1 / Алгебра и геометрия / Методички / pdf / Алгебра / Algebra

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

А.Д. Ходалевич Р.В. Бородич В.Н. Рыжик

«Алгебра»

Тексты лекций

Гомель, 2004

1

УДК 512 (078) ББК 22.14 Я73 Х 69

Рецензенты: Семенчук В.Н. – доктор физико-математических

наук

кафедра высшей математики учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».

Рекомендован к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 24 марта 2004 года, протокол № 7

Ходалевич А.Д.

Х 69 Алгебра: Курс лекций. /А.Д.Ходалевич, Р.В.Бородич,

В.Н.

Рыжик. − Гомель: УО «ГГУ им. Ф.Скорины», 2004. − 37с.

Дается краткое изложение курса лекций по алгебре для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика»

УДК 512 (078) ББК 22.14 Я73 Х 69

©А.Д. Ходалевич, Р.В. Бородич, В.Н. Рыжик 2004

©Учреждение образования «Гомельский

государственный университет имени Франциска Скорины», 2004

2

СОДЕРЖАНИЕ

1.Комплексные числа……………………………………………4

2.Многочлены и их корни……………………………………….6

3.Матрицы и определители……………………………………..12

4.Системы линейных уравнений………………………………..16

5.Линейные (векторные) пространства…………………………19

6.Квадратичные формы……………………………………….….29

7.Алгебраические структуры………………………………….…32

Литература…………………………………………………………37

3

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

Определение комплексного числа.

Определение. Комплексным числом Z называется выражение вида a + bi, где a, b – действительные числа, символ i удовлетворяет условию i2 = –1.

Число a – действительная часть, bi – мнимая часть, i – мнимая единица комплексного числа.

Множество всех комплексных чисел обозначается С. Таким образом, R C.

Число bi называется чисто мнимым.

Комплексные числа Z1 = a1 + b1i и Z2 = a2 + b2i называются

равными (пишут Z1 = Z2), если a1 = a2 и b1 = b2.

Число Z = 0 + 0i называется нулем и обозначается 0 R.

Числа вида a + bi и a – bi называются комплексносопряженными и обозначаются соответственно Z и Z .

Очевидно, что каждому комплексному числу Z = a + bi соответствует единственная точка (a; b) координатной плоскости 0XY. Справедливо и обратное утверждение. Плоскость OXY называется комплексной, оси OX и OY называются соответственно действительной и мнимой.

Действия над комплексными числами.

Пусть даны два комплексных числа Z1 = a1 + b1i и Z2 = a2 + b2i. Суммой Z1 и Z2 называется комплексное число Z = Z1 + Z2 = (a1

+ a2) + (b1 + b2)i.

Разность – это комплексное число Z = Z1 – Z2 = (a1 – a2) + (b1 –

b2)i.

Произведения комплексных чисел Z1 и Z2 называется комплексное число Z = Z1 · Z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.

4

n-ой степенью комплексного числа Z (n N) называется

Тогда

Z1Z2 = r1r2 (cosϕ1 +isinϕ1 )(cosϕ2 +isinϕ2 ) =... = r1r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 ) +isin(ϕ1 +ϕ2 ).

Сравнивая модули и аргументы в последнем равенстве, получаем формулу нахождения всех корней n-ой степени из комплексного числа Z:

5

Z0 = n r (cosϕ +n2πk +isin ϕ +n2πk ) , где k = 0, 1, …, n – 1.

Вывод: существует ровно n различных значений корня n-ой степени из комплексного числа.

Если Z = 1, то 1 = cos0 +isin 0 и n 1 = cos 2πnk +isin 2πnk , k = 0, …,

n – 1.

Корень n-ой степени из 1 называется первообразным, если он не является корнем из 1 с меньшим, чем n натуральным показателем.

Свойства:

Пусть Z1 и Z2 – корни n-ой степени из 1. Тогда:

1)Z1 · Z2 – корень n-ой степени из 1;

2)Z1−1 = 1 – корень n-ой степени из 1.

