Двухатомная молекула как квантовый жёсткий ротатор. Вращательный спектр двухатомной молекулы.

Если пренебречь изменением межъядерных расстояний, которое возникает при энергетических переходах, в качестве модели двухатомной молекулы можно принять жёсткий ротатор.

Зная, что L_γ= Ћ

L_z=mЋ

из аналогии:T=p²/2m=L²/2I

, где μ–приведённая масса двухатомной молекулы.

μd²-приведённый момент инерции двухатомной молекулы, тогда:

E= Ћ²·γ(γ+1)/2 μd², у каждой молекулыЋ²/2 μd²=const

B= Ћ²/2 μd²(Дж)- имеет размерность энергии и называется вращательной постоянной. выражается в мЭв.

Для квантового числа существует правило отбора, т.е. ∆γ=±1 (всегда), поэтому энергетические переходы могут происходить только между соседними энергетическими уровнями.

Eγ=B·γ(γ+1)

E_γ+1,γ=E _γ+1-E _γ=B(γ+1)(γ+2)-Bγ(γ+1)=2B(γ+1), т.е. даже если на меньшем вращательном уровне получим разность 2В.

Спектр двухатомной молекулы как жёсткого ротатора.

Если есть переход с одного уровня на другой, то энергия фотона, поглощенного или испущенного двухатомной молекулой при изменении вращательной энергии выражается так:

E= Ћω_излуч.=∆E_γ+1,γ=2B(γ+1)

ω_излуч.=(2B/Ћ)(γ+1)

Спектральные линии чисто вращательного спектра поглощения и (или) излучения какого-либо химического соединения отстают друг от друга на 2В по шкале энергий. |2B|2B|2B|2B|2B|…

Излучать или поглощать электромагнитные волны( в инфракрасной части спектра) могут только молекулы типа, т.е. молекулы с отличным от нуля дипольным моментом.

Молекулы типа Н2,дипольный момент которых равен нуля излучать или поглощать электромагнитные волны не могут, и в этих молекулах энергетических энергетически далеко происходит безысключательно. И в этом случае энергии

При переходе квантовой энергии из одного энергетического состояния(например Е₂) в другое энергетическое состояние (например Е₁) излучается всегда фотон:

E₂-E₁=Ћω_ф

Вид спектра определяется:

1)энергетическим спектром системы;

2)правилом отбора;

3)вероятностью возможных переходов.

Атом водорода по теории Бора.

1913 г. Резерфорд в Кембридже установил, что каждый атом состоит из атома и электронной оболочки.

Постулаты Бора (постулаты стационарных состояний):

В атоме существуют не изменяющиеся во времени состояния, при которых атом не излучает и не поглощает энергию, в этом состоянии электрон, двигаясь по круговой орбите, имеет дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию:

mv_nr_n=nЋ, гдеn=1,2,3,4,…

v_n-скорость электрона наn-ой орбите

r_n-радиусn-ой орбите

Второй постулат правило частот:

при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается один фотон:

E_n-E_m=Ћω

с энергией, равной разности энергий, соответствующих стационарным состояниям.

Набор значений ω

ω=( E_n-E_m)/π

даёт линейчатый спектр атома водорода в соответствии с теорией Бора.

Электрон в атоме водорода и водородоподобных частицах, содержащих ядро и 1 электрон(это ионы) вращается(или будет вращаться) по орбите радиуса , если центростремительная сила, удерживающая электрон на орбите будет равна кулоновской силе.

F_кул=F_центр

Ze²/4πε₀r_n²=m v²_n/ r_n (1)

mv_nr_n=nЋ (2)

Если взять (1) и (2) и выразить неизвестные v_n и r_n:

r_n=(4πε₀Ћ²/Ze²m)·n² (3)

При z=1 иn=1 получаемr₁=a=52,2 пм

подставив (3) найдём v_n:

v_n=Ze²/4πε₀nЋ v≈10⁶ м/с

U=eφ

Потенциальная энергия заряда, находящегося в некоторой точке электрического поля равна произведения этого заряда на потенциал поля в этой точке. Поле создаётся положительного заряда и на расстоянии от ядра.

