7.6. Процеси адіабатного руху газу в потоці і витікання газу

Для рухомого горизонтального потоку газу при адіабатному процесі з (39) можна отримати

dq = d·(і + W²/2 + l_техн ) = 0 (66)

або після інтегрування для ділянки потоку 1–2 при dq = 0 одержимо

W₂²/2 – W₁²/2 + l_техн = і₂ – і₁. (67)

Одержаний вираз є рівнянням першого закону термодинаміки для потоку газу в адіабатних умовах. Кінетична енергія потоку може бути перетворена в інші форми енергії, в роботу або ентальпію. Збільшення кінетичної енергії (W₂² – W₁²)/2 називають роботою витікання.

Алгебраїчну суму технічної роботи l_техн і роботи витікання називають роботою потоку l₀ або розраховуваною роботою

l₀ = (W₂² – W₁²)/2 + l_техн . (68)

Робота потоку є термодинамічною величиною, оскільки пов’язана зі зміною термодинамічного стану робочого тіла. Величина l₀ характеризує ступінь перетворення підведеної до потоку теплоти та ентальпії РТ в механічні форми руху. Збільшення швидкості і кінетичної енергії потоку дає можливість одержати більшу величину роботи.

Таким чином, рівняння першого закону термодинаміки (66) набуває такого змісту для потоку (при q_1-2 > 0)

q_1-2 = і₂ – і₁ + l₀. (69)

Для адіабатного процесу q_1-2 = 0 можна записати

l₀ = і₁ – і₂. (70)

Із (70) випливає ще один фізичний зміст ентальпії – в адіабатному потоці приріст ентальпії дорівнює термодинамічній роботі потоку (розраховуваній роботі).

Розраховувана робота l₀ згідно з (38) визначається як: .

Знак „–” указує на те, що робота буде додатною, якщо тиск у напрямі руху потоку зменшується, і від’ємною, якщо збільшується.

Таким чином, роботу потоку можна одержати і використати тільки при зменшенні тиску потоку, тобто його розширенні.

Цікавою є також залежність між зміною швидкості dW та площею перетину каналу dF, а також залежність між зміною швидкості dW і зміною тиску dР у каналі.

Для дослідження першої залежності продиференціюємо рівняння нероз-ривності потоку (71), що характеризує об’ємні витрати РТ по каналу V_t у

V_t = const =F·W; M_t· υ= F·W, (71)

де V_t – об’ємні витрати р.т., м³/с;

М_t – масові витрати р.т., кг/с;

W, υ – відповідно швидкість і питомий об’єм робочого тіла у досліджуваному перетині каналу, м/с, м³/кг;

F – площа перетину потоку, м².

М_t· dυ = W·dF + F·dW. (72)

Розділивши (72) на (71), одержимо

, або , (73)

де а – швидкість звуку, м/с;

–число Маха – відношення швидкості РТ до швидкості звуку.

При дозвукових швидкостях W < а, М < 1, М² – 1 < 0 збільшення площі перетину каналу dF/ F > 0 приводить до зменшення швидкості РТ. Але при надзвукових швидкостях W > а, М > 1, М² – 1 > 0 збільшення перетину каналу dF/ F > 0 приводить до зростання швидкості робочого тіла.

Із (38) і (68) при l_техн = 0 для адіабатного процесу можна одержати такий вираз:

d і = –υ·dР = dW²/2 = W·dW. (74)

Аналіз (74) показує, що знаки зміни швидкості dW і тиску dР протилежні. При зменшенні тиску в напрямку руху його швидкість буде збільшуватися dР < 0, dW > 0. Такі канали називають конфузорами (соплами), вони мають форму труб, які звужуються, dF/F < 0 (рис.9). Дифузорами називають канали, що розширюються, dF/F > 0. По ходу руху в них робочого тіла тиск збільшується, а швидкість зменшується, dР > 0, dW < 0, dF/ F > 0.

Але як видно із (73), такий характер залежності зміни швидкості dW, тиску dР і площі каналу dF має місце тільки для дозвукових швидкостей руху робочого тіла. Після досягнення у будь-якій точці каналу швидкості W, більше швидкості звуку „а” характер залежності змінюється. І для подальшого підвищення швидкості W > а, при dР < 0 площа каналу повинна збільшуватись, тобто канал має розширятися.

