Министерство образования и науки Украины
ГВУЗ „Донецкий национальный технический университет”
Улитин Г.М., Гончаров А.Н.
Курс лекций
по высшей математике
Части І - ІІ
Учебное пособие
Рекомендовано
Ученым советом ГВУЗ „ДонНТУ”
Протокол № 5 от 22.05.09
Донецк 2009
П р е д и с л о в и е
В связи с существенным уменьшением аудиторных занятий по высшей математике в технических университетах возникла необходимость компактного изложения программного материала.
Настоящий конспект лекций написан на основе чтения авторами лекций на механическом факультете ДонНТУ, в связи с чем некоторые рас-смотренные вопросы и примеры носят характер приложений к задачам механики. Их количество незначительно и они могут либо совсем не рассматриваться, либо могут быть заменены на соответствующие согласно специальностям. Такие вопросы, а также примеры повышенной трудности отмечены знаком *.
Излагаемый материал в данном пособии, по возможности, имеет вид самостоятельных блоков, т.е. каждая лекция имеет завершенную логическую структуру, например, “Определители“, “Кривые второго порядка“ и т. д. Это создаёт для студентов более благоприятные условия для повторения пройденного материала, а также для изучения пропущенных лекций.
Курс лекций рассчитан на первые два семестра при лекционной нагрузке 3 часа в неделю. При меньшей нагрузке некоторые темы можно не рассматривать, если они являются не основными для выпускающей кафедрой, либо вынести на самостоятельное изучение. Естественно, некоторые вопросы можно объединять и сокращать. Однако все такие преобразования необходимо выполнять, не нарушая целостность излагаемого материала. В частности, для некоторых экономических специальностей необходимо рассмотреть дополнительные темы: “Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений“, “Линейные преобразования“, ”Квадратичные формы“. Такие темы можно рассмотреть за счет исключения некоторых других тем, например, “Полярная система координат“, “Поверхности“.
Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
1.1. Определители второго и третьего порядков
Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
(1)
Если первое уравнение системы (1) умножить на а22 , второе на а12 и полученные результаты сложить, то получим
Предположим, что выражение в скобках отлично от нуля, тогда находим
(2)
Аналогично получаем
(3)
Определение 1. Определителем второго порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из четырех элементов, и определяемое по правилу
(4)
Здесь
члены определителя, а
элементы определителя.
С учетом определения (4) формулам (2) и (3) можно придать более компактный вид
где
Пример 1. Вычислить
Аналогично, рассматривая систему трёх уравнений с тремя неиз-вестными, приходим к определению определителя третьего порядка.
Определение 2. Определителем третьего порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из девяти элементов, и определяемое по правилу
.
(5)
Замечание. Выражение (5) является громоздким. Его запомнить будет проще, если использовать следующую схему вычислений
Пример 2. Вычислить
