tehnologi / 1к пол прог / Матем.Технологи, Земкадастры / Кон. раб. тех №2,3 сокр, 2курс
.pdf
Контрольная работа № 2
Последняя цифра шифра
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
121,151, |
140,161, |
141,180, |
121,151, |
140,161, |
141,180, |
121,151, |
140,161, |
141,180, |
121,151, |
|
|
|
190,211 |
191,230 |
201,240 |
190,211 |
191,230 |
201,240 |
190,211 |
191,230 |
201,240 |
190,211 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
122,152, |
139,162, |
142,179, |
122,152, |
139,162, |
142,179, |
122,152, |
139,162, |
142,179, |
122,152, |
|
|
|
189,212 |
192,229 |
202,239 |
189,212 |
192,229 |
202,239 |
189,212 |
192,229 |
202,239 |
189,212 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
123,153, |
138,163, |
143,178, |
123,153, |
138,163, |
143,178, |
123,153, |
138,163, |
143,178, |
123,153, |
|
шифра |
|
188,213 |
193,228 |
203,238 |
188,213 |
193,228 |
203,238 |
188,213 |
193,228 |
203,238 |
188,213 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
14,154, |
137,164, |
144,177, |
14,154, |
137,164, |
144,177, |
14,154, |
137,164, |
144,177, |
14,154, |
||
|
||||||||||||
цифра |
|
187,214 |
194,227 |
204,237 |
187,214 |
194,227 |
204,237 |
187,214 |
194,227 |
204,237 |
187,214 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
125,155, |
136,165, |
145,176, |
125,155, |
136,165,1 |
145,176, |
125,155, |
136,165, |
145,176, |
125,155, |
||
|
||||||||||||
Предпоследняя |
|
186,215 |
195,,226 |
205,236 |
186,215 |
95,,226 |
205,236 |
186,215 |
195,226 |
205,236 |
186,215 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
126,156, |
135,166, |
146,175, |
126,156, |
135,166, |
146,175, |
126,156, |
135,166, |
146,175, |
126,156, |
||
|
||||||||||||
|
|
185,216 |
196,225 |
206,235 |
185,216 |
196,225 |
206,235 |
185,216 |
196,225 |
206,235 |
,185,216 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
127,157, |
134,167, |
147,174, |
127,157, |
134,167, |
147,174, |
127,157, |
134,167, |
147,174, |
127,157, |
|
|
|
184,217 |
197,224 |
207,234 |
184,217 |
197,224 |
207,234 |
184,217 |
197,224 |
207,234 |
184,217 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
128,158, |
133,168, |
148,173, |
128,158, |
133,168, |
148,173, |
128,158, |
133,168, |
148,173, |
128,158, |
|
|
|
183,218 |
198,,223 |
208,233 |
183,218 |
198,,223 |
208,233 |
183,218 |
198,,223 |
208,233 |
183,218 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
129,159, |
132,169, |
149,172, |
129,159, |
132,169, |
149,172, |
129,159, |
132,169, |
149,172, |
129,159, |
|
|
|
182,219 |
199,222 |
209,232 |
182,219 |
199,222 |
209,232 |
182,219 |
199,222 |
209,232 |
182,219 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
130,160, |
131,170, |
150,171, |
130,160, |
131,170, |
150,171, |
130,160, |
131,170, |
150,171, |
130,160, |
|
|
|
181,220 |
200,221 |
210231 |
181,220 |
200,221 |
210231 |
181,220 |
200,221 |
210,231 |
181,220 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа № 2.
Задания 121150. Найти указанные пределы.
121. а) 
122. 
1
123.
124. 
125. 
126. 
127. 
128. 
129. 
2
130. 
131. 
132. 
133. 
134. 
135. 
136. 
3
137. 
138. 
139. 
140. 
141. 
142. 
143. 
4
144. 
145. 
146. 
147. 
148. 
149.
150. 
Решение нулевого варианта
Вычислить пределы:
5
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2n |
|
|
3n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
5 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,n N ; б) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
в) lim |
1 |
|
|
cos 4x |
; г) |
lim |
|
|
|
|
x |
3 |
|
1 |
|
|
2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
0 |
|
|
|
e |
x2 |
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 1а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
1 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
n3 |
|
|
|
|
n2 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для |
|
раскрытия |
|
неопределенности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n |
|
|
|
|
|
|
в |
числителе |
и знаменателе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вынесены |
за |
|
|
|
скобки |
|
старшие |
|
|
|
степени |
|
|
|
n. |
|
При |
вычислении предела |
учтено, что при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
что |
lim const |
|
const , |
использованы теоремы о конечных пределах и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
теорема о бесконечно больших функциях: |
|
бб |
|
|
|
|
|
бб |
огр |
|
бб , если огр |
бм . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
огр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
С |
|
|
|
|
|
точки |
|
|
|
|
зрения |
определения |
|
|
бесконечного |
|
предела |
|
|
|
|
последовательности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2n |
|
|
3n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n |
|
|
N полученный результат |
|
|
|
означает, |
что для достаточно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
больших значений номера n члены последовательности un |
становятся |
|
сколь угодно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
большими по модулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример 1б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
5 |
|
x |
1 |
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x 2 x2 |
|
x 6 |
|
|
|
|
1 x |
5 x |
|
|
|
x 2 x 2 x 3 |
|
|
1 x |
|
|
|
|
5 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
5 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( x |
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x 2 )( x 3 )( 1 x |
|
5 x ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 x 2 x 3 |
|
|
|
|
|
1 x |
|
5 x |
|
|
|
|
x 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||
2 lim |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 |
( x 3 )( 1 x |
5 x ) |
5( 3 |
|
3 ) 10 3 5 3 |
|
|||||||||||||||
Здесь для раскрытия неопределенности |
0 |
|
в |
|
числителе |
и знаменателе выделен |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
критический множитель ( х 2 ). Для его выделения в знаменателе использовано разложение многочлена на множители, а в числителе - домножение числителя и знаменателя на выражение
1 x 
5 x , сопряженное числителю 
1 x 
5 x . При вычислении предела использованы теоремы о конечных пределах.
