Big|.
\]
юФП Й ФТЕВПЧБМПУШ ДПЛБЪБФШ.  

нПЦОП ДПЛБЪБФШ\footnote{ъБДБЮБ ОБ ДПРПМОЙФЕМШОЩЕ ВБММЩ ЪБ ЛПММПЛЧЙХН.}, 
ЮФП Ч РТПУФТБОУФЧЕ $\R^N$ ЧУЕ ОПТНЩ (Ч ЮБУФОПУФЙ, 
$\|\cdot\|_p$) ЬЛЧЙЧБМЕОФОЩ, Ф.~Е. РПТПЦДБАФ ПДОХ Й ФХ ЦЕ ФПРПМПЗЙА.  
рПЬФПНХ ДМС ВПМШЫЙОУФЧБ ЧПРТПУПЧ БОБМЙЪБ ВЕЪТБЪМЙЮОП ЛБЛХА ЙЪ ОПТН 
ЙУРПМШЪПЧБФШ.  нЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ РТПУФТБОУФЧП $\R^N$ ОБДЕМЈООЩН ОПТНПК 
\[
\|x\|=\|x\|_2=\sqrt{\sum_{k=1}^N|x^k|^2}=
\sqrt{|x^1|^2+|x^2|^2+\dots+|x^N|^2},
\]
РПУЛПМШЛХ ПОБ ЙНЕЕФ РТПУФПК ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙК УНЩУМ: \(\|x\|_2\)~--- ЬФП 
ПВЩЮОПЕ (ЬЧЛМЙДПЧП) ТБУУФПСОЙЕ ПФ ОХМС ДП ФПЮЛЙ $x$ (ЙМЙ, ЮФП ФП ЦЕ УБНПЕ, 
ЬЧЛМЙДПЧБ ДМЙОБ ЧЕЛФПТБ $x$).  


\teo{ъБДБЮЙ} (ОБ ДПРПМОЙФЕМШОЩЕ ВБММЩ ЪБ ЛПММПЛЧЙХН).  1) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП 
\[
\lim_{p\to\infty}\Bigg[\sum_{k=1}^N|x^k|^p\Bigg]^{\frac1p}=
\max_{1\leq k\leq N}|x_k|.
\]
чУМЕДУФЧЙЕ ЬФПЗП ЖБЛФБ ЧЧПДСФ ПВПЪОБЮЕОЙЕ 
\(\|x\|_{\infty}=\Max_{1\leq k\leq N}|x_k|\).  

2) оБЪПЧЈН \tit{ПФЛТЩФЩН} (УППФЧ.  \tit{ЪБНЛОХФЩН}) \tit{ЫБТПН} ТБДЙХУБ
\(\eps>0\) У ГЕОФТПН Ч ФПЮЛЕ \(x_0=(x_0^1,\dots,x_0^N)\) ДМС (РТПЙЪЧПМШОПК)
ОПТНЩ \(\|\cdot\|\) НОПЦЕУФЧП 
\[
U_{\eps}(x_0)=\{x:\|x-x_0\|<\eps\}\quad  (\text{УППФЧ.}\quad  
\overline U_{\eps}(x_0)=\{x:\|x-x_0\|\leq\eps\}). 
\]
йЪПВТБЪЙФЕ ОБ РМПУЛПУФЙ\footnote{лБТФЙОЛЙ ДПМЦОЩ ВЩФШ УДЕМБОЩ Ч 
\ttt{Metapost}'Е.} (Ф.~Е.  РТЙ $N = 2$) ЫБТЩ У ГЕОФТПН Ч ОХМЕ 
ТБДЙХУБ 1 ДМС ОПТН $\|\cdot\|_p$ РТЙ ТБЪМЙЮОЩИ \(1\leq p\leq\infty\).

