ТДП / ГИЛЬ_Касперов_Бобровский_ инж. и маш. графика / курс лекций ИМГ хим-техн лекция 6
.pdfЛекция 6.
Пересечение поверхностей: понятие линии пересечения; построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей; взаимное пересечение многогранников; пересечение поверхностей вращения с многогранниками; пересечение поверхностей вращения; особые случаи пересечения поверхностей (способ вспомогательных секущих концентрических сфер). Построение проекций геометрического тела со сквозными взаимно перпендикулярными отверстиями (двойное проницание поверхностей).
Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Надо иметь в виду, что проекции линий пересечения всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей. Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по отдельным точкам. При этом требуется выполнить условие взаимопринадлежности точек и поверхностей. Для чего необходимо и достаточно, чтобы эти точки принадлежали линиям, находящимся в заданных поверхностях и пересекающимся между собой. Точки пересечения таких линий будут общими для заданных поверхностей, т.е. точками их пересечения. Такие линии получаются при пересечении заданных поверхностей вспомогательными поверхностями или плоскостями-посредниками.
Пересечение многогранников
При пересечении гранных поверхностей в общем случае получается пространственная ломаная линия. Вершинами линий пересечения многогранников являются точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, а также ребер второго многогранника с гранями первого. Сторонами или звеньями линий пересечения являются отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников.
Линия пересечения гранных поверхностей представляет собой одну или несколько замкнутых ломаных линий и определяется с помощью вспомогательных секущих плоскостей двумя способами:
1.Находят линии пересечения граней одного тела с гранями другого, т.е. сводят задачу к нахождению линии пересечения двух плоскостей;
2.Находят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. При этом задача сводится к нахождению точек встречи прямой и плоскости.
Рассмотрим построение линии пересечения пирамиды и призмы (рис. 50). Нахождение точек 2, 4, 6, 8 очевидно т.к. они принадлежат ребрам. Точки 1, 3, 5, 7
найдены способом вспомогательных секущих плоскостей, используя плоскость проведенную параллельно основанию пирамиды. Полученные точки соединяются отрезками.
Пересечение многогранников и тел вращения
Для построения линии пересечения используются рассмотренные ранее способы построения линии пересечения криволинейной поверхности с плоскостями (гранями многогранника) и с прямыми (ребрами многогранника). Каждая из граней заданного многогранника является плоскостью общего положения, которая пересекает криволинейную поверхность тела вращения поэллиптической кривой.
Рассмотрим построение линии пересечения треугольной призмы и усеченного прямого конуса (рис. 51). Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями, поэтому проекции точек пересечения будут находиться на сторонах треугольника основания.
32
Рис. 50
Выберем ряд вспомогательных секущих плоскостей α, β, γ параллельных окружности основания конуса. Они рассекут конус по окружностям меньшего радиуса, чем основание. Величины этих радиусов определяются расстоянием от оси конуса до образующей. Проводим на горизонтальной проекции дуги соответствующего радиуса до пересечения с вертикальными линиями связи, проведенными от одноименных точек, получим ряд точек 1′, 2′, 3′, 4′, 5′ определяющих линию пересечения геометрических тел. Соединяя плавной кривой, полученные точки и им симметричные получим горизонтальную проекцию линии пересечения. Профильная проекция построена при помощи постоянной Монжа.
Пересечение поверхностей вращения
Линия пересечения двух поверхностей вращения в общем случае представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми. Обычно линию пересечения двух поверхностей вращения строят по ее отдельным точкам.
Общим способом построения этих точек является способ поверхностейпосредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью и определяя линии ее пересечения с рассматриваемыми поверхностями, находим точки,
33
принадлежащие искомой линии пересечения.
Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяются плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей вращения:
–способ вспомогательных плоскостей (в основном вспомогательных плоскостей уровня);
–способ вспомогательных сфер.
Способ вспомогательных плоскостей применяется тогда, когда обе поверхности возможно пересечь по графически простым линиям (в основном по окружности), например при построении проекций линии пересечения двух цилиндров, оси которых перпендикулярны.
Способ вспомогательных сфер целесообразно использовать при построении линии пересечения таких поверхностей, которые имеют общую плоскость симметрии, расположенную параллельно какой-либо плоскости проекций. При этом каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обоих поверхностей.
