Питання для самоконтролю

1. Лінійне програмування: постановка прямої і двоїстої задач. Аналіз оптимального розв’язку.

2. Нелінійне програмування та методи розв’язування відповідних задач.

3. Розв’язок задачі оптимізації споживчого вибору з бюджетним обмеженням.

4. Задача виробника та її розв’язування.

5. Дослідження виробничих функцій.

6. Середня та гранична продуктивність ресурсів. Заміщення ресурсів.

7. Задачі розподільчого типу та їх розв’язування за допомогою стандартних процедур.

Завдання до самостійної роботи Завдання 1

Визначити, який набір товарів обере споживач, який має доход у 400 г.о., якщо його функція корисності має вигляд

,

а ціни товарів відповідно дорівнюють: р₁ = 2 г.о.,р₂ = 5 г.о. за одиницю. Знайти граничну норму заміни першого товару другим.

Завдання 2

Завод при виготовленні двох типів виробів (сляби і заготовки) використовує три типи обладнання (печі, кристалізатори, прокатні стани) і дві технологічні схеми – №1 і №2. Кожний виріб можна випускати за будь-якою технологічною схемою.

Необхідні вихідні дані по нормам завантаження обладнання у переліку на одиницю продукції при різних технологіях та прибуток від реалізації одиниці кожного продукту наведені в таблиці:

Обладнання	Продукція				Фонд часу при завантаженні обладнання
	Сляби		Заготовки
	Технологічні схеми
	№1	№2	№1	№2
Печі	2	2	3	0	20
Кристалізатори	3	1	1	2	37
Прокатні стани	0	1	1	4	30
Прибуток (тис. у.е.)	11	6	9	6

Потрібно скласти оптимальний план завантаження обладнання, який забезпечить заводу максимальний прибуток (визначити, які вироби і в якій кількості потрібно виробляти на кожній технологічній лінії).

Рекомендована література

[1, 2, 3, 6, 8]

Тема 4. Імовірнісні моделі у фінансах

План вивчення теми

1. Основні підходи щодо кількісного аналізу ризику: метод аналогій, аналіз чутливості, методи імітаційного моделювання.

2. Допустимі, критичні та катастрофічні зони збитків і ризику.

3. Ризик в абсолютному вираженні.

4. Ризик у відносному вираженні.

5. Ризик та нерівність Чебишева. Ступінь допустимого, критичного та катастрофічного ризику.

6. Коефіцієнт чутливості бета та його використання в економіці.

7. Оцінка ризику за критеріями.

Навчальні цілі

Ознайомити студентів з основними підходами до аналізу ризику, кількісного оцінювання його ступеню.

Завдання та методичні рекомендації до вивчення теми

Метод аналогій. Для аналізу ризику, яким може бути обтяжений новий проект, доцільно вивчити дані щодо наслідків впливу несприятливих чинників близьких за сутністю раніше виконуваних проектів. У використанні аналогів застосовують бази даних і знань стосовно чинників ризиків. Використовуючи математичний апарат, ці дані обробляються з метою виявлення закономірностей та врахування потенційного ризику для даного проекту.

Цей метод застосовують в простих випадках, оскільки неможливо провести вичерпний аналізі відтворити набір усіх можливих сценаріїв невдалого завершення проекту.

Аналіз чутливості.Цей метод найпростіший і поширений, тому що дає можливість з’ясувати, які саме чинники стосовно проекту можна віднести до найризикованіших.

Аналіз чутливості передбачає два кроки:

1. формування моделі, яка визначає співвідношення між змінними, що стосуються прогнозування результатів;

2. власне, аналіз чутливості, який дає змогу виявити найважливіші як чинники ризику змінні в моделі.

Як показники чутливості проекту використовуються показники еластичності. Еластичність – міра реагування однієї величини змінної (функції) на іншу (аргумент). Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків змінюється функція в результаті зміни аргументу на один відсоток.

