4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
Пусть заданы
векторы
.
Требуется найти их смешанное
произведение.
Из определения скалярного и векторного произведений следует
Таким образом, получаем формулу
(5)
Пример 2:
Проверить – лежат ли векторы
,
и
в одной плоскости, т.е. являются ли
они компланарными.
По формуле смешанного произведения векторов имеем:
Поскольку
,
то данные
векторы
,
и
лежат в одной плоскости, т.е. являются
компланарными.
П
ример
3. Пирамида
задана координатами своих вершин
Найти высоту, проведённую из вершиныD
на грань АВС.
D
Построим векторы
Н
С
Из геометрии известно, что объем
пирамиды равен трети произведения А
площади основания
на ее высотуН,
т.е.
В
,
(6)
поскольку основанием
пирамиды является треугольник (его
площадь
равна половине площади параллелограмма
),
а высота пирамиды равна высоте
соответствующего параллелепипеда.
Используя геометрический смысл смешанного произведения и форму-лы (5) и (6), получим
Из формулы (2) и геометрического смысла векторного произведения следуют
Снова воспользуемся известной из геометрии формулой
и тогда окончательно получим
