1 СЕМЕСТР. Экономика. Микроэкономика. Поведение, институты и эволюция Самуэль Боулз / Микроэкономика. Поведение, институты и эволюция_Самуэль Боулз_2010 -576с

задачи 479

(1 − σ)), а Работодатель выбирает стратегию Проверять с вероятностью (Не проверять с вероятностью (1 − )). Равновесием по Нэшу в смешанных страте­ гиях выступает такая пара (σ*, *), что ни Работодатель, ни Работник не могут получить бо2льший ожидаемый выигрыш, выбирая другую стратегию.

Таблица С

Игра «Мониторинг и Работа»

3.1.Покажите, что равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях для этой игры σ* = c/u и * = e/w.

3.2.Объясните, почему равновесный уровень вероятности Не работать из­ меняется обратно пропорционально с зарплатой, а равновесный уровень веро­ ятности Проверять изменяется пропорционально затратам усилий.

3.3.Определите строгое равновесие по Нэшу и покажите, что (σ*, *) не

может быть строгим равновесием. Покажите, что Работнику будет безразлично выбирать любую стратегию при σ [0, 1] до тех пор, пока Работодатель играет

в равновесную по Нэшу стратегию, и что аналогичное утверждение справедливо для Работодателя.

3.4. Почему, несмотря ни на что, можно ожидать наблюдения значения в окрестностях σ* и *?

4. Пятьдесят на пятьдесят (§ 1, 3, 5, 12)

«Главная загадка, не объясненная существующими теориями контрактов, — это стилизованный факт о доле аренды, что выпуск практически всегда разделен в пропорции 50 : 50 между арендатором и землевладельцем… несмотря на очевид­ ные различия в относительном вкладе земли и труда в сельскохозяйственное про­ изводство в различных производственных условиях» (Otsuka, Chuma & Hayami, 1992. P. 1969). В игре дележа, в которой притязания на один доллар должны быть обозначены в центах, существует 101 строгое равновесие по Нэшу. Предполо­ жим, члены большой популяции были случайно разделены в пары, чтобы сыграть серию однопериодных игр дележа, как описано в тексте. Покажите, что разделе­ ние пополам — это единственно возможная эволюционно устойчивая стратегия (ESS) в чистых стратегиях. Помогает ли этот факт объяснить, почему доли землев­ ладельца и арендатора стремятся к 50 : 50? Почему да или почему нет? Есть ли здесь дополнительные равновесия в чистых стратегиях (имеются в виду равно­ весия, предусматривающие асимметрию в долях фермер/землевладелец)?

5. Сегрегация населения (§ 2)

Предположим, жилищные предпочтения такие, как в тексте.

5.1. Покажите, что при σ = 1/4 исход игры с полностью сегрегированными районами (f = 1, f = 0) дает ту же самую стоимость домов, что и с максимально смешанными районами (f = 1/2).

480задачи

5.2.При δ < 1/4 покажите, что существует значение ε > 0 такое, что только если f [1/2 - ε, 1/2 + ε], то допустимые законом продажи будут реализовывать исход, который превзойдет по Парето конкурентное равновесие.

5.3.Что является причиной провала рынка в этой ситуации?

5.4.Предположим, что «зеленые» имеют те же предпочтения, что и в тексте, с δ = 0,1 и p = 1, но все «синие» обратились в религию «Люби Всех Одинаково»

и, как следствие, безразличны к типам своих соседей, и просто рассчитывают

стоимость всех домов на уровне pb = 1,1. Найдите все равновесия на сформиро­ вавшемся рынке жилья и укажите, какие из них устойчивы в репликационной динамике в тексте (т. е. определите знак dDf/df для каждого стационарного зна­ чения f ).

6. эволюционная стабильность (§ 2)

6.1. Обязана ли эволюционно устойчивая стратегия (ESS) быть равновесием по Нэшу? Все ли равновесия по Нэшу являются ESS?

