Розділ 4. МЕХАНІЧНА РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ
Кінетична енергія — це енергія, яка зумовлена рухом тіла і дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат швидкості його руху:
Wк = mv2 2 ,
де Wк — кінетична енергія тіла; m — маса тіла; v — швидкість руху тіла. Кінетична енергія того самого тіла для різних спостерігачів може бути різною, оскільки відносно них різною може бути швидкість руху цього тіла
(рис. 37.3, 37.4).
Рис. 37.3. Відносно туриста камінь не має кінетичної енергії, а відносно велосипедиста, який стрімко наближається, — має
Рис. 37.4. Відносно пасажира потяга, що рухається, кінетична енергія журналу дорівнює нулю, а відносно людини на платформі журнал має кінетичну енергію
|
2 |
Знаходимо зв’язок між роботою і зміною кінетичної енергії тіла |
|
Спостерігатимемо за зміною швидкості руху тіла, на яке діє тільки |
|
одна сила |
F . Якщо напрямки дії сили та руху тіла збігаються, то сила |
|
виконує додатну роботу і швидкість руху тіла збільшується. Якщо сила |
|
напрямлена протилежно руху тіла, то робота сили є від’ємною і швидкість |
|
руху тіла зменшується. Інакше кажучи, додатна робота сили F |
спричиняє |
|
збільшення кінетичної енергії тіла, а від’ємна — її зменшення. |
|
|
|
Існує така закономірність: |
|
|
|
|
|
Робота сили, що діє на тіло, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: |
|
|
|
|
|
|
A = Wк − Wк0 , |
|
|
де A — робота сили; W = |
mv2 |
— початкова кінетична енергія тіла; |
|
0 |
|
|
|
2 |
к0 |
2 |
|
|
|
W = mv |
|
|
|
|
|
— кінцева кінетична енергія тіла. |
|
|
к |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Даємо визначення повної механічної енергії тіла |
|
|
Доволі часто тіло має як потенціальну, так і кінетичну енергії. На- |
|
|
|
приклад, літак, що летить над Землею на деякій висоті, має і потенціальну |
|
енергію (бо взаємодіє із Землею), і кінетичну енергію (бо рухається). |
§ 37. Кінетична енергія тіла. Повна механічна енергія
Суму потенціальної і кінетичної енергій тіла називають повною механічною енергією тіла:
Wповна = Wк + Wп
Підбиваємо підсумки
Енергію, яка зумовлена рухом тіла, називають кінетичною енергією Wк.
Кінетичну енергію тіла обчислюють за формулою W = |
mv2 |
, де m — |
|
маса тіла; |
v — швидкість руху тіла. |
к |
2 |
|
|
|
|
|
|
Робота |
сили, що діє на тіло, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: |
A = Wк − Wк0.
Суму потенціальної і кінетичної енергій тіла називають повною механічною енергією тіла: Wповна = Wк + Wп .
Контрольні запитання
1. Що таке кінетична енергія тіла? 2. За якою формулою можна розрахувати кінетичну енергію тіла? 3. Чому кінетична енергія того самого тіла може бути різною для різних спостерігачів? 4. Яким є зв’язок між роботою та зміною кінетичної енергії тіла? 5. Що таке повна механічна енергія тіла?
Вправа № 37
1.Наведіть приклади тіл, які мають кінетичну енергію. Обґрунтуйте свою відповідь.
2.Визначте кінетичну енергію велосипедиста, який рухається зі швидкістю 10 м/с. Маса велосипедиста дорівнює 50 кг.
3.Автомобіль розігнався на горизонтальній ділянці дороги завдовжки 400 м під дією рівнодійної сили 10 кН. Збільшилася чи зменшилася кінетична енергія автомобіля? На скільки?
4.Тіло рухається зі швидкістю 2 м/с. Визначте масу цього тіла, якщо його кінетична енергія становить 5 Дж.
5.Два автомобілі однакової маси рухаються назустріч один одному зі швидкостями 72 км/год і 15 м/с. Кінетична енергія якого автомобіля більша? У скільки разів?
6.Під час баскетбольного матчу м’яч масою 400 г кинуто в бік кільця. Визначте повну механічну енергію м’яча на висоті 3 м, якщо на цій висоті він рухається зі швидкістю 2 м/с. За нульовий рівень візьміть рівень підлоги спортивної зали.
7.Автомобіль масою 2 т рушив з місця і на горизонтальному відрізку дороги завдовжки 100 м набув швидкості руху 54 км/год. Визначте: а) яку роботу виконав двигун автомобіля? б) якою була рівнодійна сил, що діяли на автомобіль?
8.Куля масою 10 г, яка летіла зі швидкістю 600 м/с, пробила дошку завтовшки 10 см. Після цього швидкість руху кулі зменшилася до 400 м/с. Знайдіть середню силу опору, з якою дошка діяла на кулю.
