4.4.4 Рішення системи: таблиця повних потреб

Ми можемо тепер переписувати систему рівняння, щоб виконати очевидні умови для її рішення. Дві заміни вимагаються: 1) оскільки ми припускаємо, що коефіцієнти виробництва стійкі, a_ij*q_jможуть замінятиx_ij, 2) оскільки витрати повинні повернутися в балансі з випусками,q_jзаміняєz_j. Таким чином,

a₁₁q₁'+a₁₂*q₂'+a₁₃*q₃'+a₁₄*q₄'+a₁₅*q₅'+a₁₆*q₆'+ y₁'= q₁'

a₂₁q₁'+a₂₂*q₂'+a₂₃*q₃'+a₂₄*q₄'+a₂₅*q₅'+a₂₆*q₆'+ y₂'= q₂'

a₃₁*q₁'+a₃₂*q₂'+a₃₃*q₃'+a₃₄*q₄'+a₃₅*q₅'+a₃₆*q₆'+ y₃'= q₃'

a₄₁*q₁'+a₄₂*q₂'+a₄₃*q₃'+a₄₄*q₄'+a₄₅*q₅'+a₄₆*q₆'+y₄'=q₄' a₅₁*q₁'+a₅₂*q₂'+a₅₃*q₃'+a₅₄*q₄'+a₅₅*q₅'+a₅₆*q₆'+y₅'=q₅' a₆₁*q₁'+a₆₂*q₂'+a₆₃*q₃'+a₆₄*q₄'+a₆₅*q₅'+a₆₆*q₆'+ y₆'= q₆'

Головна зміна — для кожної перемінної поставлене “майбутнє” значення.

Основа нашого припущення, що технологія виробництва є постійною, тепер ясна. Таким чином, ми зменшили число невідомих від 48 до шести q', і можемо продовжувати вирішувати систему і визначати випуски галузей виробництва в нашій економіці в майбутньому.

Стиснуто, система виражена як:

q^' i =jaij*q^' j + y^' i.

Повне пояснення рішення цієї системи може бути легко виражено апаратом матричній алгебрі і, у цьому випадку, аналогічно простій алгебрі, що використовується моделями економічної бази. Ми бажаємо вирішити так рівняння для q, деqпредставляє векторq_i^'на правій стороні системи рівняння,A представляє матрицюa_ij' на лівій стороні системи, іyпредставляє вектор стовпцяy_iтакож на лівій стороні вищезгаданої системи:

q =A*q + y.

Ми віднімаємо Aqвід обох сторін рівняння,

q — A*q = y

або

(I — A)*q = y

і помножимо обидві сторін на інверсію (I — A)

(I — A)^-1*(I — A)*q = (I — A)^-1_*y,

або, оскільки матриця, помножена на її інверсію, видає одиничну матрицю:

q = (I — A)^-1*y,

ми маємо рішення qу термінахy. Тут,I— одинична матриця, що є матричним еквівалентом числа 1, а показник степені(-1)показує, що вступне вираження інвертоване. Член(I — A)іноді називається “Матрицею Леонтьева” на честь Василя Леонтьева творця економічної теорії “витрати-випуск”;(I-A)^-1, звичайно, називають “Інверсією Леонтьева”. Більш наочна назва — “таблиця повних потреб”.

Таблиця 4.3 показує матрицю повних потреб для гіпотетичної економіки. Кожен запис в обліковому документі показує повні закупівлі виробництвом, що названа у вершині таблиці, від виробництва, що назване ліворуч, для постачання кожної гривні кінцевого попиту. Це речення комплексне і повинно читатися ретельно. У той час як безпосередня матриця потреб протоколювала закупівлі від галузей виробництва, названих ліворуч, у частках гривні (або сотнях грн., якщо виражено у відсотках) вартостей випуску виробництвом, названих у вершині, ця таблиця – таблиця записів усіх закупівель для виконання кінцевого попиту. Як показує назва, таблиця представляє і безпосередні й непрямі потоки. Тепер, давайте вставляти ряди підведення підсумків у таблицю і додавати інші значення до цього. Результат показаний тут як Таблиця 4.4, що названа “множники з виробничим випуском”. Основний ряд, що позначений “повні виробничі випуски”, включає суму виробничих випусків, які необхідні для виробництв, що названі нагорі таблиці, для постачання в вартостях однієї гривні випуску кінцевому попиту (тобто експортувати цю кількість). Таким чином, в експорті однієї гривні випуску промисловий сектор викликав би виробництво іншими галузями виробництва в розмірі 1.67. Це здається чарівним, якщо не неможливим, поки Ви не згадаєте уроки теорії економічної бази. Загальна кількість включає значення подвійних рахунків випусків, куплених і повторно куплених. Оскільки матеріали переносяться від одного робітника до іншого, то вони здобувають щораз більшу кількість значення вартості. Ми пізнаємо це в деталях у наступній главі.

Оскільки сектор домашнього господарства дійсно не “виробництво”, але був включений, щоб ручатися, що усі внутрішні потоки, родинні виробництву підраховані, ми виключаємо це з підсумовування виробничих випусків. Пізніше, ми будемо звертатися з входженнями в ряді домашнього господарства як “множники доходів домашнього господарства”.

