2. Обробка результатів вимірювань

2.1. Основні поняття і розрахункові співвідношення

2.1.1. Обробка результатів одноразових вимірювань

Маємо результати спостережень у вигляді: Х₁, Х₂, …, Х _і .

Результати одноразових вимірювань обробляють для знаходження справжнього значення виміряної величини :

(2.1)

де X - показ приладу, ∆Х_сум - сумарна похибка вимірювання, яка складається з основної і додаткових складових апаратурної похибки, а також методичної похибки.

Якщо вимірювання роблять за нормальних умов, а методичні похибки не виникають, і якщо відомий клас точності засобу вимірювання, то можна знайти припустимі границі основної апаратурної похибки останнього , а за нею - границі похибки даного одноразового вимірювання . Наприклад, результат вимірювання струму І = 6,8 А амперметром з номінальним струмом I_н = 10,0 А класу точності 1,0 (= = 0,1 А) дорівнюватиме I₀ = = (6,8 ± 0,1) А.

Якщо вимірювання виконують при відхиленні від нормальних умов експлуатації і крім припустимих границь похибки засобів вимірювання відомі також і границі додаткових, методичних та інших похибок, то похибки вважають випадковими, розподіленими рівномірно й симетрично в межах ±∆_і . Сумарна похибка

, (2.2)

де К - коефіцієнт, який залежить від величини довірчої імовірності (при довірчий імовірності р = 0,95 він дорівнює 1,1, а при р = 0,9 дорівнює 0,95).

Сумарна похибка одноразового вимірювання у відносній формі

(2.3)

де δ - складові відносної сумарної похибки засобів вимірювання (основні, додаткові, методичні).

Якщо відомий клас точності засобів вимірювання, то граничні значення основної та додаткових складових похибок вимірювання можна визначити для кожної з чотирьох груп цих приладів.

Якщо виявиться, що похибка одноразового вимірювання вища від припустимої за умовами експерименту, то застосовують більш точний засіб вимірювання, або виконують прямі вимірювання з багаторазовими спостереженнями.

2.1.2. Обробка результатів прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями

Результати прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями оброблюють для одержання найбільш вірогідного значення вимірюваної величини і оцінки похибки. Під час статистичної обробки результатів спостережень виконують такі операції:

- виявляють і вилучають з результатів спостережень систематичні похибки;

- обчислюють середнє арифметичне результатів спостережень, вважаючи його результатом вимірювання

, (2.4)

де n - кількість спостережень;

- обчислюють середньоквадратичне відхилення результату вимірювань

; (2.5)

- обчислюють довірчий інтервал (границю) випадкової похибки результату вимірювання ∆_в . При нормальному законі розподілу похибок і 30 довірчий інтервал

, (2.6)

де Z - коефіцієнт, який залежить від величини довірчої імовірності Р . Якщо n < 30, то для оцінки довірчого інтервалу використовують розподіл Стьюдента

, (2.7)

де t_np – коефіцієнт Стьюдента, який залежить від кількості спостережень n і довірчої імовірності P ; його числові значення наведено в табл. Д.4.;

- записують результат вимірювання , зазначаючи границі випадкової похибки і довірчої імовірності:

(2.8)

Обробивши результати спостережень і вимірювання, їх подають у цифровій формі. Округлюючи числове значення похибки, записують два старших десяткових розряди, якщо старший розряд є цифрою 1 чи 2. Якщо старший розряд похибки виражено числом 3 і більше, в числовому значенні похибки записують тільки один старший розряд. Вага молодшого розряду результату вимірювання має збігатися з вагою молодшого розряду похибки. Якщо, наприклад, результат вимірювання до округлення мав вигляд Uo = (15,3715± 0,052) В, (Р= 0,9), то після округлення його записують так: Uo = (15,37 ± 0,05)В, (Р =0,9).

2.1.3. Визначення аналітичних залежностей за експериментальними даними

Розглянемо випадок, коли керована величина У пов’язана з однією незалежною змінною величиною Х функціональною залежністю виду

У =ƒ(Х).

По закінченні експеримента, що проводився, отримуємо таблицю, яка має для визначених значень величини Х_і , що завдавалися експериментатором, визначені відповідні значення У_і.

Х1	Х2	Х3	…			Хі
У1	У2	У3	…			Уі

Одержані відліки відмічають на графіку відповідно до обраного масштабу по осях Х та У, в результаті чого отримують „полє” точок Х_{і ,} У_і , як показано

на рис. 2.1.1.

У У У

Х Х Х

а) б) в)

рис. 2.1.1.

Аналізуючи вид отриманих „полів” точок, можна зробити припущення про можливий характер залежності У =ƒ(Х). Наприклад, за характером розташування крапок на графіку рис. 2.1.1, а можна припустити, що шукане равняння повинне мати вигляд прямої

У=А+ВХ, (2.9)

де А і В – сталі невідомі коефіцієнти.

У випадку рис. 2.1.1,б графік схожий на гіперболу, рівняння якої має вигляд

, (2.10)

де А,В,С,D – невідомі коефіцієнти.

У випадку рис. 2.1.1, в крива схожа на параболу, її рівняння має вигляд

У=А+ВХ² . (2.11)

Розглянемо техніку одержання аналітичних залежностей по експериментальних даних на основі графіка рис. 2.1.1, а , тобто в припущенні лінійної залежності У=А+ВХ.

Якби експериментальні дані не були викривлені присутністю похибок, окремі точки точно би «вкладалися» у рівняння і різниці δ_і = У_і – (А+ВХ_і) були б рівні нулю. Тоді для запису аналітичного виразу достатньо було б двох точок, наприклад Х_{1 ,} У₁ та Х_{і ,} У_і . Але ж δ_і ≠ 0, і для отримання кінцевого, найбільш точного, рівняння треба використовувати всі дані.

Застосовуючи принцип Лежандра, можна стверджувати, що найбільш достовірним й прийнятним буде рівняння У =ƒ(Х) з тими значеннями А і В, при яких сума S квадратів різниць приймає найменше значення:

(2.12)

Найменшого значення сума S досягне при таких А і В, при яких вірні рівності

(2.13)

Розв’язуючи систему (2.13) відносно А і В, знайдемо такі їх значення А₀ та В₀ , для яких величина S приймає найменше значення. Підставляючи ці значення в початкове рівняння (2.12), маємо нову систему рівнянь, по який можна визначити остаточні різниці

(2.14)

......................................

.

По значеннях та знаках остаточних різниць δ_оі судять про сприйнятливість припущеного виду функції У =ƒ(Х) використовуючи наступні правила:

1. Якщо всі остаточні різниіці |δ_оі| не перебільшують величини прийнятного значення межі припустимої похибки ∆_п , то отримана аналітична залежність з даними значеннями А і В вважається прийнятною.

2. Якщо деякі окремі значення |δ_оі|>∆_п , але знаки чергуються , то таке рівняння може вважатися прийнятним.

3. Якщо окремі значення |δ_оі|>∆_п і знаки чергуються групами, то таке рівняння непридатне і потрібно шукати новий вираз із членами більш високого порядку.

4. Якщо всі остаточні різниці |δ_оі| більші межі припустимої похибки, то отримана залежність вважається непридатною і вноситься пропозиція про новий вигляд початкового рівняння, тобто шукається рівняння нової конструкції (степеневе, показникове тощо).