2. Математическое моделирование

 

Выработка решения – это сложный творческий процесс, которому свойственны психологические переживания, раздумья и сомнения. Это вполне понятно, если учесть, что в процессе решения приходится сталкиваться с огромным количеством разнообразных факторов, которые сами по себе носят противоречивый характер. Приходится как бы решать уравнение со многими неизвестными, взвешивать все «за» и «против». Это, конечно, не означает, что процесс выработки решения строится лишь на субъективных особенностях. Несомненно, каждый думает по-своему, подходит со свойственными ему особенностями. Вместе с тем существует математическое моделирование, используя которое можно наиболее точно и правильно прийти к нужному решению. Его реализация связана с разработкой адекватной действительности модели, учитывающей достаточное количество существенных и различных по своей природе факторов, влияющих на конечный результат.

Модели по характеру отображения в них реальных процессов подразделяются на аналитические и имитационные.

В аналитических моделях информация об исследуемых процессах представляется в обобщенном виде, т.е. в виде формул, систем уравнений и других математических соотношений.

В имитационных моделях исследуемый процесс в рамках его математического описания воспроизводится с сохранением временной и логической структуры, соответствующей реальной действительности.

В ряде случаев может быть использован численный метод исследования. Применение данного метода обусловлено интенсивным внедрением в практику научных исследований современных информационных технологий. При использовании обычных численных методов первоначально математическая модель исследуемого процесса преобразуется в систему уравнений, допускающих численное решение. При этом следует иметь в виду, что численный метод по своей логической структуре весьма далек как от математической модели, так и от процесса-оригинала и обусловлен, скорее, типом тех уравнений, к которым удалось привести первоначальную математическую модель.

В последнее время бурное развитие получил метод, основанный на теории нечетких множеств, позволяющий количественно описать имеющиеся неопределенности. Данный метод позволяет учесть неточности информации в виде множеств более или менее возможных значений, что согласуется с методологией интервального анализа.

Следует отметить, что ни один из этих методов не является идеальным с точки зрения адекватного отображения реальных процессов. Каждому из них присущи свои специфические особенности, от которых зависит сфера их активного применения при решении различных задач. Поэтому кратко рассмотрим возможности каждого из перечисленных выше методов.

Наиболее распространенными методами исследований являются аналитические методы, обладающие рядом положительных свойств: получаемые при аналитическом решении зависимости не привязаны к определенным числовым значениям параметров исследуемого процесса; использование аналитических методов позволяет решать не только задачу анализа, но и находить оптимальные решения, делать общие выводы относительно влияния на конечные результаты тех или иных факторов, т.е. решать задачу синтеза.

Однако воспользоваться аналитическим исследованием удается сравнительно редко, так как преобразование математической модели в систему уравнений, допускающую эффективное решение, является трудной задачей, а для процессов, которые происходят в условиях влияния неопределенных факторов, эти трудности часто оказываются непреодолимыми.

Трудности в применении аналитических методов исследования могут быть преодолены путем имитационного моделирования.

Наиболее существенные преимущества имитационных моделей [Вентцель Е.С, 1972]:

        простота построения, поскольку целью моделирования в данном случае является, по возможности, точное воспроизведение данного процесса;

        наглядное представление результатов исследования и, как следствие, простота перехода от моделирования к практическим рекомендациям.

Имитационное моделирование наиболее целесообразно в тех случаях, когда:

        не существует законченной математической постановки задачи, или еще не разработаны достаточно эффективные методы решения сформулированной задачи;

        аналитические методы имеются, но математические процедуры при их использовании очень сложны и трудоемки;

        кроме количественной оценки определенных параметров желательно осуществить наблюдение за ходом процесса в течение определенного времени.

Имитационное моделирование является мощным инструментом исследования процессов, которые протекают под воздействием большого числа случайных факторов и требуют принятия решения в условиях риска и неопределенности. При использовании имитационного моделирования искомые величины определяются как средние значения по данным большого числа реализаций данного процесса.

Решение задачи с использованием численных моделей, как правило, подразумевает использование исходных аналитических выражений, решение которых в явном виде либо слишком сложно, либо невозможно вообще. Однако содержание работы при применении численных моделей остается, в основном, таким же, что и при использовании аналитических моделей. Разница заключается лишь в том, что после преобразования математической модели в систему уравнений, допускающую эффективное решение задачи (вручную или с использованием вычислительной техники) – производят расчет, результатом которого служат таблицы значений искомых величин для конечного набора параметров, начальных условий или времени.

Использование аппарата теории нечетких множеств заключается в следующем. Вначале на основе известных методов теории вероятностей и исследования операций (экспертных оценок, статистических данных, интервальных оценок и др.) строится функция принадлежности неизвестных параметров нечеткому множеству. Затем, используя нечеткие теоретико-множественные операции и логические связки, делают приближенные выводы.

Следует еще раз подчеркнуть, что ни одна из рассмотренных моделей не является идеальной с точки зрения ее разрешающей способности. Они взаимно дополняют и обогащают друг друга. Поэтому в процессе выработки решения целесообразно, по возможности, применение не одной, а нескольких из рассмотренных моделей.

