Спин-орбитальное взаимодействие(сов).

СОВ- взаимодействие частиц, при котором величина взаимодействия зависит от значения и взаимного расположения спинового и орбитального момента частиц. Наиболее чётко проявляется в одноэлектронном атомах ( водороде и водородоподобных частицах) и также к ним относятся щелочные металлы, так как в их замкнутых оболочках L_l=0 и, поэтому момент импульса таких атомов определяется только значением момента импульса валентного электрона. В случае одноэлектронного атома СОВ представляет собой взаимодействие спина электрона с магнитным полем, которое создаётся орбитальным движением электрона. Оценим энергию СОВ в одноэлектронном атоме. Будем рассматривать движение электрона в атоме относительно системы координат, связанных с электроном. В этом случае электрон будет неподвижен и можно считать, что ядро движется вокруг электрона по круговой орбите со скоростью, равной скорости движения электрона относительно ядра.

При вращении ядра по орбите возникает эквивалентный ток Iэкв=Ze/T=Zev/2πr, где

r- радиус орбиты

v- скорость вращения электрона на орбите

Тогда μ_l=I·πr²=zevπr²/2πr=Zevr/2

μ_l=(|e|/2m)Ћ-квантовые представления(из гиромагнитного отношения)

Приравнивая эти выражения, мы можем получить выражение для скорости орбитального движения

Zevr/2=(|e|/2m)Ћ; v=|e|Ћ/Z|e+rm

Для электрона v= Ћ/mr, тогда токI= ЋZ|e|/2πmr²

Тогда у нас получился круговой ток Iи нам надо узнать индукцию в центре кругового тока, т.е. в точке расположения электрона. По закону Био-Савара-Лапласа:

B=μI/2r=Ze Ћ/4πmr³

т.к.|e|Ћ/2m=μ_Б;B=zμ₀μ_Б/2πr³

Энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем:

Тогда: ∆Esl= -μ_l·B= -(eЋ/2m)·B

∆Esl= -zμ₀μ_Б·μ_l /2πr³

Радиус r=a/z, тогда ∆Esl= -z⁴μ₀μ_Б·μ_l /2πa³

Из этого выражения видно, что энергия взаимодействия s-электронов приl=0 и поэтому уровниs-электронов являются синглетными. Дляp,dи т.д. электронов энергия взаимодействия всегда принимает два значения: ±∆Esl, поэтому уровни этих электронов, имеющих два значения являются дублетами, и это приводит к тому, что спектральные линии водорода и щелочных металлов тоже являются дублетами. В 2-х, 3-х и т.д. электронных системах картина СОВ сильно усложняется и приводит к расщеплению энергетических уровней на большое число компонентов. Расщепление энергетических уровней и спектральных линий за счёт СОВ в атомах называется тонкой структурой спектров.

В теории атома водорода, в которой не учитывается наличие спина, энергия определяется только главным квантовым числом, наличие же спина приводит к СОВ, в результате чего энергия атома становится зависящей также и от орбитального квантового числа l.

Одноэлектронный атом. Сложение векторов момента импульса в квантовой механике. Полный момент импульса электрона в атоме. Внутренне квантовое число электрона.

Состояние электрона в одноэлектронном атоме характеризуется:

1)L_l- момент импульса орбитального движения электрона, абсолютное значение которого квантовано и равно |_l|=Ћ, этот орбитальный момент ориентирован в пространстве так, что его проекция на выделенное направлениеL_z=m_lЋ,

где m_l– орбитальное магнитное квантовое число, причёмm_l=0;±1;±2;….;±l,Nm_l=2l+1

2)электрон характеризуется также собственным моментом импульса спина L_s=Ћ, гдеs- спиновое квантовое число электрона; проекция спина на выделенное направлениеL_sz=Ћm_s,

где m_s– спиновое магнитное квантовое число,m_s=±1/2.

В результате СОВ в атоме образуется результирующий (полный) момент импульса |_j|=Ћ;

где j– полное(внутренне) квантовое число, а проекция полного момента на выделенное направление:L_jz=m_jЋ

m_j-полное квантовое число электрона и одновременно в атоме образуется полный магнитный момент μ_j. СОВ приводит к сложению квантовых векторов_sи_l. Как складываются квантовые вектора?

Допустим складываются два квантовых вектора ₁и₂, т.о., что₁+₂=_L. По модулю

|₁|=Ћ,|₂|=Ћ,|_L|=Ћ, гдеl₁иl₂- квантовые числа.

Кроме векторов также складываются их проекции на выделенное направление:

L_1z=Ћm₁,L_2z=Ћm₂;L_Lz=Ћm_L

где m₁=l₁;l₁-1;l₁-2;…;-l₁.

m₂=l₂;l₂-1;l₂-2;…;-l₂.

m_L=L;L-1;L-2;…;-L.

Отсюда следует, что наибольшее значение проекций, складываемых векторов соответственно равны: L_1zmax=Ћl₁,L_2zmax=Ћl₂;L_Lzmax=ЋL, т.к. проекции представляют собой скалярные величины, следовательно проекция результирующего вектора представляет собой алгебраическую сумму слагаемых векторов, при этом результирующая проекция будет максимальной, если проекции слагаемых векторов имеют одинаковое направление:

LЋ= Ћl₁+ Ћl₂

L= l₁+l₂

И наоборот, проекция результирующего вектора будет минимальна, если проекции складываемых векторов будут противонаправлены:

LЋ= Ћ|l₁-l₂|

L= l₁-l₂

Т.о. при сложении квантовых векторов в зависимости от ориентации может принимать следующие значения:

L= (l₁+l₂), (l₁+l₂-1), (l₁+l₂-2),….,|l₁-l₂|.

Можно считать т.о., что сложение квантовых векторов сводится к сложению квантовых чисел, при этом складываемые вектора не могут ориентироваться произвольно. Найдём число ориентаций складываемых векторов

L₁=Ћ,L₂=Ћ, причёмl₁>l₂

В результате получим:

L_L=Ћ, причём квантовые значенияL=|l₁+l₂|, (l₁+l₂-1), (l₁+l₂-2),….,|l₁-l₂|.

Продолжим этот ряд до единицы, тогда получим ещё один ряд: L=l₁+l₂, (l₁+l₂-1), (l₁+l₂-2),….,|l₁-l₂|,l₁-l₂-1,…,1, в котором (l₁+l₂) членов, следовательно число возможных ориентаций будет равноN=(l₁+l₂)-(l₁-l₂-1)=2l₂+1

Очевидно, что если l₁<l₂, то мы получаемN=2l₁+1

Построение векторных диаграмм.

Сложим 2 вектора L₁=Ћ,L₂=Ћ.

Пусть l₁=2, l₂=1

Т.к. l₂<l₁, то при сложении векторов общее число ориентацийN=2l₂+1=3

Т.е. мы получаем 3 возможных ориентации складываемых векторов, а результирующее квантовое число lбудет находиться в пределах отl₁+l₂=3 до |l₁-l₂|=1

L_1max=3,L_2min=1;L=3;2;1.

Отсюда значение результирующего вектора L^

L_L1=Ћ=Ћ

L_L2=Ћ=Ћ

L_L3=Ћ=Ћ

L_l1= Ћ

L_l2= Ћ

L_L1= Ћ

Следует иметь ввиду, что в результате взаимодействия _l1 и_l2 как бы прецессируют вокруг результирующего вектора. Понятие прецессии в этом случае условно, так как в данном случае это понятие связано с соотношением неопределённостей, при котором невозможно точно определить координату и импульс частицы. В данном случае известен только одинL, а два других неизвестны.