Контрольная работа №2

Применение «венгерского» алгоритма к поиску организационно-управленческого решения некоторых задач логистики, формализованных в виде «задачи о назначении (ЗОН)».

Вариант 6.

Выполнил: студент группы КС-50 Богданов В.А.

Проверил: профессор, д.т.н. Мешалкин В.П.

Построить двудольный граф, отображающий все возможные варианты назначений

X₁ Y₁

X₂ Y₂

X₃ Y₃

X₄ Y₄

X₅ Y₅

X₆ Y₆

1. Полное паросочетание:

X₁ Y₁

X₂ Y₂

X₃ Y₃

X₄ Y₄

X₅ Y₅

X₆ Y₆

оно же будет максимальным паросочетанием

минимальное покрытие:

Покрытие наименьшей мощности (иногда его также называют минимальным покрытием), обозначается W0, это покрытие с наименьшим числом дуг. Очевидно что |W0| не меньше max(|X|,|Y|), в нашем случае W0=6.

X₁ Y₁

X₂ Y₂

X₃ Y₃

X₄ Y₄

X₅ Y₅

X₆ Y₆

минимальная опора:

Опора простого графа G(V,E) – это любое подмножество его вершин , т.ч. инцидентной одной из вершин этого подмножества. Минимальная опора – S0 – это подмножество вершин S, обладающее рассмотренным свойством и при этом минимально возможной мощностью, например (Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6)

2. с использованием венгерского алгоритма определить минимальные суммарные затраты (издержки) на хранение 6-ти наименований готовой химической продукции некоторой ПХО в 6-ти различных складских помещениях.

1 Формирование исходной матрицы назначений:

[X]=

1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	1	0	1	1
1	1	1	0	1	1
0	0	1	1	1	1

матрица А¹:

2 формирование матрицы [A2]: из всех элементов столбца вычитаем минимальный по этому столбцу элемент, тоже самое со строкой.

[A3]=

5	0	б	3	0	3
7	3	11	0	б	5
2	б	0	4	6	4
11	0	10	б	4	1
0	1	0	б	0	0
б	б	1	3	0	8

3 Нахождение полного паросочетания (ищем решение с нулевым значением R для матрицы [А2], если такое решение удается найти, то оно будет оптимальным и соответствующая ему матрица Х будет насыщенной.

[X2]=

0	1	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	0

[X3]=

0	1*	0	0	x1	0
0	0	0	1*	0	0
0	0	1*	0	0	0
0	X1	0	0	0	0
1*	0	X1	0	X1	x1
0	0	0	0	1*	0

Получили полное паросочетание, но оно не максимально.

4.1 Отметить символом «+» все строки и столбцы в матрице X3 в которых находятся помеченные звездочкой единичные элементы.

0	1*	0	0	x1	0	+
0	0	0	1*	0	0	+
0	0	1*	0	0	0	+
0	X1	0	0	0	0
1*	0	X1	0	X1	x1	+
0	0	0	0	1*	0	+
+	+	+	+	+

4.2 Процедура перестановки пометок.

Идти лесенкой со столбца без «+» снимая и ставя пометки.

0	x1	0	0	1*	0	+
0	0	0	1*	0	0	+
0	0	1*	0	0	0	+
0	1*	0	0	0	0
X1	0	X1	0	X1	1*	+
0	0	0	0	x1	0	+
+	+	+	+	+

Перестановкой пометок не удается установить максимальное паросочетание.

5 Нахождение минимальной опоры по матрице назначений Х3.

0	1*	0	0	X1	0	(3)
0	0	0	1*	0	0	+
0	0	1*	0	0	0	+
0	X1	0	0	0	0	(1)
1*	0	X1	0	X1	x1	+
0	0	0	0	1*	0	(5)
+	(2)	+	+	(4)

Минимальная опора найденная по матрице Х3: (Х1, Х5, Y1,Y3,Y6).

6 Возможная перестановка некоторых единиц.

Во взвешенной матрице назначений А3 отметим минимальною опору

5	0	б	3	0	3
7	3	11	0	б	5	------
2	б	0	4	6	4	------
11	0	10	б	4	1
0	1	0	б	0	0	------
б	б	1	3	0	8
	|			|

Выберем из элементов взвешенной матрицы А3через которые не проходят пунктирные линии единичные элементы а46 и а63, вычтем из элементов всех тех столбцов через которые не проходят пунктирные линии минимальный элемент 1 и прибавим к элементам всех тех строк через которые пунктирные линии проходят, таким образом изменяется общее решение.

[А4]=

5	0	б	3	0	2
7	3	11	0	б	5
2	б	0	4	6	4
11	0	9	б	4	0
0	1	0	б	0	0
б	б	0	3	0	7

[X4]=

0	1	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	1
1	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	0

Найдем максимальное паросочетание по матрице назначений Х4:

[Х5]=

0	1*	0	0	Х1	0
0	0	0	1*	0	0
0	0	1*	0	0	0
0	Х1	0	0	0	1*
1*	0	Х1	0	Х1	Х1
0	0	Х1	0	1*	0

Получилась насыщенная матрица, взвешенная матрица соответствующая насыщенной имеет вид:

[А*]=

12	7*	б	10	8	13
9	5	13	2*	б	10
7	б	5*	9	12	12
13	2	12	б	7	6*
2*	3	2	б	3	5
б	б	5	7	5*	15

Суммарные затраты(издержки) на хранение 6-ти наименований готовой химической продукции некоторой ПХО в 6-ти различных складских помещениях:

Затраты=7+2+5+6+2+5=27 у.е.