Z1

МНОГОЧЛЕНЫ И ИХ КОРНИ.

Операции над многочленами

Определение. Многочленом (полиномом) n-ой степени от неизвестного x называется выражение вида

неотрицательное число.

Числа ai – коэффициенты многочлена, a0 и an – соответственно старший коэффициент и свободный член. Считаем, что a0 ≠ 0.

Два многочлена f(x) и g(x) одинаковой степени называют равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного (пишут f(x) = g(x)).

Многочлен нулевой степени – это любое отличное от нуля комплексное число. Число нуль – многочлен, степень которого не определена.

Пусть

Тогда сумма многочленов f(x) и g(x) есть многочлен

f (x) + g(x) = C0 +... +Ck−1xk−1 +Ck xk , где Ci = ai + bi и либо k = n,

либо k = m.

Произведением многочленов f(x) и g(x) называется многочлен

6

f (x) g(x) = d0 + d1x +... + dn+m−1xn+m−1 + dn+m xn+m , где di = ∑ak bl , i

k+l=i

= 0, 1, …, n + m −1, n + m.

Вычитание многочленов определяется как операция, обратная операции сложения. В этом случае противоположным к f(x) является

− f (x) = −a0 −... −an xn .

Для умножения многочленов обратная операция не существует, то есть, нет такого многочлена g(x), что f (x) g(x) =1.

Деление многочленов.

Обозначим степень ненулевого многочлена f(x) через deg f (x) .

Теорема 2.1. (о делении с остатком). Для любых двух многочленов f(x) и g(x) существуют такие единственные многочлены q(x) и r(x), что

f (x) = g(x) q(x) + r(x) и deg g(x) или же r(x) = 0 .

Многочлены q(x) и r(x) называются соответственно частным и остатком от деления f(x) на g(x). Тогда f(x) делится на g(x) или g(x) делит f(x), если остаток r(x) = 0 ( g(x) ≠ 0 ).

Следствие 2.1.1. g(x) является делителем f(x) тогда и только тогда, когда существует многочлен ϕ(x) такой, что f (x) = g(x)ϕ(x) .

Свойства делимости:

1.Если f(x) делится на g(x), а g(x) делится на ϕ(x), то f(x) делится на ϕ(x).

2.Если f(x) и g(x) делится на ϕ(x), то их сумма и разность делится на ϕ(x).

3.Если f(x) делится на ϕ(x), то для любого g(x) на ϕ(x) делится и f (x) g(x) .

7

8. f(x) делится на g(x) тогда и только тогда, когда af(x) делится на g(x) a C , a ≠ 0 .

Наибольший общий делитель. Определение. Многочлен d(x) называется общим делителем

многочленов f(x) и g(x), если он является делителем каждого из них.

Наибольшим общим делителем отличным от нуля многочленов f(x) и g(x) называется такой их общий делитель d(x), который, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Обозначается НОД или (f(x), g(x)).

Если deg( f (x), g(x)) = 0 , то f(x) и g(x) называются взаимно

обратными.

Метод последовательного деления или алгоритм Евклида

заключается в следующей схеме:

f(x) = g(x)q1 (x) + r1 (x),

g(x) = r1 (x)q2 (x) + r2 (x), r1 (x) = r2 (x)q3 (x) + r3 (x),

…………………….

rk−2 (x) = rk−1 (x)qk (x) + rk (x), rk−1 (x) = rk (x)qk+1 (x) + rk+1 (x),

где deg g(x) > deg r1 (x) >... > deg rk (x) ≥ 0.

Теорема 2.2. НОД (f(x), g(x)), где f(x) и g(x) – ненулевые, равен последнему отличному от нуля остатку в алгоритме Евклида, если g(x) не делит f(x), и совпадает с g(x) в противном случае.

Из свойств делимости следует, что НОД (f(x), g(x)) определен лишь с точностью до множителя нулевой степени. Таким образом f(x) и g(x) взаимно простые тогда и только тогда, когда НОД (f(x), g(x)) = 1.