Канал, у якому можливе досягнення позазвукових швидкостей W > а, повинен складатись із звужуючої частини (конфузора), горизонтального каналу і безвідривного дифузора з кутом розкриття 10 ÷ 12º. Такий канал називають соплом Лаваля.

Для отримання швидкості більше від швидкості звуку, крім особливої форми сопла, необхідно мати відповідну силову дію на робоче тіло, тобто мати певне співвідношення тиску на вході та на виході з каналу.

Рис.9. Форма каналів для формування потоку робочого тіла:

а) конфузор; б) дифузор; в) сопло Лаваля

У соплах (конфузорах) відбувається перетворення потенціальної енергії потоку (ентальпії) в кінетичну. В дифузорах кінетична енергія перетворюється в потенціальну (ентальпію). В дифузорі робоче тіло стискується.

У звужуючій частині сопла Лаваля може бути одержана швидкість W_К>W₁, що дорівнює швидкості звуку (критичній швидкості), W_к = а. У подальшому, при розширенні каналу, швидкість продовжує зростати і досягає надкритичних (надзвукових величин) залежно від величин Р₁ та Р₂.

Витікання газу або рідин із трубопроводу з тиском Р₁ у середовище з тиском Р₂ < Р₁ супроводжується різким зменшенням тиску газу. Швидкість газу при цьому змінюється від W₁ до W₂, ентальпія – від і₁ до і₂.

Дослідимо залежність між зміною ентальпії і відповідною зміною швидкості, тим самим установимо закономірність переходу потенціальної енергії потоку в кінетичну.

Робота при адіабатному витіканні газу визначається залежністю

l = і₁ – і₂, Дж/кг, (75)

де W₂, W₁ – швидкість газу на виході із трубопроводу і в самому трубопроводі (рис.10);

і₁, і₂ – ентальпія газу до й після процесу витікання, Дж/кг.

У зв’язку з тим, що W₂ >> W₁, членом W₁²/2 в рівнянні (75) можна знехтувати. Тоді із залежності (75) можна визначити швидкість витікання газу

Тоді

, м/с. (76)

За відсутності величин і₁ та і₂ величину швидкості газу на виході із трубопроводу можна визначити за залежністю

, м/с, (77)

де Р₁ і Р₂ виражають у Па; υ₁ у м³/кг; і₁, і₂ у Дж/кг.

Рис.10. Витікання газу із трубопроводу

Масові годинні витрати газу, що витікає із трубопроводу, визначаються з рівняння нерозривності

М_t = F · W₂ ·3600 · ρ₂, кг/год, (78)

де ρ₂ – густина газу на виході з вихідного отвору сопла, ρ₂ = 1/υ_2, при тиску Р₂ і температурі Т₂;

F – площа перетину потоку в місці визначення швидкості W₂, м².

Таким чином, за допомогою першого закону термодинаміки для потоку газу можна визначити швидкість і витрати витікаючого газу.

Формули (76), (77) справедливі для циліндричних сопел, конфузорів та дифузорів лише за умови докритичного режиму витікання газу при величині швидкості витікання, меншій за швидкість звуку, W<а. За цієї умови тиск Р₂ на виході із труби визначається як тиск у середовищі, куди витікає потік газу, Р₂=Р_С, а відношення Р₂/Р₁= β більше за деяку величину β_к, яку називають критичний показник розширення газу.

–умова докритичного режиму витікання, де

. (79)

Після досягнення відношення Р₂/Р₁ ≤ β_к, а це можливо при збільшенні тиску Р₁ у трубопроводі, тиск газу Р₂ на виході із сопла стає більшим за тиск у середовищі, куди витікає потік газу Р₂ > Р_С, а відношення Р₂/Р₁ стає рівним β_к. І чим більшим буде тиск Р_1, тим більше зростає тиск Р₂ на виході із труби. Швидкість витікання газу при цьому стабілізується на величині, близькій, але меншій за швидкість звуку.