3) рХУФШ $\overline U_1(\theta)$~--- ЪБНЛОХФЩК  ЕДЙОЙЮОЩК ЫБТ Ч 
РТПУФТБОУФЧЕ $\R^N$ ДМС ОПТНЩ \(\|\cdot\|\).  рПЛБЦЙФЕ, ЮФП 
\[
\forall x\in\R^N\quad\|x\|=\sup\big\{|\alpha|:\alpha x\in U_1(\theta)\big\},
\]
(Ф.~Е. ЪОБС ЕДЙОЙЮОЩК ЫБТ, НПЦОП ЧПУУФБОПЧЙФШ ОПТНХ). 

4) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЪБНЛОХФЩК ЫБТ 
$\overline U_{\eps}(x_0)=\{x:\|x-x_0\|\leq\eps\}$  
СЧМСЕФУС ЧЩРХЛМЩН НОПЦЕУФЧПН.

5) нОПЦЕУФЧП $U$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ХТБЧОПЧЕЫЕООЩН}, ЕУМЙ 
\[
\forall x\in U\ \forall\alpha\quad |\alpha|<1\Rightarrow \alpha x\in U.
\]

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЪБНЛОХФЩК ЫБТ У ГЕОФТПН Ч ОХМЕ 
$\overline U_{\eps}(\theta)=\{x:\|x\|\leq\eps\}$ 
СЧМСЕФУС ХТБЧОПЧЕЫЕООЩН НОПЦЕУФЧПН.  

6) нОПЦЕУФЧП $U$ ОБЪЩЧБЕФУС РПЗМПЭБАЭЙН, ЕУМЙ ДМС МАВПЗП $x$ 
ОБКДЈФУС ФБЛПЕ ЮЙУМП $\alpha$, ЮФП $\frac1{\alpha}x\in U$.

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЪБНЛОХФЩК ЫБТ У ГЕОФТПН Ч ОХМЕ  
$\overline U_{\eps}(\theta)=\{x:\|x\|\leq\eps\}$ 
СЧМСЕФУС РПЗМПЭБАЭЙН НОПЦЕУФЧПН.  

7) нОПЦЕУФЧП $U$ ОБЪЩЧБЕФУС \tit{ВПЮЛПК},
ЕУМЙ ПОП ЪБНЛОХФПЕ, ЧЩРХЛМПЕ, ХТБЧОПЧЕЫЕООПЕ Й РПЗМПЭБАЭЕЕ.  

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЕУМЙ $U$~--- ВПЮЛБ Ч ЧЕЛФПТОПН РТПУФТБОУФЧЕ $E$, 
ФП ЖХОЛГЙС  
\[
x\mapsto\sup\big\{|\alpha|:\alpha x\in U\big\}
\]
СЧМСЕФУС ОПТНПК ОБ ЧЕЛФПТОПН РТПУФТБОУФЧЕ $E$.  

8) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП $\|f\|_p=\Big(\int_a^b|f(x)|^p\,dx\Big)^{\frac1p}$
СЧМСЕФУС ОПТНПК ОБ РТПУФТБОУФЧЕ $C[a;b]$, ОП ОБ РТПУФТБОУФЧЕ 
$\Rim[a; b]$ ОПТНПК ОЕ СЧМСЕФУС (ЧУЕ ХУМПЧЙС ЧЩРПМОЕОЩ,
ЛТПНЕ ПДОПЗП: $\|f\|_p$ НПЦЕФ ВЩФШ ТБЧОБ ОХМА Й ДМС ОЕОХМЕЧПК ЖХОЛГЙЙ $f$). 

9) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП \(\|f\|_C=\sup_{x\in[a;b]}\big|f(x)\big|\) 
СЧМСЕФУС ОПТНПК ОБ РТПУФТБОУФЧЕ $C[a; b]$ Й ЮФП ПОБ ОЕ ЬЛЧЙЧБМЕОФОБ 
ОПТНЕ $\|f\|_p$.

10) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП Ч ЛПОЕЮОПНЕТОПН ЧЕЛФПТОПН РТПУФТБОУФЧЕ ЧУЕ ОПТНЩ
ЬЛЧЙЧБМЕОФОЩ.

