Лабораторные работы / Ф24 - 2007 / Электростатическое поле точечных зарядов (Э5) - отчет - 2007.djv
.pdfРоссийский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева
Кафедра физики
Отчёт о выполнении лабораторной работы №Э-5 по теме: "Исследование электростатического поля точечных зарядов"
Выполнил студент: Тарасов А. С., гр. Ф-24
Принял преподаватель: Корогод В.В.
Москва-2006
Цель работы.
Экспериментальное изучение электростатического поля цилиндрического конденсатора на модели; подтверждение справедливости теоремы Отроградского – Гаусса.
Оборудование:
Электролитическая ванна, два металлических электрода, ламповый вольтметр с зондом, источник питания (звуковой генератор).
Формулы для расчёта:
E = −gradϕ , где
gradϕ = ddxϕ ir+ ddyϕ rj + ddzϕ kr
E – напряжённость электростатического поля, φ – потенциал поля. Так как φ сильнее всего возрастает в направлении нормали к эквипотенциальной поверхности, то
Er = ddnϕ nr , где nr – единичный вектор нормали.
Если ϕ1 и ϕ2 – потенциалы близких эквипотенциальных поверхностей, а n – расстояние,
отсчитанное по нормали к эквипотенциальным поверхностям, то среднее значение Е определяется по формуле:
|
|
= − |
ϕ |
= |
ϕ1 −ϕ2 |
E |
|||||
|
|
|
n |
|
n |
Если поле обладает центральной или осевой симметрией, то:
Er = − |
ϕ |
|
r |
, |
|
= |
ϕ1 −ϕ2 |
||
E |
|||||||||
r |
r |
||||||||
|
|
|
|
|
r |
−r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
Закон Ома в дифференциальной форме:
j =σE , где j – плотность тока, σ – удельная электропроводность. Теорема Остроградского – Гаусса:
Φ = ∫En dS = |
1 |
N |
∑qi |
||
S |
εε0 |
i=1 |
Для поля конденсатора в силу осевой симметрии поток вектора напряжённости через любую эквипотенциальную цилиндрическую поверхность радиуса r и высотой h есть величина постоянная, равная
Φ = E(r) 2πr =const
Для плоского поля должна сохраняться постоянной величина С, пропорциональная потоку Ф:
C = E(r) r =const , неизменность величины С можно рассматривать как косвенное подтверждение теоремы Остроградского – Гаусса.
Таблицы результатов измерений.
Таблица 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
rm , м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
ϕ |
|
|
|
Деления шкалы |
|
|
|
|
|
|
||
|
ik |
|
|
|
|
ϕi , В |
lnr |
|||||||
|
r |
, мм |
ϕ |
|
ϕ |
|
ϕ |
|
ϕ |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
i |
|
|
i1 |
|
i2 |
|
i3 |
|
i4 |
|
|
|
|
1 |
|
40 |
|
6,78 |
|
6,71 |
|
6,69 |
|
6,85 |
6,76 |
3,69 |
||
2 |
|
50 |
|
5,95 |
|
5,91 |
|
6,02 |
|
6,01 |
5,97 |
3,91 |
||
3 |
|
60 |
|
4,89 |
|
4,98 |
|
5,08 |
|
5,02 |
4,99 |
4,09 |
||
4 |
|
70 |
|
3,98 |
|
4,02 |
|
4,16 |
|
4,15 |
4,08 |
4,25 |
||
5 |
|
80 |
|
3,26 |
|
3,29 |
|
3,41 |
|
3,42 |
3,35 |
4,38 |
||
6 |
|
90 |
|
2,62 |
|
2,50 |
|
2,65 |
|
2,73 |
2,62 |
4,50 |
||
7 |
|
100 |
|
2,00 |
|
1,92 |
|
2,04 |
|
2,10 |
2,02 |
4,61 |
||
8 |
|
110 |
|
1,51 |
|
1,51 |
|
1,44 |
|
1,84 |
1,58 |
4,70 |
||
9 |
|
120 |
|
0,97 |
|
0,97 |
|
0,94 |
|
1,00 |
0,97 |
4,79 |
||
10 |
|
130 |
|
0,52 |
|
0,52 |
|
0,47 |
|
0,49 |
0,50 |
4,87 |
Таблица 2.
|
№ |
|
r |
, мм |
|
|
−1 |
−1 |
|
Erm , В |
|
|
|
|
, В |
|
δ |
|
|
|
r |
|
|
C |
m |
|
С |
||||||||||
|
|
|
m |
|
, мм |
|
|
м |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
||
|
1 |
45 |
0,022222 |
|
0,079 |
3,555 |
|
0,293187 |
||||||||||
|
2 |
55 |
0,018182 |
|
0,098 |
5,39 |
|
0,242063 |
||||||||||
|
3 |
65 |
0,015385 |
|
0,091 |
5,915 |
|
0,241417 |
||||||||||
|
4 |
75 |
0,013333 |
|
0,073 |
5,475 |
|
0,256965 |
||||||||||
|
5 |
85 |
0,011765 |
|
0,073 |
6,205 |
|
0,251991 |
||||||||||
|
6 |
95 |
0,010526 |
|
0,06 |
5,7 |
|
0,277151 |
||||||||||
|
7 |
105 |
0,009524 |
|
0,044 |
4,62 |
|
0,546024 |
||||||||||
|
8 |
115 |
0,008696 |
|
0,061 |
7,015 |
|
0,375119 |
||||||||||
|
9 |
125 |
0,008 |
|
0,047 |
5,875 |
|
0,140595 |
Обработка результатов.
