- •Интегральное исчисление Лекция № 24. Тема 1: Неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица неопределённых интегралов
- •1.4. Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки)
- •Лекция № 25
- •1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •1.6. Интегрирование по частям
- •1.7. Многочлены и рациональные дроби
- •Лекция № 26
- •1.8. Интегрирование рациональных дробей
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция № 27
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Понятие о неберущихся интегралах
Лекция № 26
1.8. Интегрирование рациональных дробей
На основании рассмотренной в предыдущей лекции теоремы преобра-зуется подынтегральная рациональная функция и нахождение интеграла сводится к интегрированию простейших дробей. Коэффициенты в числи-телях этих дробей вычисляются методом неопределённых коэффициентов.
Пример 1. .
Преобразуем подынтегральную функцию, представив её как сумму простейших дробей
.
Определим коэффициенты . Для этого приведём дроби в правой части равенства к общему знаменателя и приравняем числители дробей в правой и левой частей полученного равенства
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (метод неопределённых коэффициентов), приходим к системе
Упростим систему, учитывая, что ,
Из первых двух уравнений получаем , из первого и третьего и,.
Тогда наш интеграл приводится к нахождению интегралов
.
1.9. Интегрирование тригонометрических функций
1.9.1. Интегралы вида , гдеR рациональная функция,
приводятся к интегралу от рациональной функции путём замены , которая называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой. Это достигается тем, что ивыражаются черезрационально:
(1)
Пример 2. (воспользуемся формулами (1)) =
.
Замечание. Использование такой подстановки часто приводит к громоздким выражениям. Эта подстановка, как правило, эффективна, если ивходят в дробное выражение в первой степени.
1.9.2. Интегралы вида с помощью подстановок:соответственно приводятся к интегралам от рациональной функции.
Пример 3.
.
1.9.3. Интегралы вида .
В этом случае применяется замена , так какивыражаются черезрационально:, или используются тригонометрические формулы понижения степени.
Пример 4.
.
1.9.4. Интегралы вида , где среди показателейт и п по крайней мере одно нечетное.
В этом случае за новую переменную принимается та функция, которая содержит чётную степень, либо любая, если все функции в нечётных степенях.
Пример 5.
.
1.9.5. Интегралы вида.
Эти интегралы находятся с использованием формул:
Пример 6.
.
Лекция № 27
1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Рассмотрим только некоторые частные случаи, когда интеграл от иррациональной функции выражается через элементарные функции.
1.10.1. Интегралы вида .
Если , то подстановка имеет види тогда. После чего интегрирование сводится к интегрированию рациональных дробей.
Пример 1.
Замечание 1. Если выражение под знаком радикала линейное, т.е. имеет вид , то из свойства4 следует, что мы вправе применить тот же подход.
Пример 2.
1.10.2. Интегралы вида .
Аналогично, если , то подстановкатакже приводит к интегрированию рациональных дробей.
Пример 3.
.
1.10.3*. Интегралы вида .
Преобразуем выражение под знаком радикала. Если за знак радикала вынести , то получим. Выполнив замену, приходим к трём случаям:
Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно. Естественно, случай не рассматривается.
1. Интегралы вида .
Заменой такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной функции.
Пример 3.
.
2. Интегралы вида
В этом случае используется замена .
Пример 4.
.
3. Интегралы вида .
Рационализация подынтегрального выражения достигается заменой .
Пример 5.