\subsection*{дПВБЧМЕОЙЕ}

ъДЕУШ С РТЙЧПЦХ ЮЙУФП <<БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ>> ДПЛБЪБФЕМШУФЧП 
ОЕТБЧЕОУФЧБ аОЗБ, Ф.~Е. ОЕ УУЩМБАЭЕЕУС ОБ ОБЗМСДОПУФШ\footnote{
оБ НПК ЧЪЗМСД ПОП ОЙ ИХЦЕ ОЙ МХЮЫЕ РТЙЧЕДЈООПЗП Ч ОБЮБМЕ МЕЛГЙЙ,
ОП ОЕЛПФПТЩН ОЕ ОТБЧСФУС УУЩМЛЙ ОБ ОБЗМСДОПУФШ, ИПФС, ПЮЕЧЙДОП,
Ч ДБООПН УМХЮБЕ УУЩМЛБ ОБ ОБЗМСДОПУФШ --- ЬФП РТПУФП УПЛТБЭЕОЙЕ
ПЮЕЧЙДОЩИ, Б РПФПНХ ОЕ ОХЦОЩИ, РПСУОЕОЙК.}.
дМС ЬФПЗП ОБРПНОА, ЮФП ЖХОЛГЙС 
\(f\) ОБЪЩЧБЕФУС ЧЩРХЛМПК ОБ ПФТЕЪЛЕ \([a;b]\), ЕУМЙ
ДМС МАВЩИ \(x_1,x_2\in[a;b]\) Й ЧУЕИ \(t\in[0;1]\) ЙНЕЕФ
НЕУФП \tit{ОЕТБЧЕОУФЧП ЧЩРХЛМПУФЙ}
\[
f\big((1-t)x_1+tx_2\big)\leq(1-t)f(x_1)+tf(x_2).
\]
еУМЙ ОЕТБЧЕОУФЧП УФТПЗПЕ РТЙ \(t\in(0;1)\), ФП ЗПЧПТСФ, ЮФП
ЖХОЛГЙС \(f\) \tit{УФТПЗП ЧЩРХЛМБ}.
 
лБЛ НЩ ЧЩСУОЙМЙ Ч ЛПОГЕ РТПЫМПЗП УЕНЕУФТБ, ДПУФБФПЮОЩН
ХУМПЧЙЕН (УФТПЗПК) ЧЩРХЛМПУФЙ ЖХОЛГЙЙ СЧМСЕФУС (УФТПЗБС) 
\tit{РПМПЦЙФЕМШОПУФШ ЕЈ ЧФПТПК РТПЙЪЧПДОПК}.

тБУУНПФТЙН РПЛБЪБФЕМШОХА ЖХОЛГЙА \(f(x)=e^x\). 
еЈ ЧФПТБС РТПЙЪЧПДОБС \(f''(x)=e^x>0\)
ЧУАДХ ОБ ДЕКУФЧЙФЕМШОПК РТСНПК, Ф.~Е. \(f\) ЧУАДХ УФТПЗП ЧЩРХЛМБ. 
оЕТБЧЕОУФЧП ЧЩРХЛМПУФЙ ДМС ОЕЈ ЧЩЗМСДЙФ ФБЛ:
\[
e^{(1-t)x_1+tx_2}\leq(1-t)e^{x_1}+te^{x_2}.\tag{$\star$}
\]
чЩВЕТЕН \(t=\frac1q\), ФПЗДБ \((1-t)=\frac1p\).
чЪСЧ ЕЭЈ \(x_1=\ln a^p\), \(x_2=\ln b^q\) Й РПДУФБЧЙЧ
Ч ОЕТБЧЕОУФЧП $(\star)$ РПМХЮЙН ФТЕВХЕНПЕ ОЕТБЧЕОУФЧП аОЗБ:
\[
e^{\frac1p\ln a^p+\frac1q\ln b^q}=ab\leq
\tfrac1pe^{\ln a^p}+\tfrac1qe^{\ln b^q}=\tfrac{a^p}p+\tfrac{b^q}q.
\eqno{\text{\vic}}
\]





\end{document}