- •Аналитическая геометрия Лекция № 7. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 8. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •2.5. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом
- •2.6. Расстояние от точки до прямой
- •Лекция № 9. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •10.3. Парабола
- •10.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 10. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости. Построение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 11.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 12. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
Аналитическая геометрия Лекция № 7. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
В аналитической геометрии линии на плоскости рассматриваются как геометрическое место точек (г.м.т.), обладающих одинаковым свойством, общим для всех точек линии.
Определение. Уравнение линии – это уравнение с двумя переменнымих и у, которому удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на данной линии.
Верно и обратное, т.е. любое уравнение у
вида , вообще говоря, в декартовой
системе координат (ДСК) определяет линию
как г.м.т., координаты которых удовлетворяют
этому уравнению. О х
Замечание 1. Не всякое уравнение вида определяет линию. Например, для уравненияне существует точек, координаты, которых удовлетворяли бы этому уравнению. Такие случаи в дальнейшем рассматривать не будем. Это случай так называемых мнимых линий.
Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке .
Для любой точки , лежащейу М
на окружности, в силу определения R
окружности как г.м.т., равноудаленных
от точки , получаем уравнениех
.
1.2. Параметрические уравнения линий
Существует ещё один способ задавать линию на плоскости при помощи уравнений, которые называются параметрическими:
Пример 1. Линия задана параметрическими уравнениями
Требуется получить уравнение этой линии в ДСК.
Исключим параметр t. Для этого возведём обе части этих уравнений в квадрат и сложим
Пример 2. Линия задана параметрическими уравнениями
а
Требуется получить уравнение
этой линии в ДСК. -а а
Поступим аналогично, тогда получим
-а
Замечание 2. Следует отметить, что параметром t в механике явля-ется время.
1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
ДСК является не единственным способом определять положение точки и, следовательно, задавать уравнение линии. На плоскости часто целесо-образно использовать так называемую полярную систему координат (ПСК).
ПСК будет определена, если задать точкуО – полюс и луч ОР, исхо-дящий из этой точки, который называется полярной осью. Тогда положение любой точки определяется двумя числами: полярным радиусом и полярным углом– угол между
полярной осью и полярным радиусом.
Положительное направление отсчета
полярного угла от полярной оси
считается против часовой стрелки.
Для всех точек плоскости ,О Р
а для однозначности полярного угла считается .
Если начало ДСК совместить с
полюсом, а ось Ох направить по
полярной оси, то легко убедиться у
в связи между полярными и
декартовыми координатами:
О х Р
Обратно,
(1)
Если уравнение линии в ДСК имеет вид , то в ПСК -Тогда из этого уравнения можно получить урав-нение в виде
Пример 3. Составить уравнение окружности в ПСК, если центр окружности находится в полюсе.
Используя формулы перехода (1) от ДСК к ПСК, получим
Пример 4. Составить уравнение окружности,
если полюс на окружности, а полярная ось у
проходит через диаметр.
Поступим аналогично
О 2R х
R
Данное уравнение можно получить и
из геометрических представлений (см. рис.).
Пример 5. Построить график линии
Перейдём к ПСК. Уравнение
примет вид О
График линии построим с а
учётом его симметрии и ОДЗ
функции:
Данная линия называется лемнискатой Бернулли.