6.2. Для игр «Дилемма заключенных», «Ястреб — Голубь» и «На доверие» по­ кажите, какая (если вообще она существует) из двух стратегий в каждой игре яв­ ляеются эволюционно устойчивой (предполагая, что единственная «мутантная» стратегия — это другая, нежели ESS, в платежной матрице). При V = C будет ли стратегия Ястреб ESS?

7. заговор голубей, нашествие буржуа (§ 2)

7.1.Покажите, что стационарное внутреннее значение p (доля Ястребов в популяции) для игры «Ястреб — Голубь» не Парето­оптимально, и объясните, что служит причиной этого провала координации.

7.2.Человеческие возможности коллективных действий часто позволяют от­ вергать эволюционные тенденции, доминирующие у животных. Представим, что в человеческой популяции, где играют в игру «Ястреб — Голубь», был пред­ ложен закон, ставящий запрет на стратегию «Ястреб»; его утверждение зависит от большинства голосов (допустим, что стоимость его проведения в жизнь равна

нулю). Предположим, что голоса игроков первоначально распределены согласно равновесной частоте Ястребов (V/C) и могут изменить их стратегию в ответ на закон или (в пределах границ, установленных законом) на дифференцирован­ ные выигрыши. Поддержит ли большинство популяции предложенный закон? Объясните, почему да или нет. Если проведение голосования потребовало едино­ гласия, прошел бы закон?

7.3.Представим, что яхту с несколькими представителями Буржуа вынесло

на берег острова Гоббса, чья (большая) популяция была распределена согласно равновесной доле (V/C) Ястребов и (1 - V/C) Голубей. Могут ли эти Буржуа вне­ дриться в смешанную популяцию острова Гоббса?

7.4.Объясните, почему ожидаемый выигрыш от внедрения Ястреба в боль­

шую популяцию, состоящую из оспаривающих Буржуа, такой, как указан в тек­ сте; и проверьте, что при µ = 1, π(B (µ), B (µ)) = π (H, H), а при µ = 0, π(B (µ), B (µ)) = π (D, D) (здесь B — Буржуа, H — Ястреб, D — Голубь).

482 задачи

γ > 0. Предполагая, что каждый член популяции меняет свой статус (членство на неучастие в профсоюзе) в соответствии с полезностями, связанными с каждым статусом, следующие вопросы будут касаться стационарных значений d, т. е. d*.

8.1.Найдите значения параметра, при котором стратегия членства в проф­ союзе — эволюционно устойчивая стратегия (ESS), и при котором стратегия не вступить в профсоюз — ESS.

8.2.Какой аспект в постановке проблемы отвечает за возможность множе­ ственности устойчивых равновесий?

9. неприятие неравенства и реципрокность (§ 3)

9.1.Рассмотрите индивида, чьи предпочтения заданы уравнением (3.3) с

α= 1/2 и δ = 3/4. Если бы он был отвечающим в Ультимативной игре деления одной единицы, какое будет наименьшее принятое им предложение? Если бы он был предлагающим и знал бы, что отвечающий имеет идентичные с ним предпочтения, могли бы вы сказать, что именно он предложит?

9.2.Когда индивиды имеют социальные предпочтения, даже в простых вза­ имодействиях может образоваться большое число равновесий. Это особенно верно, если предпочтения эндогенны или реципрокность является сильным мо­

тивом. Вот пример, касающийся реципрокности. Два индивида оценивают при­

ложенные к общему проекту усилия ei и ej, значения которых e [0, 1]. Результат совместных усилий ei + ej будет поровну разделен между ними. Предпочтения каждого описаны уравнениями (3.4) и (3.5). Предположим, субъективные из­

держки усилий c(e) равны 3/4 (e), а a и l для каждого равны 1/2. Вера в благо­ надежность индивида — это просто количество усилий, которые приложит дру­

гой индивид к осуществлению проекта по предположению каждого из игроков

(так, например, если i верит, что усилия j равны 1, тогда aj = 1). Найдите три равновесия по Нэшу в чистых стратегиях в этой игре и определите, какие из них

устойчивы; и найдите критические значения первоначальных уровней вер ai и aj, таких что лучший по Парето результат проекта может быть поддержан как равновесный по Нэшу.

