3.1. Эллипс

Эллипс определяется уравнением

(2)

Т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно большой и малой полуосями, а уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса.

Положим и отметим на осиОх точки называемыефокусами эллипса. Тогда эллипс можно определить как

геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а.

у

b

M K

-а F₁ O F₂ a x

-b

Покажем это. Пусть точка  текущая точка эллипса. В этом случае получаем Тогда должно выполняться равенство

(3)

Выражение (3) представим в виде

и возведём в квадрат обе части выражения

Отсюда получаем

Еще раз возведём это выражение в квадрат и воспользуемся соотно-шением , тогда

(4)

Разделив обе части выражения (4) на , окончательно получаем каноническое уравнение эллипса

Исследуем уравнение (2). Если в уравнении заменить , то уравнение (2) не изменится. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим подробно часть эллипса, находящуюся в первой четверти. Она определяется уравнениемОчевидно, что эллипс проходит через точки. Выполнив схематическое построение в первой четверти, симметрично отобразим его график во все четверти. Таким образом, эллипс является непрерывной замкнутой кривой. Точкиназываютсявершинами эллипса.

Отношение называетсяэксцентриситетом эллипса. Для эллипса .

Прямые называютсядиректрисами эллипса.

Справедливо следующее свойство директрис:

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Доказывается аналогично, как и равенство (3).

Замечание 1. Окружность является частным случаем эллипса. Для неё

3.2. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями.

Положив , отметим на осиОх точки на-зываемыефокусами гиперболы. Тогда гиперболу можно определить как

геометрическое место точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине равна 2а, т.е.

у

К М

F₁ -а О а F₂ х

Доказывается аналогично, как и для эллипса. По виду уравнения гиперболы так же заключаем, что её график симметричен относительно осей системы координат. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, имеет уравнение Из этого уравнения видно, что при достаточно большихх гипербола близка к прямой . После схематичного построения в первой четверти симметрично отобра-жаем график во все четверти.

Точки называютсявершинами гиперболы. Прямые называютсяасимптотами – это прямые, к которым стремятся ветви гиперболы, не пересекая их.

Отношение называетсяэксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы .

Прямые называютсядиректрисами гиперболы. Для директрис гиперболы имеет место свойство, аналогичное, как и для директрис эллипса.

Пример. Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в фокусах, а фокусы в вершинах гиперболы .

По условию а

Окончательно получаем