С точки зрения определения предела функции y f ( x ) |
1 x |
5 x |
при |
|
|
|
|||
x2 |
x 6 |
|||
|
|
x |
2 полученный результат lim f x |
1 |
|
|
означает, что для значений аргумента х, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
5 3 |
||||||
|
x 2 |
|
|
|||
достаточно близких к точке х = 2, значения функции будут становиться сколь угодно близкими
к числу 5 13 .
Пример 1в.
lim |
1 |
cos 4x |
0 |
lim |
2 sin2( 2x ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 0 ex2 |
ex |
0 |
x |
0 ex ( ex2 x 1 ) |
|
||||||||
|
используем замены эквивалентных бм : |
|
|
|
|||||||||
|
sinz~z при z |
0 sin2 ( 2 x )~ 2x 2 |
4 x2 при х |
0 |
|||||||||
|
e z |
1 ~ z при z |
0 |
ex2 x |
|
1~(x2 |
x ) при х |
0 |
|||||
lim |
2x2 |
|
|
lim |
2x2 |
lim |
|
2x |
0 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 0 ex ( x2 |
x ) |
x 0 ex ( x 1 )x |
x 0 ex( x 1 ) 1( 0 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Для раскрытия |
неопределенности |
0 |
|
|
использовано |
правило 2: |
в |
числителе |
и |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
знаменателе выделен критический множитель |
( х – 0 ) х . |
Для его выделения использован |
|||||||||||||||||||||
принцип замены эквивалентных бесконечно малых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
С точки зрения определения конечного предела функции |
y |
f ( x ) |
1 |
cos 4x |
при |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex2 |
ex |
|
||
x 0 полученный |
результат lim f ( x ) 0 |
означает, |
что |
для |
значений |
аргумента |
х, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
достаточно близких к точке х = 0, значения функции будут становиться сколь угодно сколь угодно близкими к числу 0.
Пример 1г.
|
|
1 2 x |
сводим ко второму замечательному |
|
( x 2 ) 5 1 2 x |
|||
lim |
x 3 |
1 |
1 |
|
lim |
|||
|
|
|
|
|
||||
x |
x 2 |
|
|
|
|
x |
x 2 |
|
|
|
z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
пределу lim 1 z |
|
e |
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
2 x |
|
5 |
lim |
1 |
|
lim |
1 |
||
|
|
|
||||
x 2 |
|
x 2 |
||||
x |
|
|
x |
|
|
5 |
( 1 2 x ) |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
( x 2 ) |
5( 1 |
2 x ) |
|
||
|
|
|
||||
|
|
lim |
|
|||
5 |
|
|
e 10 . |
|||
|
|
( x |
2 ) |
|||
|
|
ex |
||||
|
|
|
||||
При вычислении предела использовано дважды правило раскрытия неопределенности
, образованной делением целых многочленов одинаковой степени:
|
lim |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1, lim |
5( 1 |
|
2x ) |
|
|
|
lim |
|
10x 5 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 , |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez( x ) |
lim |
z( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а также непрерывность функции ez: |
lim |
ex |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
f ( x ) |
|
|
x |
3 |
|
x |
||||||
|
С точки зрения определения конечного предела функции |
|
|
|
|
|
|
|
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
полученный результат |
lim |
f ( x ) |
e 10 |
означает, что для достаточно больших (по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
модулю) значений аргумента х |
значения функции будут сколь угодно близкими к числу e 10 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответы: а) |
|
lim |
1 |
2n |
, |
n |
N |
; б) |
lim |
1 |
|
x |
5 |
x |
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n2 |
3 |
|
|
x2 |
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в) lim |
1 |
|
|
cos 4x |
0 ; г) lim |
|
x |
3 |
1 |
2 x |
e 10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
0 |
e |
e |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задания 151-180. Найти следующие производные функций
151 
8
152 
153 
154 
155 
156 
157 
158 
159. 
160. 
161. 
162. 
9
163. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
164. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170. |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171. 
165. 
172. 
166. 
173. 
167. 
174. 
168. 
10