Статистика Бозе-Эйншиейна.
Частицы: бозоны, протоны, альфа-частицы.
Состояние системы в квантовой статистике
принято задавать с помощью чисел
заполнения ni, под которыми
понимается число частиц, находящихся
в состоянии с данным набором квантовых
чиселi. Соответствующие
статистические распределения записываются
для средних чисел заполнения и определяются
с помощью комбинаторных методов по
очень сложной процедуре. Упрощённо
рассмотрим для примера электромагнитное
излучение, которое состоит из большого
количества фотонов, которые по кванту
излучаются или поглощаются с энергией
ε=nЋω,гдеn=1,2,3,…
. Из-за целочисленного момента количества
движения
=nЋ
,
фотоны должны подчиняться статистике
Бозе, и в состоянии теплового равновесия
средняя энергия каждого фотона, если
их рассматривать как осцилляторы,
определяется как:
<n>=<ε>/Ћω=1/(exp(Ћω/kT)-1)
(за вычетом нулевых колебаний)
В общем случае это же число с различными энергиями. Распределение для среднего числа заполнений:
<ni>=1/
(exp(εi/kT)-1)
-нормированная
постоянная, которую можно представить
=exp(μi/kT),
где μ– величина, независящая от εi, определяемая только внешними параметрами ( объёмом и температурой). Эта величина фиксирует число частиц в замкнутой системе и является функцией состояния, подобно энергии и энтропии. называется химическим потенциалом. По физическому смыслу химический потенциал определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к системе только одной частицы, если остальные величины (V,T) фиксированы. В многокомпонентных или многофазных системах это особенно важно, потому что условие химического равновесия в реагирующих системах будет иметь место только тогда, когда химические потенциалы всех компонентов равны. Тогда с учётом химического потенциалаniбудет иметь вид:
<ni>=1/(exp((εi –μ)/kT)-1)
при всех i, иначе при малых число заполнений было бы отрицательным.
С точки зрения квантовой статистики электромагнитная волна Бозе- конденсат фотонов, заполняющих уровень энергии, соответствующий частоте волны .
Статистика Ферми-Дирака.
-статистика фермионов, особенностью которых является подчинению принципу Паули, в этом случае в каждой ячейке заполнения .
Если учесть эту особенность для среднего числа частиц, можно записать соотношение:
<ni>=1/(exp((εi –μ)/kT)+1) (1)
Это выражение применяется к описанию так называемого электронного газа в металлах, и в металлах кулоновские взаимодействия между электронами, а также взаимодействие электронов с ионным остовом кристалла, в среднем компенсируют друг друга, и электроны поэтому без особенных препятствий перемещаются по всему кристаллическому образцу, также как ведёт себя идеальный газ, и поэтому называются электронным газом.
и тогда их кинетическую энергию можно считать полной, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь, и с точки зрения Ур-я Шр. это есть задача о нахождении частицы в потенциальной яме.
(1)-распределение Ферми-Дирака, где μ- химический потенциал, зависящий от температуры и плотности частиц, и этот химический потенциал находится и з условия нормировки, т.е.из условия, что общее количество частиц равно N.
При Т=0 и εi<μвеличина <ni>→1
Если εi>μ, то <ni>→0
Химический потенциал при нулевой температуре играет роль особой энергии, хотя по классическим представлениям при 0 К всякая энергия стремится к нулю. Что это за энергия?
Электроны, подчиняющиеся принципу Паули не могут все одновременно иметь нулевую энергию при T→0.
На каждой полосе будут 2 электрона с противоположными спинами, и величина будет зависеть от числа электронов в некотором объёме V, а также от разности энергий между соседними уровнями. Электронный газ в таком положении называется полностью вырожденным. Энергия , равная наибольшей энергии при Т=0 для частиц с полуцелым спином называется энергией ферми или уровнем Ферми.
Это означает, что химический потенциал при температуре 0 Kсовпадает с энергией Ферми. Для электронов, которые являются фермионами, средне число частиц и вероятность заселённости квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние может быть либо незаселённым (n=0), либо там находится одна частица. При энергии, равной потенциалу μ, функция (или график) меняется скачком до нуля. Это означает, что все нижние квантовые состояния вплоть до состояния ε=0 уже заняты электронами, а все состояния с энергиями большими свободны, следовательно именно поэтому не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны при 0 К.При не слишком высоких температурах, когдаT<<εf. Это означает, что электронный газ в металле находится практически всегда в состоянии сильного вырождения. температура вырождения может быть найдена из соотношенияTB= εf/kи именно эта Т определяет границу, выше которой квантовые эффекты несущественны. Для электронов в металле температура вырожденияTB≈104K, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твёрдом состоянии, электронный газ в металле не вырожден.
Система называется вырожденной, если её свойства существенно отличаются от свойств системы, подчиняющейся классической статистике Максвелла-Больцмана, поведение как Бозе- газаж так и Ферми-газа отличаются от классического газа и оба всегда являются вырожденными. Вырождение газов становится существенным при низких температурах или больших плотностях. Температурой вырождения называется температура, ниже которой отчётливо проявляются свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц и, если температура выше температуры вырождения, то газ подчиняется классической статистике.
При Т>0 функция Ферми-Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области порядка кТ в окрестности ε=εf, это объясняется тем. что приT>0 небольшое число электронов с энергией большей энергии Ферми, возбуждается за счёт теплового движения, и их энергия становится больше, чем энергия Ферми. Вблизи границы, когда немного меньше заполнение меньше 1, и когда немного больше, тогда заполнение будет больше нуля. И в этом тепловом движении участвует малое количество электронов.