Существенным моментом, влияющим на принятие решения, является определение показателей эффективности и их обоснование.

Под показателем эффективности понимается числовая характеристика, которая позволяет оценить степень достижения поставленной цели. На практике всегда возникают трудности в выборе того или иного показателя эффективности, т.к. он должен удовлетворять следующим требованиям [Вентцель Е.С., 1972]:

      соответствовать поставленной цели и иметь ясный физический смысл;

      быть универсальным, т.е. способным учитывать все особенности реальных процессов;

      быть достаточно чувствительным к изменению параметров, влияющих на решение задачи, и существовать для всех возможных вариантов их изменений.

Будем в дальнейшем обозначать показатель эффективности буквой R.

Рассмотрим ряд примеров, в каждом из которых показатель эффективности R выбран в интересах достижения определенной цели [Вентцель Е.С., 1972].

1. Рассматривается работа промышленного предприятия под углом зрения его рентабельности, причем проводится ряд мер с целью повышения этой рентабельности. Показатель эффективности – прибыль (или средняя прибыль), приносимая предприятием за год.

2. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин; ее рентабельность определяется количеством машин, обслуживаемых в течение дня. Показатель эффективности – среднее число машин, обслуженных за день («среднее» потому, что фактическое число случайно).

3. Проводится борьба за экономию средств при производстве определенного вида товаров. Показатель эффективности – количество (или среднее количество) сэкономленных средств.

Наряду с определением показателей эффективности возникает необходимость определения критерия (правила) принятия решения. При этом большинство задач решаются как однокритериальные, т.е. используется максимум или минимум одного показателя эффективности (будем обозначать такой показатель R^*). Однако зачастую для решения задачи возникает необходимость использования не одного, а нескольких показателей эффективности. Такие задачи относятся к классу многокритериальных задач.

В настоящее время методы решения многокритериальных задач недостаточно разработаны. Поэтому на практике чаще всего данные задачи сводятся к однокритериальным. Основными методами решения данного типа задач являются:

      метод выбора главного показателя;

      метод выбора обобщенного показателя;

      метод лексикографического выбора.

В процессе принятия решений необходимо также учитывать информационные ситуации, в которых принимается то или иное решение. При этом различают три основных типа информационных ситуаций [Вентцель Е.С., 1972]:

1. Принятие решения в условиях определенности.

и условия характеризуются наличием однозначной, детерминированной связи между принятым решением и полученным результатом. В этом случае показатель эффективности и ограничения зависят только от стратегий оперирующей стороны S = {s_i}, i = 1,n и фиксированных детерминированных факторов (вектор Д).

2. Принятие решения в условиях риска.

В этих условиях каждая стратегия оперирующей стороны может привести к одному из множества возможных исходов, причем каждый исход имеет определенную вероятность появления. Значения показателей эффективности в этом случае зависит, кроме стратегий оперирующей стороны и детерминированных факторов Д, также и от случайных факторов с известными законами распределения (вектор Ψ).

3. Принятие решений в условиях неопределенности.

В данном случае показатель эффективности зависит кроме стратегий оперирующей стороны и фиксированных параметров Д также от случайных факторов Ψ с полностью неизвестными законами распределения или неопределенных факторов, для которых известно лишь множество возможных значений. В результате влияния неопределенных факторов каждая стратегия оперирующей стороны оказывается связанной с множеством возможных исходов, вероятности которых либо неизвестны, либо известны с недостаточной для принятия решения точности, либо вовсе не имеют смысла.

В свою очередь, принятие решений в условиях неопределенности в зависимости от типа неопределенности подразделяют на [Вентцель Е.С., 1972]:

     конфликтные, в которых неопределенность создается за счет недостаточного знания поведения активного, «разумного» противника;

     принятие решений в условиях неизвестного состояния «природы», в которых неопределенность создается за счет недостаточной изученности всех обстоятельств в условиях которых приходится принимать решения, т.е. «природы», под которой понимается объективная действительность, поведение которой неизвестно, но, во всяком случае, не злонамеренно.

В этом случае, в зависимости от информационной ситуации, возможно применение нескольких критериев. Так, в условиях определенности целесообразно использовать критерий максимума результата; при известных априорных вероятностях развития событий P(v), v= 1,V целесообразно использовать критерий максимума математического ожидания выигрыша. Когда все возможные варианты развития событий равновероятны, целесообразно использовать критерий недостаточного основания Бернулли-Лапласа. При отсутствии какой-либо объективной информации о случайных факторах или когда известно лишь множество их возможных значений, целесообразно использовать критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа или же применять теорию антагонистических матричных игр двух лиц с нулевой суммой. В случае же, когда варианты развития событий характеризуются нечетким множеством, то, в зависимости от ситуации, можно применять все перечисленные выше критерии с учетом принадлежности вариантов действий нечеткому множеству.

Кроме того, необходимо учитывать предпочтения лица, принимающего решения, совокупности его представлений о степени достижения поставленной цели, достоинствах и недостатках сравниваемых решений.