Тогда потенциал поля в точке, где есть электрон, будет равен:

φe=Ze/4πε₀r_n, тогдаU=-Ze²/4πε₀r_n²

Потенциальная энергия электрона в поле ядра отрицательна, значит максимальное значение потенциальной энергии электрона будет равна нулю при r→∞

кинетическая энергия электрона на n-ой орбите:

T=mv_n²/2=(m/2)·Z²e⁴/16π²ε₀²n²Ћ²

U= - Z²e⁴/16π²ε₀²n²Ћ²

Полная энергия электрона на орбите:

E=T+U=(m/2)·Z²e⁴/16π²ε₀²n²Ћ²-Z²e⁴/16π²ε₀²n²Ћ² =-Z²e⁴m/32π²ε₀²n²Ћ²

(полная энергия отрицательна)

Знак “-” в полной энергии означает, что электрон в атоме находится в связанном состоянии. Из (*) следует, что энергетическое состояние атома водорода представляет собой последовательность уровней, изменяющихся в зависимости от квантового числа nи это целое числоn, определяющее энергетический уровень называется главным квантовым числом . Энергетическое состояние электрона сn>1 называется возбужденными состояниями приn=2 наблюдаем низшее возбужденное состояние

E₁= -13,55 Эв, т.е. если мы приложим к электрону энергию 13,55 Эв, то он покинет поле ядра

E₂= -3,38Эв (это всё приZ=1)

E₃= -1,52Эв (у гелияZ=2, т.е. все энергии в 4 раза больше, у литияZ=3, т.е. все энергии в 9

E₄= -0,83Эв раз больше).

E₅= -0,54Эв

E₆= -0,38Эв

Схема энергетических переходов в атоме водорода.

E_n= -Z²e⁴m/32π²ε₀²n²Ћ²

Для водорода:

E₁= -13,6Эв

E₂= -3,38ЭвE₃= -1,5Эв

E₄= -0,84Эв

E₅= -0,53Эв

E₆= -0,38Эв

E₇≈ 0

Энергия атомов возрастает вместе со значением n(уменьшается отрицательная величина) энергетические уровни сближаются к границе, соответствующейn→∞ и атом водорода обладает минимальной энергиейE₁= -13,6Эв и максимальной энергиейE_∞=0 приn→∞. Это происходит(последний случай) при удалении электрона из атома, следовательно эта энергия соответствует ионизации атома. Если атому водорода, который находится в основном состоянии, сообщить энергию в +13,6Эв, то это и будет его энергии ионизации, когда электрон покинет атом. согласно второму постулату Бора пи переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается 1 фотон, т.е. получаем:

Ћω=E_n2-E_n1= [Z²e⁴m/32π²ε₀²n²Ћ²](1/n₁²-1/n₂²)

2πЋc/λ=[Z²e⁴m/64π³ε₀²n²Ћ³c](1/n₁²-1/n₂²)

R=1,1·10⁷ 1/м –постоянная ридберга

1/λ=Z²R(1/n₁²-1/n₂²)-сериальная формула

Если атом возбуждается полностью, т.е. электрон ушёл и осталось ядро, у нас возбуждается полный спектр.

Кроме Лаймана все волны в инфракрасном спектре.

Согласно второму постулату Бора атом излучает свет при переходе электрона с одной орбиты на другую, расположенную ближе к ядру. Все линии спектра, получающиеся при переходе электрона на первую орбиту( со 2,3 и т.д.) представляют собой линии одной серии, отвечающие значению n1=1 и все эти линии принадлежат УФ части спектра.

При переходе на орбиту с n=2( с 3,4,5, и т.д. орбит) получаются линии серии Бальмера и это видимый свет во всём оптическом диапазоне.

Линии, приходящиеся на третий уровень( с 4,5,6 и т.д.) лежат в инфракрасной части спектра электромагнитных волн.

Спектр поглощения также является линей чатым, но он содержит всегда только серию Лаймана. Так как свободные атомы водорода обычно находятся в основном состоянии (n=1), то при сообщении этим атомам энергии извне могут наблюдаться только переходы из основного состояния в возбужденное и поэтому появляется только серия Лаймана.

Теория Бора позволила точно определить спектр атома водорода.

Теория Бора обладает внутренним противоречием, т.к. в ней использованы с одной стороны все законы классической физики, а с другой стороны начальные элементы квантовой физики, поэтому эта теория не могла ответить на вопрос: откуда берутся переходы и не смогла описать спектр атома гелия, т.е. простейшего атома, следующего сразу за водородом в таблице Менделеева.