Як відомо, для функції коефіцієнт еластичності обчислюють за формулою:

,. (63)

Величина коефіцієнту еластичності не залежить від одиниць вимірювання різних чинників. Чим більшим (за модулем) є значення коефіцієнта еластичності, тим вищим буде ступінь чутливості, а отже, і ризик щодо зміни певного чинника, від якого залежить економічний показник.

Недоліки методу: вплив кожного чинника на показник аналізують окремо і не враховують взаємозв’язку між чинниками ризику.

Імітаційне моделювання. Оцінюють коливання результуючого показника при випадкових змінах чинників, але з урахуванням взаємозалежності між ними, за наступними кроками:

1. формування моделі проекту;

2. визначення основних чинників ризику (наприклад, за методом аналізу чутливості);

3. визначення можливих інтервалів відхилень чинників ризику від найімовірніших;

4. виявлення залежності, яка може існувати між чинниками ризику та кореляції між ними;

5. генерація випадкових сценаріїв відповідно до системи прийнятих гіпотез щодо чинників ризику та згідно з обраною моделлю; далі послідовно здійснюють низку обчислень до отримання репрезентативної вибірки за методом Монте-Карло;

6. одержують розподіл частот для показника; результати подають дискретним або інтервальним розподілом показника як випадкової величини; для перевірки гіпотез щодо виду розподілу застосовують статистичні критерії; обчислюють числові характеристики розподілу.

Якщо аналіз ризику здійснювати з позиції можливих збитків, то можна виокремити такі зони ризику:

безризикова зона – з майже нульовими збитками;

зона допустимого ризику – зберігається доцільність підприємницької діяльності, тобто збитки менші за сподіваний прибуток;

зона критичного ризику – величина збитків може перевищувати величину прибутку;

зона катастрофічного ризику – обсяг збитків перевищує критичний рівень і досягає величини майнового стану підприємця.

Найповніше уявлення про ризик дає крива щільності розподілу ймовірності збитків . Також використовують інтегральну функцію розподілудля безпосереднього обчислення ймовірності перевищення збитками фіксованого значення:. (64)

Вирізняють такі базові показники ризику:

показник допустимого ризику:

; (65)

показник критичного ризику:

; (66)

показник катастрофічногоризику:

. (67)

Кількісна оцінка ступеня ризику має абсолютне вираження, якщо вона вимірюється в тих самих одиницях, що і економічний показник.

Якщо всі можливі наслідки події описуються дискретною випадковою величиною , то ступінь очікуваної невдачі визначають як математичне сподівання:

. (68)

Якщо несприятливі наслідки події описуються неперервною випадковою величиною , то

, (69)

де - щільність розподілу ймовірностей випадкової величини.

Коли адекватною моделлю міри невдачі є випадкова величина із несиметричним розподілом ймовірностей, то в якості оцінки ступеня ризику доцільно використовувати її модальне значення:.

Зазначені вище величини можна трактувати як центри групування значень економічного показника .

Як оцінку ступеня ризику в абсолютному вираженні часто використовують міру розсіювання значень економічного показника відносно центру групування цих значень, тобто дисперсію (варіацію)абосередньоквадратичне відхилення:

, .(70)

Підхід до оцінювання ступеня ризику, що спирається на дисперсію або середньоквадратичне відхилення, вважається класичним. Чим більшими будуть ці величини, тим більше буде ступінь ризику для показника .

Сучасний підхід до оцінювання ризику базується на тому, що ризик пов'язаний саме з несприятливими ефектами, тобто для його оцінювання треба брати до уваги лише несприятливі відхилення від сподіваної величини. Як оцінка ризику в цьому випадку використовуються семіваріаціяабосеміквадратичне відхилення, які обчислюються відповідно за формулами:

,, (71)

де

Чим більшими будуть зазначені величини, тим більше буде ступінь ризику.

У відносному вираженніоцінка ступеня ризику визначається як величина збитків, віднесена до певної бази (майно підприємця, очікуваний прибуток тощо) за допомогоюкоефіцієнта ризику:

, (72)

де - максимально можливий обсяг збитків,- обсяг власних фінансових ресурсів з урахуванням точно відомих надходжень коштів.