Багато років, загальна кількість і виробничих випусків і доходів домашнього господарства в цій таблиці повних потреб розглядалась як “множник випусків”. Це було, однак, неправильно, і більшість аналітиків уникає цієї помилки. Сума в Таблиці 4.4 позначена як “повна діяльність”, але це не має ніякого реального значення поза зауваженням наскрізної передачі грошей в економіці.

Таблиця 4.3. Повні потреби (з домашніми господарствами ендогенними)

Виробництво	Видобуток (1)	Будівництво (2)	Промисловість (3)	Торгівля (4)	Послуги (5)	Витрати Домашнього господарства (6)
Видобуток (1)	1.14	0.03	0.06	0.02	0.02	0.02
Будівництво (2)	0.02	1.01	0.01	0.02	0.04	0.01
Промисловість (3)	0.19	0.26	1.18	0.12	0.13	0.15
Торгівля (4)	0.17	0.21	0.14	1.16	0.17	0.25
Послуги (5)	0.35	0.35	0.28	0.43	1.49	0.50
Домашні господарства (6)	0.69	0.60	0.52	0.80	0.75	1.38

Таблиця 4.4. Множники промислового випуску (з домашніми господарствами ендогенними)

Виробництво	Видобуток (1)	Будівництво (2)	Промисловість (3)	Торгівля (4)	Послуги (5)	Витрати Домашнього господарства (6)
Видобуток (1)	1.14	0.03	0.06	0.02	0.02	0.02
Будівництво (2)	0.02	1.01	0.01	0.02	0.04	0.01
Промисловість (3)	0.19	0.26	1.18	0.12	0.13	0.15
Торгівля (4)	0.17	0.21	0.14	1.16	0.17	0.25
Послуги (5)	0.35	0.35	0.28	0.43	1.49	0.50
Повні промислові випуски	1.86	1.86	1.67	1.75	1.86	0.93
Домашні господарства (6)	0.69	0.60	0.52	0.80	0.75	1.38
Повна “діяльність”	2.54	2.46	2.19	2.55	2.60	2.32

Тепер, коли ми розвили логіку регіональної моделі “витрати-випуск”, і можемо бачити, що це є засіб для розгляду результатів змін в економіці на місцевих галузях виробництва, дозвольте нам повертатися й досліджувати ефект закритої моделі щодо домашніх господарств. Згадаєте, що ми включили сектор домашнього господарства як шосте виробництво у моделі. При цих умовах, таблиця повних потреб розшукує потоки товарів і послуг, необхідних, щоб пристосувати зміни в кінцевому попиті через усі галузі виробництва і через домашні господарства також. Що, якщо сектор домашнього господарства був залишений у кінцевому попиті? Що, якщо ми продовжили звертатися з ним як із позасистемним?

Таблиця 4.5 представляє таблицю повних потреб, що заснована на п'яти-виробничій версії Таблиці 4.2 — матриці безпосередніх потреб. Перевірка сум стовпця в рядах, що мають титул “загальний випуск” у цій таблиці показує важливість сектора домашнього господарства у виробництві нової діяльності в економіці.

Таблиця 4.5. Повні потреби (із домашніми господарствами позасистемними)

Виробництво	Видобуток (1)	Будівництво (2)	Промисловість (3)	Торгівля (4)	Послуги (5)
Видобуток (1)	1.13	0.02	0.05	0.00	0.01
Будівництво (2)	0.01	1.00	0.01	0.01	0.03
Промисловість (3)	0.11	0.19	1.12	0.03	0.05
Торгівля (4)	0.04	0.10	0.05	1.02	0.03
Послуги (5)	0.10	0.14	0.09	0.15	1.23
Загальні випуски	1.40	1.46	1.32	1.21	1.35

Таблиця 4.6. Порівняння множників випусків відповідно до різних припущень домашнього господарства

Промисловість	Множники Випусків із:		Збільшення через включення домашнього господарства (3)	Процентне збільшення через включення домашнього господарства
	Домашні господарства позасистемні (1)	Домашні господарства ендогенні (2)
Видобуток (1)	1.40	1.86	0.46	33
Будівництво (2)	1.46	1.86	0.40	27
Промисловість (3)	1.32	1.67	0.35	26
Торгівля (4)	1.21	1.75	0.54	44
Послуги (5)	1.35	1.86	0.50	37

Таблиця 4.6 порівнює ці таблиці. Тільки включення сектора домашнього господарства веде до збільшень у випусках галузей виробництва (1-5) від 27 до 44 відсотків. (Коли ми включаємо домашні господарства як виробництво і рахуємо потоки, процентне збільшення у випуску підвищується від 66 до 111 відсотків від потоків, заснованих на таблиці, що виключає домашні господарства.) Як ми будемо бачити пізніше в більш детальному обговоренні множників, потоки доходу, викликані домашніми господарствами, важливі для регіонального аналізу “витрати-випуск”, але ми повинні бути обережні, щоб відрізнити збільшення в доходах домашнього господарства від збільшень у виробничих випусках.