10. Плохая химия (§ 4)

Рассмотрим общую задачу координации, заданную уравнениями (4.19).

10.1.Для равновесия по Нэшу (т. е. a* и A*) найдите условия, при которых внешний эффект положителен или отрицателен, а две стратегии a и A являются субститутами или комплементами.

10.2.Что выступает условием первого порядка для симметричного Парето­ эффективного распределения? Используйте это условие первого порядка

(предполагая, что условие второго порядка выполнено) и ваше выражение для равновесия по Нэшу, полученное выше, для того, чтобы показать, что a* и A* превышают Парето­эффективный уровень тогда и только тогда, когда внешний эффект отрицателен. Объясните, почему это верно.

10.3.Предполагая, что мы имеем дело с равновесием по Нэшу в чистых стра­ тегиях, покажите, что преимущество первого хода будет всегда и игрок, дела­

задачи 483

ющий второй ход, получит меньше (чем в равновесии по Нэшу), если страте­ гии — субституты, или больше, если стратегии — комплементы. Объясните, почему это так.

10.4.Два соседствующих фермера (Нижний и Верхний) выбирают, исполь­ зовать ли химически интенсивную стратегию борьбы с вредителями или менее химически интенсивный подход, предполагающий использование других на­

секомых вредителями, чтобы контролировать популяцию вредителей, которые угрожают их урожаю (комплексная защита растений от вредителей, или IPM).

Применение химикатов приводит к отрицательным внешним эффектам (хими­ каты уничтожают и полезных насекомых тоже), тогда как IPM порождает поло­ жительные внешние эффекты (полезные насекомые не ограничиваются одной фермой и ведут борьбу на всей прилегающей территории). В частности, рост использования химикатов одним фермером ведет к увеличению его урожая, но

снижает урожай и увеличивает предельную производительность использования химикатов другим фермером для любого заданного уровня его ресурсов. При a

иA — уровнях использования химикатов двумя фермерами — найдите значе­ ния параметров заданной выше функций полезности, которые описывают эти взаимодействия.

10.5.Показное потребление. Предположим, что индивиды различаются в

некоторых особенностях, влияющих на почасовую оплату труда, и что они вы­ бирают часы работы (h) в расчете максимизировать функцию полезности, ар­ гументы которой часы досуга (которые мы нормируем к 1 − h) и то, что мы называем эффективным потреблением (c*), определенным как их собственный уровень потребления (c) минус константа v (в честь Веблена), умноженная на

уровень потребления какой­либо референтной группы с более высоким дохо­ дом (c~). Референтная группа индивида может быть очень богатой или средней.

Ранг референтной группы в распределении дохода принимается как заданный, как и константа Веблена v. Может быть удобно считать каждого индивида при­ надлежащим к однородному по доходу классу, каждый член которого прини­ мает следующий более высокий по доходу класс за свою референтную группу

(самый богатый класс не имеет референтной группу). Совместно референтная группа и v измеряют природу и интенсивность соответствующих социальных сопоставлений. Индивиды не сберегают ничего, поэтому c = wh, где w — став­ ка зарплаты. Тогда для некоторого индивида, находящегося не в самом богатом классе, мы имеем

u = u (c*, h) = u ((wh − vc~), h),

где u является возрастающей и вогнутой функцией по своему первому аргументу и убывающей и выпуклой по второму. Досуг и потребление взаимодополняемы, а значит, uc*h < 0 (заметим: данный случай отличается от приведенного в тексте (уравнение (4.19)) своей несимметричностью). Покажите, что экстерналии от потребления референтной группы отрицательны и потребление референтных групп увеличивает часы работы менее богатых групп.