Коли при порівнянні двох проектів стає недостатнім аналіз дисперсій, використовують коефіцієнт варіації:

. (73)

Коефіцієнт варіації – безрозмірна величина, якій можна дати таке економічне тлумачення: це величина ризику відхилень коефіцієнт варіації.

У випадку використання семіваріації для оцінювання ризику у відносному вираженні обчислюють коефіцієнт семіваріації:

. (74)

У випадку асиметричного розподілу певних показників слід аналізувати коефіцієнт асиметрії випадкової величини, яка характеризує ризик:

. (75)

При наявності статистичної інформації щодо показника Х, яка зібрана протягомТ періодів коефіцієнт асиметрії визначають за формулою:

. (76)

У ситуації, коли аналіз певних показників ефективності проекту показує, що ці показники мають майже однакові сподівані значення, приблизно рівні середньоквадратичні відхилення, а також рівними є коефіцієнти асиметрії, то для порівняння ризикованості проектів можна скористатися коефіцієнтом ексцесу:

, (77)

або при наявних статистичних даних:

. (78)

Для граничного аналізу ризику можна використовувати нерівність Чебишева:

. (79)

Для значень, кратних абсолютній мірі ризику , можна розрахувати верхні границі відповідних ймовірностей:

,,. (80)

Приклад. Підприємство бере кредит під 10% річних. При цьому експерти оцінюють ризик, пов'язаний з коливаннями прибутку, нарівні 5%. Яким має бути рівень очікуваного прибутку, щоб уникнути банкрутства?

Розв’язування.Нехай- відсоток кредитування; -рівень очікуваного прибутку;- рівень ризику.

Розглянемо два значення ймовірностей.

1. Нехай ймовірність уникнути банкрутства не перебільшує 1/9. За правилом «трьох сигм» :

,

тобто, рівень очікуваного прибутку має бути не менше, ніж 25%.

2. Нехай ймовірність уникнути банкрутства не перебільшує 1/4. Маємо:

.

Рівень очікуваного прибутку має бути не менше 20%.

В аналізі ризику розрізняють ризик, якого не можна уникнути ніякими методами, оскільки він обумовлений зовнішніми факторами, і ризик, який залежить від діяльності певного підприємства або галузі.

Систематичний ризик оцінюється коефіцієнтом чутливості, який визначає рівень коливань в результаті діяльності галузі відносно діяльності ринку або всієї економіки (або діяльності підприємства відносно діяльності галузі):

. (81)

Показникрегулярно публікується у західній фінансовій періодиці. Він використовується для аналізу якості інвестиційних проектів, зокрема для оцінки того, наскільки сподіваний дохід компенсує ризикованість вкладів у певний вид цінних паперів.

Індекс Доу-Джонса– це сума цін акцій 30 провідних корпорацій, яка ділиться на певне число. Цей індекс є «барометром», що дає змогу передбачити поведінку всіх акцій на ринку цінних паперів.

Приклад.Показникдля акцій компанії становить 1,35. Фондовий індекс Доу-Джонса підвищився на 20 пунктів. На скільки пунктів зросте індекс Доу-Джонса для акцій компанії?

Розв’язання.Оскільки показникстановить 1,35, то це свідчить про те, що ризикованість вкладів компанії у акції вище ризикованості фондового ринку в цілому на 35% щодо нестійкості «середньої» акції фондового ринку. Якщо фондовий індекс підвищився на 20 пунктів, то для акцій компанії індекс Доу-Джонса зросте на 27 пунктів.

Теорія гри як математична теорія конфліктних ситуацій.

При розв’язуванні економічних задач часто аналізують ситуації, в яких стикаються зацікавленості двох або більше конкуруючих сторін, які мають різні цілі. Такі ситуації називаються конфліктними. Математичною теорією конфліктних ситуацій є теорія гри.

В грі можуть стикатися два (гра парна) або декілька (гра множинна) суперників, які можуть об’єднуватися в коаліції.