9.Скориставшись Інтернетом або додатковою літературою, складіть і розв’яжіть задачу за темою цього параграфа. Зверніть увагу на те, що дані, наведені вами в задачі, та отримана відповідь повинні бути реальними.
10.З’ясуйте відповідність між кожною з поданих сил і формулою, за якою її визначають. Назвіть фізичні величини, які містить кожна формула, та одиниці, в яких вони вимірюються.
А Архімедова сила Б Сила пружності В Сила тертя Г Сила тяжіння 1 F =mg 2 F = µN 3 F = kx 4 F = pS 5 F = ρрідgVзан
231
Розділ 4. МЕХАНІЧНА РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ
§ 38. Закон збереження і перетворення механічної енергії
Напевне, багато хто з вас «стріляв» із трубочки, видуваючи з неї з певною швидкістю невеличкі кульки. Згадайте: кульки злітають догори, а потім падають. Коли кульки летять догори, швидкість їхнього руху зменшується, адже для того, щоб упасти, вони мають на мить зупинитися на певній висоті, а вже потім почати рухатися вниз. Кінетична енергія кульок під час руху вгору теж зменшується. А чи зникає вона зовсім?
|
1 |
Спостерігаємо перетворення потенціальної енергії на кінетичну |
|
і навпаки |
|
|
Одним із фундаментальних законів природи є закон збереження енергії:
енергія нікуди не зникає і нізвідки не виникає, вона лише перетворюється з одного виду на інший, передається від одного тіла до іншого.
Для прикладу розглянемо перетворення потенціальної енергії на кінетичну і навпаки під час вільних коливань маятника (рис. 38.1). Вважатимемо, що тертя нехтовно мале. За нульовий рівень оберемо найнижче положення кульки (положення рівноваги).
Відхилимо кульку від положення рівноваги. У цій момент кулька перебуває на найбільшій висоті (hmax ) , отже, має найбільшу потенціальну енер-
гію (Wп. max = mghmax ) . Кулька не рухається (v = 0), тому її кінетична енергія дорівнює нулю (Wк = 0). Коли кулька починає рух, швидкість її руху поступово збільшується, відповідно зростає й кінетична енергія кульки.
У момент, коли кулька опускається до точки свого найнижчого положення (h = 0), її потенціальна енергія зменшується до нуля (Wп = mgh = 0). У цей момент швидкість руху кульки є найбільшою, відповідно найбільшою
|
2 |
|
є її кінетична енергія Wк. max = |
mvmax |
. |
|
|
2 |
|
|
|
v = 0 |
|
v = 0 |
Wп. max |
|
|
W |
п. max |
|
|
|
|
|
|
hmax |
|
vmax |
Нульовий |
|
рівень |
|
Wк. max |
|
|
|
Рис. 38.1. Під час коливань нитяного маятника відбувається постійне перетворення по тенціальної енергії кульки на її кінетичну енергію, і навпаки
За рахунок запасу кінетичної енергії кулька продовжує рух вліво, піднімаючись усе вище, внаслідок чого зростає її потенціальна енергія. Натомість швидкість руху кульки зменшується, відповідно зменшується її кінетична енергія. Нарешті кулька знову зупиниться на висоті hmax — її кінетична енергія перетвориться на нуль, а потенціальна енергія сягне найбільшого значення. Таким чином, під час коливань маятника один вид механічної енергії переходить в інший: потенціальна енергія перетворюється на кінетичну, і навпаки.
Подібні перетворення механічної енергії спостерігаються й під час інших коливань, наприклад під час коливань натягнутої струни (рис. 38.2). Спробуйте самостійно пояснити перетворення енергії під час таких коливань.
|
|
§ 38. Закон збереження і перетворення механічної енергії |
|
2 |
Відкриваємо закон збереження механічної енергії |
|
Наведемо ще один приклад — рух металевої кульки, яку кинуто вго- |
|
|
|
ру (рис. 38.3). Оскільки висота, на якій перебуває кулька відносно поверхні |
|
Землі зростає, то зростає і потенціальна енергія кульки. Швидкість руху |
|
кульки зменшується, відповідно зменшується її кінетична енергія. Досліди |
|
свідчать, що за умови відсутності сили опору повітря кінетична енергія |
|
кульки зменшується на стільки, на скільки збільшується її потенціальна |
|
енергія, і навпаки, тобто повна механічна енергія системи «кулька — Зем- |
|
ля» не змінюється. |
|
|
Те саме можна сказати і про енергії маятника та струни під час їхніх |
|
коливань: за відсутності сил тертя їх повна механічна енергія залиша- |
|
ється незмінною. |
|
|
Теоретичні та експериментальні дослідження дозволили сформулювати |
|
закон збереження механічної енергії: |
У системі тіл, які взаємодіють одне з одним тільки силами пружності та силами тяжіння, повна механічна енергія не змінюється:
Wк0 + Wп0 = Wк + Wп ,
де W0 = Wк0 + Wп0 — повна механічна енергія системи тіл на початок спостереження; W = Wк + Wп — повна механічна енергія системи тіл у кінці спостереження.
