Лекция № 12. Тема 6 : Поверхности

6.1. Уравнение поверхности

Аналогично, как и для случая линии на плоскости, уравнение поверхности – это уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на поверхности. Верно и обратное, т.е. каждое уравнение вида

, (1)

вообще говоря, определяет некоторую поверхность в пространстве. Если уравнение (1) не удовлетворяется координатами ни одной точки, то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. В дальнейшем такие случаи рассматривать не будем.

Пример 1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке .

Пусть  текущая точка сферы, тогда для вектора с координатамидолжно выполняться условие

,

которое и является искомым уравнением сферы.

Рассмотрим один из часто встречающихся случаев –поверхности вращения. Пусть, например, в плоскости Oyz z

задана некоторая линия, уравнение которой М₁

. Найдём уравнение поверхности, M

полученной вращением этой линии вокруг

оси Oz. N

Возьмём произвольную точку O у

этой поверхности и проведём плоскость,

перпендикулярную оси Oy. Очевидно, что х

в сечении получим окружность с центром

в точке N. Тогда . С другой стороны, радиус этой окруж-ности, где точкаМ₁ принадлежит линии . Следовательно, для всех точек поверхности вращения должно выполняться уравнение

Аналогично можно получать уравнения поверхностей вращения относительно других координатных осей.

Пример 2. Найти уравнение поверхности, образованной вращением эллипса в плоскостиOxy вокруг оси Ox.

Для этого случая нужно провести замену в уравнении эллипса. Тогда получим уравнение, которое определяет поверхность так называемогоэллипсоида вращения.

6.2. Поверхности второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана поверхность, определяемая уравнением второй степени

(2)

где коэффициенты одновременно не равны нулю. Эта поверхность называется поверхностью второго порядка.

Рассмотрим частные случаи уравнения (2):

1. Эллипсоид. Его каноническое уравнение .

Чтобы составить представление об этой поверхности, проведём сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Предварительно заметим, что при замене уравнение эллипсоида не изменяется – это означает, что эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей. Например, пересекая эллипсоид плоскостями, получаем в сечениях эллипсы вида

сполуосями. Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении а при увеличении h эллипсы уменьшаются, вырождаясь в точку при . Аналогичная картина будет в сечениях плоскостями. На основании таких исследований можно определить вид эллипсоида.

z

c

a

b b y

a

x c

Так же можно получить вид следующих поверхностей:

2.Однополостный гиперболоид  z

y

x

3. Двуполостный гиперболоид 

z

y

x

4. Эллиптический параболоид 

.

z

x y

5. Гиперболический параболоид  .

z

x

y

6. Конус  z

y

x

7. Эллиптический цилиндр 

z

y

x

8. Гиперболический цилиндр 

9.Параболический цилиндр  z

.

y

x

10. Пара пересекающихся плоскостей 

или .

11. Пара параллельных плоскостей  или .

12. Пара совпадающих плоскостей  .

13. Точка 

Аналогично, как и для случая линий второго порядка, имеет место

Теорема. Для любого уравнения (2) поверхности второго порядка существует такая ДСК, в которой уравнение принимает один из видов (1-13).

Пример 3. Найти точки пересечения прямой с однополостным гиперболоидом

Прямую представим параметрическими уравнениями Под-

ставим в уравнение гиперболоида, получим уравнение для нахож-дения параметраt: . Его корни: . Это означает, что имеются две точки пересечения прямой с гиперболоидом: и.

Какие еще могут быть варианты взаимного расположения прямой с однополостным гиперболоидом?