Методичка по Маткаду

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

Тема: Решение уравнений и систем уравнений.

Цель: научиться решать квадратные уравнения, уравнения с одной производной, а также системы и нелинейных уравнений, используя возможности программы Mathcad.

ХОД РАБОТЫ

1. Простейший способ найти корень уравнения с одним неизвестным обеспечит функция root. Например, необходимо найти корень

трансцендентного уравнения x cos x . Зададим начальное значение x 1 ,

решение дается функцией root x cos x , x 0.74

Точность вычислений задаётся системной переменной TOL, равной по умолчанию 10 3 и определённой в меню Math Options.

Проиллюстрируем полученное решение.

TOL : 10 8 x : 1 x0 : root x cos x , x

x0 0.739

x : 0,0.05..1

Здесь мы явно изменили значение системной переменной TOL.

x0 – переменная с текстовым индексом, который вводится при помощи

точки: x.0. Текстовый индекс – это просто декоративное украшение, он является составной частью имени переменной.

Отметим ещё, что при выводе результата отображается только 3 значащих цифры после десятичной точки. Эту установку можно изменить в меню Format Number в переменной Displayed Precision.

Используя возможности программы Mathcad, можно найти корни

31

2

Определим функцию: f x : 3 e 3x 3 x3 ex .

Зададим начальное приближение для поиска корня x : 1. Если уравнение имеет несколько корней, для поиска нового корня следует задавать новое начальное приближение. Для поиска комплексных корней следует задавать комплексное начальное приближение. Получаем искомое решение:

натыкается на локальный минимум функции, при этом появляется сообщение “отсутствие сходимости” (испытайте на данном примере начальное приближение х=10). В таком случае следует попробовать другое начальное решение.

2. Программа Mathcad позволяет находить корни многочлена любой

2 r : polyroots v . Получаем корни: r .

4

3.Поиск корней при помощи блока Given .........Find(...)

x: 1

y: 1

Здесь могут решаться уже системы уравнений с несколькими неизвестными, однако, как и в предыдущем случае, необходимо задание начальной точки от которой будет происходить поиск решения. Решение ищется методом итераций и при наличии нескольких корней, очевидно, будет найдено лишь ближайшее решение, если оно существует.

Given

x3 sin( y) 25 y2 cos(x) 27

x

Find (x y)

y

Используя блок решения уравнений, Mathcad находит решение системы n нелинейных уравнений с n неизвестными.

32

Зададим начальные приближения для всех неизвестных: x : 1 y : 1

z : 0 .

Вводим уравнения в блок решения уравнений:

Given (начало блока–дано)

2 x y 5 2 z2

y3 4 z 4

x y z ez

vec : find x, y, z (конец блока–найти)

Найденное решение:

Таким же образом можно решать и системы линейных уравнений, однако приходится задавать начальную итерацию, потому системы линейных уравнений лучше решать матричным методом.

4. Поиск решения при помощи блока Given .........Minerr(...).

Практически то же, что и в предыдущем случае, однако здесь решение будет найдено в любом случае, даже при его отсутствии. Дело в том, что здесь ищется не решение системы, а минимальная невязка уравнений. Рассмотрим функцию, заведомо не имеющую действительных корней и найдем точку, в которой эта функция наиболее приближена к оси Ох.

При построении графика необходимо указать начальное значение

Для этого простого случая очевидно, что наименьшая невязка функции будет при x=1.

33

x 0 Given

y(x) 0

Minerr(x) 1

Первая строка даёт нам решение х=1, а системная переменная ERR показывает невязку уравнения.

ERR 0.5

Аналогично решаются и более сложные уравнения или их системы.

5. Решим матричным способом систему линейных уравнений:

0.3w 0.2x 6.6y 1.1z 1

4.5w 1.8x 0.3y 6.5z 0.1

7.3w 9.7x 10.9y 4.4z 0.01

8.1w 2.7x 8.7 y 8.9z 0.001

б) в виде отдельных элементов:

В этом случае доступ к элементу матрицы производится по индексу, отсчитывая от 0. Вектор-столбец имеет один индекс, который вводится при помощи символа левой квадратной скобки – [. Например, решение рассмотренной выше задачи можно вывести так:

34

Двумерный массив имеет уже два индекса, также отсчитываемые от 0,

первый из них нумерует строки, второй – столбцы. Так, для матрицы А, это

6. Для решения систем линейных уравнений можно использовать и встроенную функцию lsolve(...).

Пусть задана система линейных уравнений:

2x 3y 1

x 5y 0

Матрицы коэффициентов:

1 5

1

0

а) Система может быть представлена как A X B , её решение:

0.385

lsolve A, B 0.077

Ищем решение матричным способом:

X : A 1 B

0.385

X 0.077

б) Решим эту же систему при помощи блока Given ... Find(...)

Given

2 x 3 y 1

x 5 y 0

X Find(x y)

0.077

7.Решение уравнений в символьном виде.

Некоторые уравнения Mathcad может разрешить в символьном виде. Для этого существуют три возможности:

первая – это использование меню Symbolics,

35

вторая – использование оператора solve, x

третья – использование блока Given .... Find(...) .

Например, запишем квадратный трёхчлен, выделим переменную x и выберем в меню пункт Symbolics Variable Solve. Получим решение в символьном виде.

Для того, чтобы решение было записано справа от выражения,

При использовании оператора необходимо иметь в виду, что переменные не должны быть определены заранее; так попытка раскрытия квадратного уравнения

a x2 b x c solve x приведёт к ошибке однако, квадратный трёхчлен

раскрывается вполне удовлетворительно.

Попробуем теперь решить систему линейных уравнений.

Given

1 8

Вданном случае, нам пришлось вводить неиспользованные до сих пор переменные u v, поскольку переменные x и y уже определены. Обойти эти

36

трудности можно довольно просто, если решить уравнение на новом рабочем листе.

Покажем ещё решение для полинома третьего порядка. a : 1 b : 1 c : 1 d : 1

i

Мы определили заранее значение констант, в противном случае решение получится в общем виде и на лист не помещается. Попробуйте его вывести и посмотрите, что получится.

8. Выполните индивидуальное задание, показать результат преподавателю и оформить отчет по лабораторной работы.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Задание для всех вариантов.

1. Решить систему линейных уравнений матричным способом.

3.Решить уравнение в символьном виде.

1.x3 a 0

2.x5 b a x4 abx3 ax2 ax b a a2b 0

3.x5 bx4 a4 x a4b 0

4.x4 2x3 1 a x2 4a 1 2x 1 a 4a 0

5.x5 3x4 a b3 x3 3 b3 a x2 ab3 x 3ab3 0

6.x5 ax3 2x2 2a 0

38

7.x7 ax5 x2 a 0

8.2x 2 a b 0

9.ln sin x 2a 0

10.e 2 x 2a 0

11.sin ax cos ax 0

12.sin ax tgax 0

13.e ax eax 0

14.e ax eax 1 0

15.e ax eax ln a 0

16.ae x bex 0

17.a sin x b cos x 0

18.x5 a 0

19.x6 ax4 x a 0

20.3x 5 a b 0

39