ϕi1 |
ϕi2 |
ϕi3 |
ϕi4 |
|
ϕi |
S |
|
|
ϕi |
U |
l |
δEm |
|
|
m |
|
|
|
|
|
E |
||||||||||||
|
ϕi |
|||||||||||||||
0,02 |
0,05 |
0,07 |
0,09 |
6,76 |
0,036401 |
0,0874 |
0,1073 |
0,7071 |
0,153162 |
0,0121 |
||||||
0,02 |
0,06 |
0,05 |
0,04 |
5,97 |
0,025981 |
0,0624 |
0,1143 |
0,7071 |
0,136361 |
0,0134 |
||||||
0,1 |
0,01 |
0,09 |
0,03 |
4,99 |
0,039896 |
0,0958 |
0,1453 |
0,7071 |
0,174654 |
0,0159 |
||||||
0,1 |
0,06 |
0,08 |
0,07 |
4,08 |
0,045552 |
0,1093 |
0,1471 |
0,7071 |
0,213595 |
0,0156 |
||||||
0,09 |
0,06 |
0,06 |
0,07 |
3,35 |
0,041028 |
0,0985 |
0,1512 |
0,7071 |
0,218803 |
0,0160 |
||||||
0 |
0,12 |
0,03 |
0,11 |
2,62 |
0,047784 |
0,1147 |
0,1463 |
0,7071 |
0,253903 |
0,0152 |
||||||
0,02 |
0,1 |
0,02 |
0,08 |
2,02 |
0,037859 |
0,0909 |
0,2341 |
0,7071 |
0,536788 |
0,0236 |
||||||
0,07 |
0,07 |
0,14 |
0,26 |
1,58 |
0,089907 |
0,2158 |
0,2178 |
0,7071 |
0,363937 |
0,0222 |
||||||
0 |
0 |
0,03 |
0,03 |
0,97 |
0,012247 |
0,0294 |
0,0416 |
0,7071 |
0,113237 |
0,0053 |
||||||
0,02 |
0,02 |
0,03 |
0,01 |
0,50 |
0,012247 |
0,0295 |
0,1073 |
0,7071 |
0,153162 |
0,0121 |
φ, В
7
6
5
4
3
2
1
0
40 50 60
Зависимость φ от r
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
130 |
r, мм |
7
6
5
4
3
2
1
0
φ, В
Зависимость φ от ln r
ln r
3,60 |
3,70 |
3,80 |
3,90 |
4,00 |
4,10 |
4,20 |
4,30 |
4,40 |
4,50 |
4,60 |
4,70 |
4,80 |
4,90 |
10
9
8
7
6
5
4
Еm,10-2В/м
Зависимость Еm от r
r,мм
45 |
55 |
65 |
75 |
85 |
95 |
105 |
115 |
125 |
Em, В/м-2 Зависимость Е от r-1
10
9
8
7
6
5
4
r--1 ,103 мм-1
3
5 |
10 |
15 |
20 |
7
6
5
4
3
2
1
0
С, В
Зависимость С от r
r , мм
45 |
55 |
65 |
75 |
85 |
95 |
105 |
115 |
125 |
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( |
ϕ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ϕi = |
|
n |
∑ϕik ; |
|
|
ϕik = |
ϕi −ϕik ; Sϕi = |
|
n(n −1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ϕi =tα (n) S |
|
|
rm = |
ri+1 +ri |
; |
|
m = |
ϕi −ϕi+1 |
|||||||||||||||||
|
|
; |
E |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ri+1 −ri |
||||||||||||||||||||||
|
ϕi |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
U |
2 |
|
|
|
l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
δE |
|
|
U |
|
+ |
l |
|
|
|
, где U = |
ϕ |
i |
− |
ϕ |
i+1 |
, |
||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;
;
U = ( ϕi )2 +( ϕi+1 )2 ,
l = |
ri |
+1 − |
ri |
, |
l = ( |
ri |
+1 )2 +( |
ri |
)2 . |
|
|
|||||||||||||||
Принимаем |
|
ri |
= |
|
r |
i+1= |
rC |
=0,5мм. |
|
|||||||||||||||||
Тогда |
|
|
l = |
|
(0,5)2 +(0,5)2 = |
|
0,5 = |
2 |
мм. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
m =| |
|
m | δE ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
E |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Cm =| |
|
m (rm ) | rm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
δ |
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
rm |
|
2 |
Em |
|
|
||||||||||
|
|
Em |
+ |
|
|
≈ |
|
|
||||||||||||||||||
|
Сь |
|
E |
m |
|
|
|
r |
|
|
E |
m |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
Вывод
Поток вектора напряжённости через любую эквипотенциальную поверхность есть величина постоянная.