MathCad / Лабораторная работа 03-MathCad

Лабораторная работа 3

Тема: РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Часть1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ФОРМУЛАМ КРАМЕРА

Рассмотрим решение линейных систем по формулам Крамера.

Пусть

система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

Матрица называется матрицей системы, а вектор-столбец – столбцом правых частей системы. Рассмотренная система линейных алгебраических уравнений может быть записана в матричной форме в виде , где – вектор-столбец неизвестных .

Справедливо следующее утверждение. Если определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение , определяемое формулами Крамера , где определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы системы заменой -го столбца столбцом правых частей .

Пример выполнения работы

Задание. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы

Указание:

1. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3. Введите матрицу и столбец правых частей.

4. Вычислите определитель матрицы.

5. Вычислите определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей.

Указание. Для вычисления определителей проще всего скопировать матрицу в буфер обмена (<Ctrl>+<C> или пункт Copy меню Edit), затем вставить в помеченной позиции матрицу из буфера обмена (<Ctrl>+<V> или пункт Insert меню Edit) и затем заменить элементы соответствующего столбца элементами столбца правых частей.

6.Найдите по формулам Крамера решение системы.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение системы, приведен ниже.

Часть 2. МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

Эта система в "свернутом" виде может быть записана в виде

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде , где

Матрица , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы.

Матрица-столбец , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы.

Матрица-столбец , элементы которой искомые неизвестные, называется решением системы.

Таким образом, система линейных алгебраических уравнений может быть записана в матричном виде в виде простейшего матричного уравнения .

Матричным уравнением называется уравнение, коэффициенты и неизвестные которого – прямоугольные матрицы соответствующей размерности

Если матрица системы невырождена (невырожденной называется матрица, определитель которой отличен от нуля.), то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения слева на матрицу: , а поскольку и , то .

Пример выполнения работы

Решите систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде

Указания:

1. Установите режим автоматических вычислений.

2. Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.

3. Вычислите решение системы по формуле .

4. Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения.

5. Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты вычислений.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение системы, приведен ниже.

Указание. В приведенном документе для сравнения найдено решение системы с использованием функции решения систем линейных алгебраических уравнений lsolve(A,b).

Задание на лабораторную работу: Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

Индивидуальные задания к лабораторной работе.

Исследуйте и, если решение существует, найдите:

1 решение системы по формулам Крамера;

2. решение матричного уравнения (системы линейных алгебраических уравнений) в матричном виде.

Номер варианта	Матрица системы	Правая часть системы