Критерии принятия решений с учетом информационных ситуаций представлены в таблице 10, а алгоритм выбора критерия принятия решения приведен на рис. 132. При этом, с формальной точки зрения, целесообразно принимать решение исходя из рекомендаций большего числа из используемых критериев. Если же различные критерии дают различные рекомендации по принятию решения, необходим углубленный анализ полученных результатов и использование практического опыта лиц, ответственных за принятие решения.

Таблица 10

 

Критерии принятия решения при различных информационных ситуациях

 

№ п/п	Информационная ситуация	Критерии принятия решений
		Наименование критерия	Математическое выражение
1.	Определенность	Максимум результата	R* = max  R     sS
2.	Известны априорные вероятности развития  событий P(v), v= 1,V	Максимум математического ожидания выигрыша	V R* = max ∑ R P(v)                          sS   v=1
3.	Все возможные варианты развития событий равновероятны	Критерий недостаточного основания Бернулли-Лапласса	V R* = max 1/V ∑ R                          sS              v=1
4.	Нельзя что-либо сказать о возможных вариантах развития событий	Критерий крайнего пессимизма	R* = max min R                             sS     vV
		Критерий крайнего оптимизма	R* = max max R                           s  S   v  V
		Критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица)	R*=α min R+(1-α) max R                   vV                         vV (0 ≤ α ≤ 1)
		Критерий минимаксного риска (Сэвиджа)	R* = max min (max R–R)                  sS     vVsS

 

Рассмотрим проблему принятия решения в условиях неопределенности, когда результат оценивается с помощью функции принадлежности.

Рассмотрим простое дерево решений (рис. 133).

Необходимо принять решение, описываемое лотереями А и В, которые зависят от различных случайных событий. В лотерее А имеется вероятность p получить выгоду u₁ и вероятность 1 - p потерпеть убытки u₂. Соответственно в лотерее В имеется вероятность q получить выгоду v₁ и вероятность 1 - q потерпеть убытки v₂. Используя правила теории ожидаемой полезности, выбирают эту лотерею тогда и только тогда, когда [Борисов А.Н. и др., 1990]:

pu₁ + (1 - p)u₂ > qv₁ + (1 - q)v₂.

Пусть μ_А(а), μ_B(b) – степени принадлежности a, b множествам ожидаемых полезностей лотерей A и B, тогда согласно принципу обобщения [Борисов А.Н. и др., 1990]:

μ_А(а) =      max     (min(μ_p(p), μ_А1(u₁), μ_А2(u₂))),            (1)

pu₁ + (1 - p)u₂

 

μ_А(а) =      max     (min(μ_Q(q), μ_B1(v₁), μ_B2(v₂))),            (2)

qv₁ + (1 -q)v₂

 

где μ_p(p) – степень принадлежности p множеству возможных значений для этой вероятности.

Чтобы оценить степень предпочтительности А относительно В, используют следующий метод [Борисов А.Н. и др., 1990]:

μ(X→Y) = μ(-X U Y) = max (1 - μ(X), μ(Y)),         (3)

где X и Y есть степени истинности высказывания «или не X, или Y».

В более общей постановке, если X и Y есть нечеткие отношения между двумя переменными a и b, представленные функциями принадлежности μ_X(а,b), μ_Y(а,b), то

μ(X→Y) = min (1 – μ_X(a,b), μ_Y(a,b)),            (4)

a,b

Пусть Y – утверждение о предпочтении:

Y₁: «А строго предпочтительнее В»,

 1, если a > b;

μ_Y1(a,b) =

                   0, если а ≤ b;

 

Y₂: «А в некоторой степени предпочтительнее В»,

 1, если a ≥ (b + 0,2);

μ_Y2(a,b) =   0,5 + 2,5 (a – b), если (b + 0,2) ≥ a ≥ (b – 0,2);

                   0, если а ≤ (b – 0,2),

 

где μ_X(a,b) – степень, с которой а принадлежит множеству ожидаемых полезностей для лотереи А и b – множеству для лотереи В. Из этого следует, что

μ_X(а,b) = min(μ_A(a), μ_B(b₁)).

 

При таких предпочтениях можно использовать (4) для вычисления степени предпочтения:

μ(X→Y) = min [max (1 – μ_X(a,b), μ_Y(a,b))] =

a,b

=   min [max (1 – min (μ_A(a), μ_B(b)), μ_Y1(a,b))].

a,b

Для а > b μ_Y1(a,b) = 1. Если существует пара (а,b), для которой аргумент min

a,b

меньше единицы, то а ≤ b. Таким образом,

μ(X→Y) = min [max (1 – (μ_А(a), μ_В)) =

a≤b

= 1 -  max (min (μ_A(a), μ_B(b))).

a,b

Можно показать, что максимум имеет место в граничной точке при а = b. Следовательно,

μ(X→Y) = 1 - max (min (μ_A(a), μ_B(a))).

Общая схема многокритериальной модели выработки решения представлена на рис. 134.