1 / для студентов Х / Задачи Х / Задания из 3-ей части

1.1 В евклидовом пространстве найдите

1) скалярное произведение векторов a, b;

2) угол между векторами a и b;

где =(1,1,1,1), =(3,5,1,1).

1.2 Найдите нормированный вектор евклидова пространства , ортогональный векторам =(1,1,1), =(1,-1,1).

1.3 Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, по заданному базису =(1,1,1), =(1,2,3), =(1,1,2) евклидова пространства постройте ортонормированный базис. Сделайте проверку.

1.4 Дополните до ортонормированного базиса евклидова пространства систему векторов =(1,-2,2,-3), =(2,-3,2,4).

2.1 В ортонормированном базисе евклидова пространства линейный оператор задан матрицей .

Будет ли этот оператор ортогональным?

2.2 Для данной матрицы найдите такую ортогональную матрицу Т, что ТСТ^-1 —диагональная матрица. Сделайте проверку.

2.3 Найдите собственные значения и ортонормированный базис , из собственных векторов самосопряжённого линейного оператора , заданного в некотором ортонормированном базисе , матрицей . Найдите матрицу оператора в базисе , .

2.4 Методом Лагранжа приведите квадратичные формы , и к каноническому виду. Укажите невырожденное линейное преобразование переменных, приводящее к этому виду. Сделайте проверку.