|
3 |
Дізнаємося, що відбувається з енергією, якщо в системі існують |
|
сили тертя |
|
|
Наголосимо ще раз, що закон збереження механічної енергії справджується лише в тому випадку, коли немає втрат механічної енергії, зокрема за умови відсутності сили тертя. Якщо враховувати тертя, то повна механічна енергія системи з часом зменшується, але це не означає, що енергія взагалі зникає. Якщо в системі існує сила тертя, то механічна енергія (або її частина) перетворюється на внутрішню.
Рис. 38.2. Взаємне перетворення потенціальної і кінетичної енергій триватиме доти, доки струна коливатиметься
v1 |
> v2 |
|
|
|
|
v=0 |
h1< h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
|
|
hmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 38.3. Під час руху кульки вгору її потенціальна енергія збільшується, а кінетична — зменшується
233
Розділ 4. МЕХАНІЧНА РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ
Рис. 38.4. Колесо потяга під час гальмування
Як приклад розглянемо гальмування потяга. Коли машиніст потяга натискає на гальмо, гальмівні колодки притискуються до коліс (рис. 38.4). Унаслідок дії сили тертя ковзання швидкість обертання колеса, а отже, й швидкість руху потяга зменшується. При цьому, якщо доторкнутися до колеса відразу після гальмування, то можна обпектися, так сильно воно нагрівається.
Отже, кінетична енергія потяга перетворилася на внутрішню енергію гальмівних колодок, колеса та навколишнього середовища.
|
4 |
Учимося розв’язувати задачі |
|
Задача 1. Тіло масою 1 кг без початкової швидкості падає на поверхню |
|
|
|
Землі з висоти 20 м. На якій висоті кінетична енергія тіла дорівнюватиме |
|
100 Дж? Опором повітря знехтуйте. |
|
Дано: |
Аналіз |
фізичної |
проблеми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wп0 = mgh0 |
|
m =1 кг |
Оскільки |
опір |
повітря відсут- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wк0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
v0 |
=0 |
|
|
ній, то повна механічна енергія |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wп = mgh |
|
h0 |
=20 м |
системи «тіло — Земля» не змі- |
|
|
|
h0 |
|
|
|
|
|
W =100 Дж |
нюється. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
к |
≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
Виконаємо |
пояснювальний |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g =10 |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рисунок, |
на |
якому |
зазначи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Нульовий рівень |
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мо положення тіла на початку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h — ? |
і в кінці спостереження. За нульовий рівень оберемо по- |
|
верхню Землі. Задачу розв’язуватимемо в одиницях СІ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пошук математичної моделі, розв’язання. За законом |
|
|
|
|
|
збереження механічної енергії: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wп0 + Wк0 = Wп + Wк . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На початковій висоті h0 : |
|
|
На шуканій висоті h: |
|
|
|
|
|
Wп =mgh0 ; |
|
|
|
|
Wп =mgh; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wк0 =0 (оскільки v0 =0 ). |
|
|
Wк = 0 (оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тіло рухається). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже: mgh0 + 0 = mgh + Wк . |
|
|
|
Wк |
|
|
|
|
|
|
|
|
Звідси маємо: mgh = mgh − W |
h = h |
− |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
к |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевіримо одиниці, визначимо числове значення шу- |
|
|
|
|
|
каної величини: [h] = м − |
Дж |
|
|
|
= м − |
Дж |
= м − |
Н м |
= м ; |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = 20 − 10010 = 20 −10 = 10 (м).
Відповідь: кінетична енергія тіла дорівнює 100 Дж на висоті 10 м.