Теорема 2.3. Пусть d(x) = ( f (x), g(x)) . Тогда существуют такие

многочлены u(x) и v(x), что выполняется равенство f (x)u(x) + g(x)v(x) = d(x) .

Причем, если степени f(x) и g(x) больше нуля, то degu(x) < deg g(x) и deg v(x) < deg f (x).

Следствие 2.3.1. (критерий взаимной простоты). f(x) и g(x) взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют u(x) и v(x) такие, что

8

f (x)u(x) + g(x)v(x) =1.

Теорема 2.4.

1.Если f(x) взаимно прост с ϕ(x) и h(x), то он взаимно просто с их произведением.

2.Если f(x)·g(x) делится на ϕ(x), но f(x) и g(x) – взаимно просты, то g(x) делится на ϕ(x).

3.Если f(x) делится на g(x) и h(x), и g(x) и h(x) взаимно просты, то f(x) делится на g(x)·h(x).

Теорема 2.5. Пусть f1(x), …, fn(x) – ненулевые и пусть

=( f1 (x), f2 (x)), d3 (x) = (d2 (x), f3 (x)), …,

dn (x) = (dn−1 (x), fn (x)) . Тогда dn (x) – НОД этих многочленов.

Корни многочлена.

Число с называется корнем многочлена f (x) = a0xn +…+ an , если

f (c) = a0cn +... + an = 0 .

Лемма 2.1. Остаток от деления f(x) на x-c равен f(c).

Таким образом, число с тогда и только тогда является корнем f(x), когда f(x) делится на x-c.

Пусть f (x) = (x–c)q(x) + r, и q(x) = b0 xn−1 +... +bn−2 x +bn−1.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем b0 = a0 , b1 = cb0 +a1, b1 = cb0 +a1, … , bk = cbk−1 + ak , r = cbn−1 + an –

схема (метод) Горнера.

Пусть f (x) = (x −c)k ϕ(x) , причем ϕ(x) не делится на x-c. Тогда

число с называется k-кратным корнем f(x), а число k – кратностью корня с в многочлене f(x).

Производной многочлена f(x) называется многочлен (n-1)-ой степени

f ′(x) = na0 xn−1 +(n −1)a1xn−2 +... + 2an−2 x + an−1 .

k-ая производная – это производная от (k–1)-ой производной. Очевидно, что

f (n) (x) = n!a0 , и f (n+1) (x) = 0.

Лемма 2.2. 1) ( f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x);

2)( f (x)g(x))′ = f (x)g′(x) + f ′(x)g(x);

3)f (k ) (x) = kf (k−1) (x) f ′(x).

9

Лемма 2.3. Если число с – k-кратный корень f (x), то при k > 1 с является (k – 1) – кратным корнем f ′(x) , если же k = 1, то с не является корнем для f ′(x) .

Основная теорема алгебры.

Любой многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Следствия из основной теоремы.

Лемма 2.4. Пусть f (x)ϕ(x) = g(x)ϕ(x) , ϕ(x) ≠ 0 , тогда

Следствие 2.5.1. Любой многочлен степени n≥1 имеет ровно n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его четность.

Следствие 2.5.2. Если f (x) и g(x) степени ≤ n имеют равные

значения более чем при n различных значениях неизвестного, то f (x) = g(x).

Следствие 2.5.3. Пусть f (x) ≠ g(x) , тогда существует хотя бы одно число с такое, что f (c) ≠ g(c).

Можно решить обратную задачу. А именно, построить многочлен степени ≤n, принимающий наперед заданные значения при n + 1 различных значениях неизвестного. Например,

f(x) = ∑n+1 ci (x −a1 )...(x −ai−1 )(x −ai+1 )...(x −an+1 ) i=1 (ai −a1 )...(ai −ai−1 )(ai −ai+1 )...(ai −an+1 )

–интерполяционная формула Лагранжа, где ci = f (ai ) и все

ai различны.

Если a0 =1 и все α1,...,αn – корни, то имеют место формулы Виета:

10