Потенциал.

Электростатическое поле можно описать не только с помощью вектора . Существует и другой адекватный способ описания — с помощью потенциала (заметим сразу, что оба эти способа однозначно соответствуют друг другу). В дальнейшем убедимся, что второй способ обладает рядом существенных преимуществ.

Тот факт, что линейный интеграл (2.1), представляющий собой работу сил поля при переме­щении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат, убыль которой

(2.4)

где и— значения функциив точках 1 и 2. Так определенная величинаназывается потенциалом поля.

Из сопоставления выражения (2.4) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал — это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.

Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение . Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.24) однозначно. Если изменить на некоторую величину , то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.

Таким образом, потенциал определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последняя же определяется, как станет ясно из дальнейшего материала, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.

Единицей потенциала является вольт (В).

Связь потенциала и напряженности электростатического поля.

Зная напряженность электростатического поля в каждой его точке, разность потенциаловмежду 1-й и 2-й точками этого поля можно вычислить следующим образом:

(2.4)

Здесь интегрирование ведется (в силу потенциальности электроста­ти­чес­кого поля) вдоль любой линии L, соединяющей 1-ю и 2-ю точки.

Если известно значение потенциала в любой точке поля, то напряженность его в какой-либо точке этого поля можно определить из соотношения

(2.5)

где - градиент потенциала, под которым подразумевается вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку поля, и равный по модулю производной от по направлению нормали к этой поверхности. То есть

(2.6)

В частности, в декартовой системе координат соотношение (2.5) имеет следующий вид:

(17)

Градиент потенциала характеризует быстроту возрастания потенциала в направлении нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. вдоль силовой линии. В формуле (2.5) знак «минус» показывает, что вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала.

Потенциал φ электри­ческого поля, создаваемого точечным зарядом q определяется по формулой

(2.7)

где - электрическая постоянная;ε - диэлектрическая проницаемость среды; - радиус – вектор, направленный от заряда к рассматриваемой точке поля;.(Доказательство на лекции.)

Принцип суперпозиции. Если электри­ческое поле создается несколькими точечными зарядами, то согласно принципу суперпозиции, результирующий потенциал в любой его точке вычисляется по формуле:

(2.8)

Отметим, что при наложении полей напряженности складываются геометрически (по правилу параллелограмма), а потенциалы – алгебраически (как числа). Используя формулы (1.4) и (2.8), можно вычислить напряженность электрического поля, создаваемого любыми заряженными телами. Для этого заряженное тело разбивают на бесконечно малые части и, рассматривая каждую из них как точечный заряд, вычисляют напряженность поля по принципу суперпозиции.