484задачи

11.«трагедия рыбаков» (§ 4)

11.1.Скажите, как бы вы определили максимум, который Нижний запла­ тил бы Верхнему для покупки прав собственности в озере, предполагая, что эти права помогут Нижнему контролировать доступ Верхнего к озеру и без этого распределения прав двое будут рыбачить в равновесии по Нэшу.

11.2.Рассмотрите распределения в (i) равновесии по Нэшу, (ii) оптимуме общественного благосостояния, а также распределения, полученные когда (iii) оба игрока альтруистичны с a (0, 1) и достигнуто равновесие по Нэшу, и ког­ да Нижний (iv) ходит первым и (v) делает предложение типа «не хочешь — не бери» (это пять различных результатов). Какие пары вы можете проранжиро­ вать по Парето?

11.3.Объясните, как игроку может быть выгодно (относительно распределе­

ния по Нэшу) делать второй ход? Подсказка: превратите «Трагедию рыбаков» в игру «Охота на оленя», предполагая, что β < 0 (рыболовство — групповая дея­ тельность и чей­то улов положительно изменяется с ростом усилий другого).

11.4.Предположим, что двое рыбаков имеют функции полезности, выража­ ющие тот факт, что беспокойство о благополучии другого основано на поведе­ нии этого другого игрока. Так, модифицированная функция полезности Нижне­

го (w) равна

w = u +U a + λ(1 −E) , 1 + λ

где u и U заданы уравнениями (4.6), l [0, 1] и модифицированная функция по­ лезности Верхнего (W) аналогична. Выведите функцию наилучшего ответа Ниж­ него и покажите, что не существует такого значения l (в единичном интервале), при котором заданный уравнением (4.11) общественный оптимум будет реа­ лизован при a = 0, тогда как при a = 1 (и l = 0) общественный оптимум будет реализован.

12. Свободно перемещающаяся рабочая сила и фискальная конкуренция (§ 4)

Рассмотрим две страны, Тут и Там, чьи правительства выбирают ставку на­ лога, чтобы предоставить безусловную денежную субсидию для всего населения каждой страны, выбирая такой уровень налога, чтобы максимизировать суб­ сидию. Уровень населения фиксирован (маленькие буквы подразумевают Тут, большие относятся к Там). Проблема, с которой сталкиваются каждое прави­ тельство, — то, что капитал мобилен между странами и уровень занятости за­ висит от размера запаса капитала, который, опять же благодаря мобильности каптала, обратно зависит от ставки налога. Ставки налога в каждой стране, t и T, взимаются как доля дохода, произведенного в каждой стране, и изменяются от 0 до 1. Доход, произведенный в каждой стране (y и Y), есть результат экзогенно заданного уровня производительности (q и Q) и числа занятых (n и N), так что y = qn и Y = QN; тогда общие платежи для субсидии в каждой стране равны g = tqn и G = TQN. Зависимость уровня занятости в Тут от ставок налога в двух странах выражена как

486 задачи

личия в возможностях повысить чью­то переговорную силу или различия в пред­ почтениях должны привести к различиям в благосостоянии.

Эндогенная переговорная сила. Предположим, двое индивидов вступа­ ют в совместный производственный процесс, вдвоем предоставляя одну едини­ цу ресурсов и производя выпуск (за вычетом издержек) γ. Они согласились на модель торга по Нэшу в отношении модели, получившейся в результате общего излишка. Как и в тексте, двое игроков (Верхний и Нижний) имеют резервные варианты Z и z соответственно; переговорная сила Нижнего задается α. Постав­ ка ресурсов не верифицируема и Нижний (но не Верхний) обнаруживает это, расходуя некоторую долю µ своего ресурсов не на производство, а на повышение переговорной силы (нанимая юристов, специалистов по теории игр и т. п.), и α может быть увеличена. В результате α = α(µ), где α′ > 0 и α′′ < 0. Конечно, отвле­ чение ресурсов на непроизводительное использование снизит общий излишек, который мы предполагаем равным сумме ресурсов, направленных в производ­ ство, или (2 - µ).