Рис. 51
34
Построение линии пересечения поверхностей способом концентрических вспомога-
тельных сфер. По сравнению с методом вспомогательных секущих плоскостей метод вспомогательных концентрических сфер имеет то преимущество, что, например, одна из проекций линии пересечения строится без применения двух других проекций пересекающихся поверхностей при их произвольном расположении.
Вспомогательные сферические поверхности для построения линии пересечения поверхностей вращения можно применять при следующих условиях:
–пересекающиеся поверхности должны быть только поверхностями вращения;
–оси поверхностей должны пересекаться, точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер;
–оси поверхностей вращения должны быть параллельны какой-либо плоскости про-
екций.
Пример построения линии пересечения прямого кругового усеченного конуса, имеющего вертикальную ось, с цилиндром, расположенным горизонтально, показан на рис. 52.
Рис. 52
Оси вращения этих поверхностей пересекаются в точке О и параллельны профильной плоскости проекций. Из точки О′′′ проводятся концентрические сферы, пересекающие
35
поверхности по окружностям, которые вырождаются в прямые линии. Точки пересечения этих линий, являются точками пересечения поверхностей, это точки 2′′′, 3′′′, 5′′′, 6′′′. Точки 1′′′ и 7′′′ находятся без дополнительных построений. Точка 4′′′ является характерной, она строится с помощью сферы, касательной к образующим конуса. Полученные точки соединяются лекальной кривой.
Особые случаи пересечения поверхностей вращения
На рис. 53а, б, в, изображены соосные цилиндр и сфера, конус и сфера, цилиндр и конус. Особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют в качестве посредника при построении линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями использовать секущие сферы. Вспомогательная сфера проводится из точки пересечения осей поверхностей и пересекает каждую из них по окружностям. Точки пересечения этих окружностей – общие для обеих поверхностей, т.е. принадлежат линии их пересечения. На рис. 50 г показаны два цилиндра равного диаметра с пересекающимися под прямым углом осями. Из точки пересечения осей проведена сфера, равная диаметру цилиндров. Обе поверхности пересекаются по линии, состоящей из двух эллипсов.
Рис. 53
Двойное проницание поверхностей
Если полое геометрическое тело имеет сквозное боковое отверстие, то в этом случае необходимо строить линии пересечения трех поверхностей, т.е. происходит так называемое двойное проницание поверхностей.
Рассмотрим полое коническое тело со сквозным боковым призматическим отверсти-
ем (рис. 54).
Требуется построить три проекции заданного тела и определить линию пересечения отверстия с наружной и внутренней поверхностями полого тела.
Решение начинается с анализа получающихся линий пересечения и проводится в три этапа: а) построение линии пересечения поверхности отверстия с наружной поверхностью геометрического тела; б) определение линии пересечения поверхности отверстия с внутренней поверхностью полого геометрического тела; в) построение необходимых разрезов.
Нижняя горизонтальная грань призмы – плоскость α1 пересекает конус по дугам окружности радиуса R4. На горизонтальной проекции эта дуга ограничена точкой 4′ и ей
36
симметричной. Боковые грани призмы фронтально-проецирующие плоскости β и γ пересекают конус по дугам эллипсов, которые проецируются в виде отрезка 1′′4′′ и ему симметричного. Отмечаем промежуточные точки 2′′ и 3′′ и при помощи горизонтальных секущих плоскостей α2 α3 определяем горизонтальные проекции этих точек. Вспомогательные плоскости пересекают конус по радиусам R2 и R3. На пересечении дуг соответствующих радиусов с вертикальными линиями связи на горизонтальной плоскости получаем искомые точки 1′ – 5′.
Рис. 54
Далее строим линию пересечения призмы с внутренней цилиндрической поверхностью. Горизонтальная плоскость α4 пересекает внутренний цилиндр по полной окружности. Фронтально-проецирующие плоскости β и γ пересекают цилиндр по эллипсам. Размер большой полуоси этого эллипса равен расстоянию А′′ – D′′, а малая полуось равна диаметру цилиндра. Положение точек принадлежащих эллипсу на фронтальной проекции определено по их положению на горизонтальной проекции цилиндра. Точки B и C взяты в качестве промежуточных.
Строим необходимые разрезы. На месте главного вида выполнено сочетание вида с фронтальным разрезом, а на виде слева – сочетание вида с профильным разрезом. Вид и разрез разделяет ось симметрии. Фронтальный и профильный разрезы не обозначены, так как секущие плоскости совпадают с осями симметрии фигуры.
37