На промисловому підприємстві теорія гри може застосовуватися для прийняття оптимальних рішень, наприклад, для створення раціональних припасів матеріалів, коли протидіють дві тенденції. В сільському господарстві теорію гри можна застосувати, щоб вибрати варіант посіву однієї з зернових культур, врожай яких залежить від погодних умов. У цьому випадками сторонами виступають сільськогосподарське підприємство і природа.

Розв’язування гри потребує чіткої стратегії і системи правил.

Важливими є поняття оптимальної стратегії, ціни гри, середнього виграшу. Ці поняття відображені у визначенні розв’язання гри.

Стратегії першого і другого гравців відповідно називають їх оптимальними стратегіями, а число- ціною гри, якщо для будь-яких стратегійпершого і будь-яких стратегійдругого гравців виконуються нерівності:

,

де означає математичне сподівання виграшу першого гравця, якщо перший і другий гравці виберуть стратегії.

Зокрема, , тобто ціна гри дорівнює математичному сподіванню виграшу першого гравця, якщо обидва оберуть оптимальні стратегії.

Одним з основних видів є матрична гра, яка називається грою з нульовою сумою (один з гравців програє стільки, скільки виграє другий). В цьому випадку гра задається матрицею, яка має назву платіжної. Елементи матриці – - виграш першого гравця ( і відповідно, програш другого), якщо перший гравець вибере стратегію, а другий – стратегію.

Приклад.

Матриця гри має вигляд:

.

Визначити сідлову точку.

Розв’язання. Мінімальний елемент першого рядка (першої стратегії першого гравця) дорівнює 2, другого - 5, третього - 4. Максимальне значення з них дорівнює 5.

Максимальний елемент першого стовбцю (першої стратегій другого гравця) – 10, другого – 10, третього – 5, четвертого -14, п’ятого – 12. Мінімальне значення з них дорівнює 5.

Таким чином, гра має сідлову точку (2;3) і задачу можна розв’язати в чистих стратегіях. Дотримуючись другої стратегії, перший гравець забезпечить собі виграш не менше 5; другий гравець, дотримуючись третьої стратегії, програє не більше 5. Обидві стратегії є оптимальними для обох гравців, при цьому ціна гри.□

Коли умови гри є недостатньо визначеними (наприклад, невідомі погодні умови або невизначеним є попит на товар і т.д.), розглядають матрицю ризику. При цьому користуються певними критеріями для вибору оптимальної стратегії. Відомі такі критерії, як максимінний критерій Вальда (максимум мінімального виграшу), мінімаксного ризику Севіджа (ризик мінімальний в найгіршому випадку), критерій «песимізм-оптимізм» Гурвіца (обирається коефіцієнт песимізму), критерій Бейеса.

Приклад. Диспетчер автобусного парку в літні місяці в кінці кожного тижня має прийняти рішення про виділення додаткового транспорту на заміський маршрут. Він має три варіанти: збільшити кількість автобусів на 10 (стратегія), збільшити кількість автобусів на 5 (стратегія), або залишити без змін (стратегія). Можливі два стани погоди:- погана погода,- гарна погода, причому на момент прийняття рішення немає можливості визначити стан погодних умов.

Якщо в вихідні буде гарна погода і багато бажаючих виїхати за місто при недостатній кількості автобусів, то парк понесе збитки, пов’язані з недоотриманням прибутку. Якщо будуть виділені додаткові автобуси, а погода буде поганою, і мало бажаючих виїхати за місто, то виникнуть збитки, пов’язані з експлуатацією незаповнених автобусів.

Нехай на основі аналізу статистичних даних встановлена функція втрат для можливих станів природи і рішень диспетчера у вигляді матриці гри, в якій від’ємні елементи показують додатковий прибуток, а додатні - втрати:

.

По критеріям Вальда і Севіджа оптимальною є стратегія . За критерієм Гурвіца при коефіцієнті песимізму оптимальною є стратегія, а при- стратегія.