13.1.Выпишите условие первого порядка для выбора µ Нижним и объясни­ те, что оно означает.

13.2.Если α = 1/2 + µ1/2 при µ < 0,7, покажите выбор µ Нижним, величину общего излишка и его разделение между двумя игроками.

Благосостояние и переговорная сила. Рассмотрите модель торга по Нэшу между Верхним и Нижним, заданную уравнением (5.1). Предположим, что для относительно бедных людей предельная полезность приза строго убывает при увеличении размера приза, тогда как для богатых функция полезности более ли­ нейна (некоторые свидетельства данного эффекта приведены в гл. 9). Отражая это предположение, сделаем Верхнего игрока богатым в этой паре, а функция полезности Нижнего станет следующей трансформацией функции полезности Верхнего

v (x) = g (V (1 - x)), где g ′ > 0 и g ′′ ≤ 0.

13.3.Покажите, что Нижний будет получать менее половины приза в модели торга по Нэшу, если g ′′ < 0, и что они разделят приз пополам, если g ′′ = 0.

14. торг и трансакционно-специфические активы (§ 5)

Рассмотрим производственный процесс, требующий двух ресурсов: труд и станок. Производительность каждого ресурса зависит от степени, в которой он

(ресурс) был предназначен специально для этого определенного производствен­ ного процесса (трансакционная специфичность каждого)

Y = µ (Aa α + Bb β),

где A и B — число единиц труда и станков соответственно, а a и b — уровни трансакционной специфичности, оба (0, 1). Тогда (1 - a) и (1 - b) есть соот­ ношения стоимости ресурса в следующем наилучшем использовании (другом, нежели в этой трансакции) к стоимости замены ресурса. Степени α и β есть по­ ложительные константы, меньшие единицы, и µ — положительная константа, когда оба ресурса в наличии, и равная нулю в другом случае (подразумевается,

задачи 487

что оба ресурса необходимы для производства). Альтернативное использова­ ние ресурсов приносит выручку, равную единице, для каждой единицы ресур­ са. Конструирование более специфичного ресурса — это использование ресурса, поднимающее издержки с нуля до c при изменении a или b от нуля до единицы (обучение работника, чья специфичность b стоит bc, и то же самое для уровня специфичности станка).

14.1.Случай Робинзона Крузо. Предположим, единственный владелец одной единицы обоих ресурсов решает, как наилучшим образом (через модер­ низацию его станков и его обучение) сконструировать ресурсы для производ­

ственного процесса. Чтобы производство было экономически жизнеспособным, он будет изменять a и b так, чтобы максимизировать выручку минус издержки (записывая Y(a, b) как функцию выручки), или Y(a, b) - c(a + b). Выпишите усло­

вия первого порядка для оптимизационной задачи, укажите оптимальные уров­

ни специфичности, если α = β = 1/2, c = 1 и µ = 2, и покажите, что параметры были выбраны так, чтобы при результирующем оптимальном распределении владелец ресурсов был безразличен между этим распределением и следующим наилучшим использованием.

14.2.Решение модели торга по Нэшу. Теперь предположим, что постав­

щик труда и поставщик капитала — два разных человека, которые независимо принимают решение (a и b) о проектировании специализированного ресурса, затем совместно производят, а потом торгуются по поводу конечного выпуска. Предположим, что они договорились о выпуске в модели торга по Нэшу, т. е.

оразделении излишка, который максимизирует произведение Нэша.

14.2.1.Если каждый владелец изменит уровень специфичности актива, что­ бы максимизировать его или доход, выделите соответствующие условия первого порядка и, используя вышеприведенные численные значения, покажите уровни специфичности, выбранные двумя игроками.

14.2.2.Сравните условия первого порядка в модели торга и модели Робинзо­ на Крузо и объясните, почему они различны.

14.2.3.Если двое способны были довериться решению модели торга по Нэшу по поводу разделения выпуска, почему они не могут доверять эффективным уровням специализации?