§ 38. Закон збереження і перетворення механічної енергії
Задача 2. Тіло кидають вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. На якій висоті потенціальна енергія тіла дорівнюватиме його кінетичній енергії? Опором повітря знехтуйте.*
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналіз фізичної проблеми. Оскільки опір повітря |
v0 =20 |
|
м |
|
|
|
відсутній, то повна механічна енергія системи «тіло — |
|
с |
|
|
|
Земля» не змінюється. Оберемо за нульовий рівень по- |
|
|
|
|
|
|
тенціальної енергії рівень, з якого кидають тіло. За- |
Wп =Wк |
|
|
|
|
|
|
дачу розв’язуватимемо в одиницях СІ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
м |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g =10 |
|
=10 |
|
|
Пошук математичної моделі, розв’язання. За за- |
кг |
с2 |
|
|
|
h0 =0 |
|
|
|
|
|
|
|
коном збереження механічної енергії: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wп0 + Wк0 |
= Wп + Wк . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h — ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На початковій висоті h0 : |
|
На шуканій висоті h: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wп0 =0 (оскільки h0 =0 ); |
Wп =mgh; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
mv2 |
|
|
|
W =W — за умовою |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к0 |
2 |
|
|
|
|
к |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задачі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv2 |
= mgh + mgh. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, маємо: |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З отриманого рівняння дістанемо шукану висоту: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
=2mgh; mv2 =4mgh , звідки: h = |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевіримо |
одиниці, |
|
визначимо |
|
|
числове |
зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чення |
шуканої |
величини: [h] = |
|
|
с2 |
|
|
= |
м2 |
|
с2 |
= м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
с2 |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = |
400 |
= 10 (м). |
|
|
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь: на висоті 10 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підбиваємо підсумки
Потенціальна енергія тіла (системи тіл) може перетворюватися на кінетичну енергію, і навпаки.
Закон збереження механічної енергії: у системі тіл, які взаємодіють одне з одним тільки силами пружності та силами тяжіння, повна механічна енергія не змінюється:
Wп0 + Wк0 = Wп + Wк .
Якщо в системі існує тертя, то повна механічна енергія з часом зменшується: механічна енергія перетворюється на внутрішню.
* Оскільки W = |
mv2 |
, |
то |
між одиницями енергії є таке співвідношення: |
к |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дж = Н м = кг |
м2 |
|
|
Н |
= |
м |
. |
с2 |
|
|
|
|
|
кг |
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
235 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розділ 4. МЕХАНІЧНА РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ
Контрольні запитання
1. Наведіть приклади перетворення потенціальної енергії тіла на кінетичну і навпаки. 2. Сформулюйте закон збереження механічної енергії. 3. За яких умов виконується закон збереження механічної енергії? 4. Наведіть приклади, коли повна механічна енергія не зберігається. 5. Чи порушується закон збереження енергії, якщо в системі є тертя?
Вправа № 38
1.Шайба скочується з льодової гірки на асфальт і зупиняється. Чи виконується в цьому випадку закон збереження механічної енергії?
2.Пружинний пістолет заряджають кулькою і стріляють угору. Які перетворення енергії при цьому відбуваються?
3.Початкова потенціальна енергія тіла, яке перебуває в стані спокою на певній висоті, дорівнює 400 Дж. Тіло відпускають. Якою буде кінетична енергія тіла в момент, коли його потенціальна енергія становитиме 150 Дж? Опором повітря знехтуйте.
4.Тіло кидають угору, надаючи йому кінетичної енергії 300 Дж. На певній висоті кінетична енергія тіла зменшиться до 120 Дж. Якою буде потенціальна енергія тіла на цій висоті? Опором повітря знехтуйте.
5.Тіло, що перебувало в стані спокою, падає з висоти 20 м. На якій висоті швидкість руху тіла дорівнюватиме 10 м/с? Опором повітря знехтуйте.
6.Камінь масою 500 г кинули вертикально вгору зі
швидкістю 20 м/с. Знайдіть кінетичну і потенціальну енергії каменя на висоті 10 м.
7. М’яч кинуто під кутом до горизонту зі швидкістю
8 м/с. Визначте, на який висоті швидкість руху м’яча зменшиться вдвічі. Опором повітря знехтуйте.
8.На рисунку подано графік швидкості руху вантажівки масою 4 т. Знайдіть кінетичну енергію вантажівки через 15 с після початку спостереження.
Експериментальне завдання
Підкиньте вгору якесь невеличке тіло (наприклад, сірникову коробку) і спіймайте його. Спробуйте визначити початкову швидкість руху тіла та швидкість руху тіла в момент дотику до вашої руки. Висоту, на яку піднялося тіло, виміряйте або оцініть на око. Опором повітря знехтуйте.
Фізика і техніка в Україні
Історія Львівського національного університету ім. І. Франка починається в ХVІІ ст.: у 1661 р. польський король підписав диплом, що надавав єзуїтській колегії у Львові «гідність академії і титул університету».
За століття, що минули з того часу, університет став одним із найпрестижніших освітніх закладів України. Зараз тут навчається понад 12 тис. студентів; у складі професорсько-викладацького колективу по-
над 150 докторів наук, професорів, близько 600 кандидатів наук, доцентів. Налагоджені наукові зв’язки з університетами Росії, Угорщини, Німеччини, Франції, Бельгії, Австрії, Великої Британії, Канади, США та ін. Особливо тісними є контакти з польськими навчальними закладами та науковими установами.