Величину швидкості при значенні β = Р₂/Р₁ = β_к можна при цьому визначити з рівняння (76) і (77) за умови, що тиск Р₂ підраховують за рівнянням

Р₂ = Р_2к = Р₁·β_к, Па. (80)

Величину ентальпії після досягнення критичних параметрів визначають із діаграм стану при відповідному значенні Р_2к.

Критичне відношення тиску β_к = Р_2к/Р₁ залежить тільки від фізичних властивостей газу і його показника адіабати k. Для багатоатомних газів β_к=0,546, а для двохатомних β_к=0,528.

Швидкість, яку одержують при досягненні критичного показника розширення β_к, визначають за залежністю

, м/с, (81)

де Р₁ підставляють у Па.

Досягнути швидкості, більшої за швидкість звуку, в таких умовах можна тільки при зміні форми сопла і витіканні газу через сопло Лаваля. Тиск газу на виході з такого сопла Р₂ не змінюється із зростанням Р₁ і завжди визначається величиною тиску в середовищі, куди витікає газ, Р₂ =Р_С. Величину швидкості витікання встановлюють за залежностями (76) і (77).

На рис.11 показаний графік зміни швидкості витікання W₂ = W залежно від β. При β = 1 (Р₁ = Р₂) перепад тиску відсутній, руху газу немає, W₂ = 0. При β = 0 (Р₂ → 0) швидкість витікання в соплі Лаваля буде максимальною і прагне до максимуму W_мах, що більше за швидкість звуку.

Рис.11. Графік швидкості витікання

При другій формі сопла за досягнення β ≤ β_к швидкість витікання стабілізується на рівні досягнення швидкості W_к і в інтервалі значень 0 < β ≤ β_к не змінюється. Витікання проходить із дозвуковими швидкостями.

Питомий об’єм υ₂ у місці визначення швидкості W₂ підраховують за рівнянням адіабатного процесу

. (82)

Після досягнення критичного показника розширення β_к величина питомого об’єму υ_2к визначається за залежністю

. (83)

Із урахуванням (78) масові витрати робочого тіла при витіканні через сопло визначаються за залежністю

, кг/с, (84)

де F – площа потоку на виході із сопла, м²;

Р₁ – тиск у Па.

Збільшення Р₁ при докритичному режимі витікання (β > β_к) приводить до зростання як швидкості, так і масових витрат робочого тіла.

Процеси витікання газу за наявності сил тертя є незворотними. Тому при переміщенні газу по каналу в адіабатному процесі його ентропія буде збільшуватись.

На діаграмі i – S ( див. рис.12 ) зворотний адіабатний процес витікання пари чи газу в інтервалі від Р₁ до Р₂ зображається вертикальною прямою, для якої S₁ = S₂, dS =0. Адіабатний незворотний процес у тому ж інтервалі тиску умовно зображається кривою 1–3, для якої S₃ > S₁, а dS > 0.

Рис.12. Зображення процесу витікання газу на І–S - діаграмі

Дійсна швидкість витікання W_д при незворотному процесі буде меншою за теоретичну швидкість W унаслідок зменшення перепаду ентальпій у незворотному процесі

і₁– і₃ < і₁– і₂ ; W_д < W .

Витрата кінетичної енергії або зменшення роботи витікання внаслідок сил тертя дорівнює

Δ l = (W² – W_д²)/2 = і₂– і₃ = Δ і. (85)

Відношення дійсної швидкості W_д витікання до теоретичної швидкості W називають коефіцієнтом швидкості φ.

Величина коефіцієнта швидкості залежить від витрат енергії при проходженні потоку через сопло, від кута розкриття сопла, гостроти кромок сопла.

Усі вказані чинники оцінюються коефіцієнтом місцевого опору ζ, що визначається з довідкової літератури залежно від виду сопла.

Величина коефіцієнта φ установлюється за залежністю

. (86)

Для звужуючого сопла з кутом розкриття 8º φ = 0,87, для кута розкриття 25º φ = 0,8, для отворів у пластині φ = 0,67.

Дійсна швидкість адіабатного витікання з урахуванням сил тертя визначається за залежністю

, м/с. (87)