14.3.Торг с чередующимися предложениями. Предположим, что после определения ресурсов владельцы вступают в торг с чередующимися предложе­ ниями, так что в течение торга (до тех пор, пока он не завершен) каждый полу­ чает альтернативную стоимость его ресурса, владелец капитала ходит первым и оба владельца имеют норму межвременных предпочтений, равную 10%. Пред­ видя конечный результат торга заранее, они затем определяют ресурсы.

14.3.1.Выпишите условия первого порядка для каждого игрока, если каждый изменяет степень специфичности своих факторов так, чтобы максимизировать доход после торгов. Используя вышеприведенные численные значения, найдите выбранные ими уровни специфичности.

14.3.2.Сравните это решение с полученными выше решениями в модели тор­ га по Нэшу и модели Робинзона Крузо и объясните, почему они различаются.

488задачи

14.4.Покажите, что хотя трансакция в модели Робинзона Крузо не противо­

речит конкурентному равновесию в том смысле, что не существует ожидаемой ренты ex ante (т. е. до трансакции), приходящейся на каждый из двух ресурсов,

но и в модели Робинзона Крузо, и в двух моделях торга существует фактическая рента ex post, возникающая для каждого из ресурсов.

15. Фанаты группы Grateful Dead встречают Коуза (§ 6)

Рассмотрим двух соседей с разными ночными привычками и функциями по­ лезности, заданными в тексте. Нормализуем время, где может быть установлен комендантский час так, что x [0, 1] (считайте 0 комендантским часом в 18.00, а 1 — комендантским часом в 6.00), примем a = 1/4 и b = 3/4 (т. е. соответственно 21.00 и 3.00). Предположим, что оба одинаково соблюдают свое время комен­ дантского часа, так что установим α и β = 1.

15.1. Покажите, что общественный планировщик, максимизирующий сум­ му полезностей двух индивидов, установит x* = 1/2, т. е. полночь.

Предположим другое: комендантский час установлен в 3.00 (к удовольствию фаната группы Grateful Dead) и B может сделать предложение типа «не хо­

чешь — не бери» A, обещая (мы предположим, что ему можно доверять) добро­ вольно подчиняться раннему комендантскому часу взамен платежа со стороны A, равного y.

15.2.Какое предложение сделает B? Объясните, почему добровольно предло­ женное время комендантского часа соответствует общественно оптимальному.

15.3.Объясните, почему, если первоначальный комендантский час был бы установлен на уровне 1/4 («реванш ботаника»), выбор x в результате переговоров

по Коузу стал бы таким же, как и в предыдущем результате с фанатом группы Grateful Dead или оптимум общественного планировщика. Это то, что имел в

виду Коуз, когда писал: «Все, что имеет значение (оставим в стороне вопросы равенства) — то, что права различных сторон должны быть надлежаще опреде­ лены, а результаты законных действий должны быть легко предсказуемы».

Предположим, что A имеет ограниченные ресурсы и не может сделать пла­ теж B в размере, превышающем ymax.

15.4.Какое наименьшее значение ymax убедит B соблюдать результат обще­

ственного оптимума (предполагая, как и выше, что он может сделать предложе­ ние типа «не хочешь — не бери» для A)?

15.5.Теперь предположим, что A, а не B, в состоянии сделать предложение

типа «не хочешь — не бери» (официальное время комендантского часа до сих пор 3.00). Какое наименьшее значение ymax позволит A реализовать обществен­

ный оптимум? Почему ваши ответы в этом и предыдущем вопросе различны? Предположим, что A располагает достаточными средствами, чтобы сделать

положительный платеж B, но их недостаточно, чтобы поддержать соглашение, приводящее к общественно оптимальному комендантскому часу.

15.6.Покажите, что тогда существует некоторый официально установлен­ ный комендантский час (ранее 3.00, но позднее, чем общественный оптимум), который, если введется общественным планировщиком, позволит реализовать общественно оптимальный комендантский час, достигнутый в результате торга по одному их правил, приведенных выше.