Практический способ гарантии завершения циклического процесса состоит в связывании с итерационным процессом целочисленной величины - варианта цикла, обладающего следующими свойствами:

*Вариант всегда не отрицателен.

*Любое выполнение тела цикла уменьшает вариант.

Так как целочисленная неотрицательная величина не может уменьшаться бесконечно, то наличие варианта позволяет гарантировать завершение цикла. Вариант является верхней границей, максимальным числом применений body, приводящим точку в POST. В задаче нахождения максимума найти вариант просто: t.upper - i. Это выражение удовлетворяет обоим условиям:

*Предусловие программы требует положительности t.capacity ; другими словами, программа применима только к непустым массивам. Инвариант класса ARRAY задает: capacity = upper - lower + 1. Отсюда следует, что свойство i <= t.upper будет выполняться после инициализации i значением t.lower.

*Любое выполнение тела цикла выполняет инструкцию i := i + 1, уменьшая вариант на единицу.

В этом примере цикл является простым итерированием на последовательности целых чисел

вконечном интервале, известный в языках программирования, как "цикл For" или "цикл DO", завершение которого не трудно проверить. Для более изощренных циклов число требуемых итераций определить не так просто, выявление завершения становится сложной задачей, единственным универсальным способом является нахождение варианта.

Нам понадобится еще одно понятие, преобразующее только что набросанную схему в программный текст, описывающий цикл. Мы нуждаемся в простом способе определения того, что текущая итерация достигла цели (постусловия) post. Поскольку итерация конструируется так, чтобы обеспечить выполнение INV, а POST является частью INV, то обычно можно найти условие exit такое, что элемент из INV принадлежит POST тогда и только тогда, когда выполняется exit. Другими словами, постусловие post и инвариант inv связаны соотношением:

post = inv and exit

так что мы можем остановить цикл, - чьи промежуточные состояния по построению удовлетворяют inv, - как только выполнится exit. В этом состоянии, следовательно, будет выполнено и post.

Синтаксис цикла

Синтаксис цикла непосредственно следует из предшествующих соображений, определяющих ингредиенты цикла. Он будет включать элементы, отмеченные как необходимые.

*Инвариант цикла inv - утверждение.

*Условие выхода exit, чья конъюнкция с inv дает желаемую цель.

*Вариант var - целочисленное выражение.

*Множество инструкций инициализации, которые всегда приводят к состоянию, в котором inv выполняется, а var становится неотрицательным.

*Множество инструкций body, которое (при условии, что оно начинается в состоянии, где var неотрицательно и выполняется inv ), сохраняет инвариант и уменьшает var, в то же время следя за тем, чтобы оно не стало меньше нуля.

* Синтаксис цикла честно комбинирует эти ингредиенты:

from init

invariant inv variant var

until exit loop body end

Предложения invariant и variant являются возможными. Предложение from по синтаксису требуется, но инструкция init может быть пустой.

Эффект выполнения цикла можно описать так: вначале выполняется init, затем 0 или более раз выполняется тело цикла, которое перестает выполняться, как только exit принимает значение false.

Вязыках Pasal, C и других такой цикл называется "циклом while ", в отличие от цикла типа

"repeat ... until ", в котором тело цикла выполняется, по меньшей мере, один раз. Здесь же тест является условием выхода, а не условием продолжения, и синтаксис цикла явно содержит фазу инициализации. Потому эквивалент записи нашего цикла на языке Pascal выглядит следующим образом:

init;

while not exit do body

С вариантами и инвариантами цикл для maxarray выглядит так:

from

i := t.lower; Result := t @ lower invariant

-- Result является максимумом нарезки массива t в интервале [t.lower,i]. variant

t.lower - i until

i = t.upper loop

i := i + 1

Result := Result.max (t @ i) End

Заметьте, инвариант цикла выражен неформально, в виде комментария. Последующее обсуждение в этой лекции объяснит это ограничение языка утверждений.

Вот еще один пример, ранее показанный без вариантов и инвариантов. Целью следующей функции является вычисление наибольшего общего делителя - НОД ( gcd - greatest common divisor ) двух положительных целых a и b, следуя алгоритму Эвклида:

gcd (a, b: INTEGER): INTEGER is -- НОД a и b

require

a > 0; b > 0

local

x, y: INTEGER do

from

x := a; y := b until

x = y loop

if x > y then x := x - y else y := y - x end end

Result := x ensure

-- Result является НОД a и b end

Как узнать, что функция gcd удовлетворяет своему постусловию и действительно вычисляет наибольший общий делитель a и b? Для проверки этого следует заметить, что следующее свойство истинно после инициализации цикла и сохраняется на каждой итерации:

x > 0; y > 0

-- Пара <x, y> имеет тот же НОД, что и пара <a, b>

Это и будет служить инвариантом цикла inv. Ясно, что inv выполняется после инициализации. Если выполняется inv и условие цикла x /= y, то после выполнения тела цикла:

if x > y then x := x - y else y := y - x end

инвариант inv остается истинным, замена большего из двух положительных неравных чисел их разностью не меняет их gcd и оставляет их положительными. Тогда по завершению цикла следует:

x = y and "Пара <x, y> имеет тот же НОД, что и пара <a, b>"

Отсюда, в свою очередь, следует, что x является наибольшим общим делителем. По определению НОД (x, x) = x.

Как узнать, что цикл всегда завершается? Необходим вариант. Если x больше чем y, то в теле цикла x заменяется разностью x-y. Если y больше x, то y заменяется разностью y-x. Нельзя в качестве варианта выбрать ни x, ни y, поскольку для каждого из них нет гарантии уменьшения. Но можно быть уверен, что максимальное из них обязательно будет уменьшено. Поэтому разумно выбрать в качестве варианта x.max(y). Заметьте, вариант всегда остается положительным. Теперь можно написать цикл со всеми предложениями:

from

x := a; y := b invariant

x > 0; y > 0

-- Пара <x, y> имеет тот же НОД, что и пара <a, b> variant

x.max (y) until

x = y loop

if x > y then x := x - y else y := y - x end

end

Как отмечалось, предложения invariant и variant являются возможными. Когда они присутствуют, то помогают прояснить цель цикла и проверить его корректность. Для любого нетривиального цикла характерны интересные варианты и инварианты; многие из примеров в последующих лекциях включают варианты и инварианты, обеспечивая глубокое понимание корректности лежащих в основе алгоритмов.