3.2. Примеры решения задач к разделу «Физика атома и атомного ядра»

Пример №1. Найти: а) радиус первой боровськой орбиты для однократно ионизированного гелия; б) скорость электрона на ней.

Решение

Электрон в водородоподобном атоме двигается по круговой орбите, поэтому кулоновская сила взаимодействия электрона и ядра является центростремительной силой, то есть

,

где z – номер элемента, е – заряд электрона, Кл, r – радиус орбиты,  – скорость электрона на орбите, ₀ – электрическая постоянная, m – масса электрона, m=9,110^-31 кг.

По второму постулату Бора момент импульса электрона на любой орбите удовлетворяет условие: ,

где n – номер орбиты, h – стала Планка, h=6.6310^-34 Дж·с, r,  – соответственно радиус орбиты и скорость электрона на ней.

Решим систему уравнений:

разделим первое уравнение на второе и получим:

или ,

по условию задачи z=2, n=1.

Соответственно:

 = =,

рассчитаем:

.

По второму постулату Бора определим радиус орбиты:

.

Соответственно:

, если n=1, то ,

рассчитаем:

(м).

Ответ:, м.

Пример №2. Определить, какое количество ядер радиоактивного препарата , взятого в количестве 0,2мг, распадается в течение: а) 2с; б) 1ч.

Дано:

	Решение: Число нераспавшихся радиоактивных ядер за время вычисляется по формуле:, (1) где- исходное число ядер в момент времениt=0; - постоянная радиоактивного распада.
	Тогда число распавшихся ядер за время будет равно:(2)

Постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада Т соотношением: . Число радиоактивных ядер в данной массе вещества вычисляется с помощью закона Авогадро:, (3)

где - масса одного моля;-масса вещества;- число Авогадро.

С учетом значения иформула (2) примет вид:(4).

Если время распада t значительно меньше периода полураспада Т(t<<T), получим: (5). Число распавшихся за время распадаядер вычисляется по формуле (5). Подставим числовые данные и определим. Для второго промежутка временинельзя применить приближенную формулу (5), так как, поэтому вычисление распавшегося числа атомов произведем по формуле (4):

Ответ:

Пример №3. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Дано:

	Решение: Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных протонов и нейтронов, из которых состоят ядра.
	Дефект массы ядра определяется разностью суммы масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра:, (1)

где - порядковый номер элемента (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре);– соответственно масса протона, нейтрона и ядра. Так как в справочных таблицах приводятся массы нейтральных атомов, а не ядер, то дефект массы вычислим по формуле:

. (2)

Так как = , где m - масса изотопа водорода , то формула (2) примет вид: (3)

Подставим в выражение (3) числовые данные и вычислим

В соответствии с законом взаимосвязи массы и энергии, Дж

, (4)

где - энергия связи, численно равная работе, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро на отдельные, не взаимодействующие между собой частицы без сообщения им кинетической энергии; - дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.

Так как дефект массы выражен во внесистемных единицах (а.е.м.), то энергия связи ядра: МэВ (5)

Подставим в формулу (5) числовое значение дефекта массы и вычислим (МэВ).

Ответ: МэВ

Пример №4. Найти удельную энергию связи нуклонов в ядрах и. Ядро какого элемента наиболее устойчиво?

Дано:

	Решение: Удельная энергия связи нуклонов в ядре – это энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Удельная энергия связи может быть вычислена по формуле , (1)
	где – энергия связи нуклонов в ядре, равная ; A- массовое число, указывающее на число нуклонов в ядре; - дефект массы нуклонов в ядре; с2 =931,5 Мэв/а.е.м. – скорость света в вакууме во внесистемных единицах.

Если дефект массы выразить в атомных единицах массы, то энергия связи нуклонов в ядре может быть вычислена по формуле, МэВ

МэВ. (2)

Дефект массы ядра определяется разностью масс свободных нуклонов и массой ядра: (3), где Z – число протонов в ядре – порядковый номер элемента; (А-Z) – число нейтронов в ядре; – соответственная масса протона, нейтрона и ядра элемента. В справочных таблицах приводятся массы не ядер, а нейтральных атомов, поэтому преобразуем формулу (3) так, чтобы пользоваться массой нейтрального атома

(4), где - масса изотопа атома водорода.

Подставим формулу (4) в (2) и полученное выражение в формулу (1), получим формулу для расчета удельной энергии связи

. (5)

Подставим числовые данные и вычислим удельную энергию связи:

Так как удельная энергия связи нуклонов в ядре кобальта больше удельной энергии связи ядра урана, то более устойчиво ядро кобальта.

Ответ: Устойчивее ядро кобальта.

Пример №5 . Вычислить в мегаэлектроновольтах энергию ядерной реакции

. Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

Дано:

	Решение: Чтобы вычислить энергию ядерной реакции необходимо знать дефект массы реакции, так как, где с – скорость света. Есливыражать в а.е.м., формула примет вид:
	. (1)

Дефект массы: . (2)

Так как число электронов до и после реакции сохраняется, вместо значений масс ядер воспользуемся значениями масс нейтральных атомов:

Реакция протекает с выделением энергии, так как >0. Подставив значениев (1), получим

. Реакция экзотермическая.

Ответ: . Реакция экзотермическая.