Федун В. И. Конспект лекций по физике Молекулярная физика и термодинамика

Лекция 14. Элементы статистической физики.

13. 1. Основные понятия.

Сугубо механистический подход при описании систем с достаточно большим количеством частиц (число частиц сравнимо с числом Авагадро) оказывается неприемлемым. Достаточно оценить время, которое нужно потратить только на запись одних уравнений движения частиц, чтобы убедится в этом.

В системах с большим количеством частиц, находящихся в неизменных внешних условиях, состояние каждой частицы задано произвольным (случайным) образом. К тому же процессы взаимодействия между частицами носят случайный (стохастический) характер. Но что замечательно во всей картине таких систем, так это их неизменность во времени, если рассматривать эти системы через определенные (превышающие некоторую определенную для этой системы величину) интервалы времени.

Оказывается, случайности для систем многих тел подчинятся некоторым достаточно строгим законам, - законам статистики.

Основной задачей статистики вообще является нахождение закона распределения , т.е. определения относительного числа частиц, приходящегося на единичный интервалнекоторой величины.

Классическая статистическая физика строится на следующих принципах:

- принцип детального равновесия, который формулируется так. Если частицы некоторой системы в состоянии ииспытывают взаимодействия, при котором их состояния изменяются, то в коллективе частиц этой системы всегда найдутся такие частицы, что в процессе взаимодействия они примут состоянияи.

- принцип равнораспределения энергии по степеням свободы утверждает, что на каждую степень свободы приходится энергия , среднее значение которой. Отметим, что на колебательные степени свободы приходится среднее значение энергии, гдеи- средние значения кинетической и потенциальной энергии частицы при колебаниях.

Поскольку процессы взаимодействия и состояния частиц в таких системах носят случайный характер, то возникает необходимость введения такого понятия как вероятность. Если в одинаковых испытаниях событиенаблюдается висходах, то говорят, что событиенаступает с вероятностью.

13. 2. Распределение Максвелла (по скоростям).

Рассмотрим изолированную систему. Мысленно разделим ее на 2 части. Тогда вероятность того, что первая часть системы находится в состоянии , обозначим через, а вероятность того, что вторая часть системы находится в состоянии, через. Состояние всей системыесть совокупность состоянийиее двух частей. Вероятность такого состояния системы обозначим через.

Определим каким образом связаны вероятности ,и. Так как состояние одной из частей системы не влияет на состояние ее другой части, т.е. выражаясь языком математики событияиявляются независимы­ми, то вероятность одновременного наблюдения этих событий определяется по формуле условной вероятности

(13.1)

Априори примем, что вероятность есть функция энергии, которая полностью описывает состояние системы, т.е.. Заметим, что энергия есть величина аддитивная, и поэтому энергиявсей системы есть сумма энергийиее частей, т.е.

(13.2)

Как показывает математика, соотношения (13.1) и (13.2) справедливы одновременно только в том случае, если

(13.3)

Поясним, почему поставили здесь поставили знак «минус». Так как сумма вероятностей всех возможных состояний системы

,

(13.4)

а из математики известно, что ряд сходится, если, и, если, то аргумент экспоненты должен быть величиной отрицательной.

Рассмотрим случай, когда частицы обладают равной потенциальной энергией. При этом все частицы одинаковы.